第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編拋物線及其方程（人教B版）一、單選題1．（2025北京海淀高三一模）已知拋物線的焦點為，點在上，，則（

）A．1 B．C． D．22．（2025北京石景山高三一模）已知拋物線的焦點為，點在上，若，則（

）A． B． C． D．3．（2025北京豐臺高三一模）已知拋物線C：的焦點為F，點M在C上.若M的橫坐標為1，且，則p的值為（

）A． B．1 C．2 D．44．（2024北京延慶高三一模）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為，則（

）A． B．C． D．5．（2024北京西城高三一模）已知拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，則的準線方程是（

）A． B．C． D．6．（2023北京順義高三一模）已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，則（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2023北京海淀高三一模）已知拋物線的焦點為F，點在該拋物線上，且P的橫坐標為4，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2023北京房山高三一模）已知拋物線的焦點為，拋物線上一點到點的距離為，則點到原點的距離為（

）A． B． C． D．9．（2023北京豐臺高三一模）已知拋物線的頂點是坐標原點O，焦點為F，A是拋物線C上的一點，點A到x軸的距離為．過點A向拋物線C的準線作垂線、垂足為B．若四邊形ABOF為等腰梯形，則p的值為（

）A．1 B． C．2 D．10．（2023北京石景山高三一模）已知正方體的棱長為2，點為正方形所在平面內(nèi)一動點，給出下列三個命題：①若點總滿足，則動點的軌跡是一條直線；②若點到直線與到平面的距離相等，則動點的軌跡是拋物線；③若點到直線的距離與到點的距離之和為2，則動點的軌跡是橢圓.其中正確的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．311．（2023北京平谷高三一模）已知拋物線，點O為坐標原點，并且經(jīng)過點，若點P到該拋物線焦點的距離為2，則（

）A． B． C．4 D．二、填空題12．（2025北京東城高三一模）已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，且總有，則的一個值可以為.13．（2025北京西城高三一模）設(shè)拋物線的焦點為，準線為，則拋物線上一點到的距離為．14．（2025北京房山高三一模）已知是拋物線的焦點，則的坐標為，設(shè)是直線上一點，直線與拋物線的一個交點為，若，則點到軸的距離為.15．（2025北京門頭溝高三一模）已知拋物線的焦點為，過點且垂直于其對稱軸的直線交于點，，若，則焦點到其準線的距離為.16．（2025北京平谷高三一模）拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則.17．（2025北京朝陽高三一模）已知點在拋物線上，則拋物線C的焦點F的坐標為；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是．（填“相交”“相切”或“相離”）18．（2024北京朝陽高三一模）已知拋物線的焦點為，準線方程為，則；設(shè)為原點，點在拋物線上，若，則.19．（2024北京東城高三一模）已知拋物線的焦點為，則的坐標為；拋物線的焦點為，若直線分別與交于兩點；且，則.20．（2024北京門頭溝高三一模）已知拋物線的焦點為，點在上，若，則到直線的距離為：．21．（2024北京豐臺高三一模）已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為．22．（2023北京西城高三一模）已知拋物線的頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則．23．（2023北京石景山高三一模）拋物線：的焦點坐標為，若拋物線上一點的縱坐標為2，則點到拋物線焦點的距離為.

參考答案1．C【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出p的值，可得出方程，點在曲線上，代入可得解.【詳解】由拋物線定義知：，解出，故拋物線，又點在上，則，，故選：C.2．C【分析】首先求出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義求出的取值范圍.【詳解】拋物線的準線方程為，又點在上且，則，所以，即，故A錯誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯誤.故選：C3．C【分析】利用拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離求解.【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以，解得，故選：C.4．B【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.【詳解】由拋物線可知，準線方程為，因為到直線的距離為，所以到拋物線準線的距離為，由拋物線定義知，.故選：B5．C【分析】由對稱性可得曲線方程，求出準線方程即可.【詳解】因為拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，所以將互換后可得拋物線方程為，即，所以的準線方程為，故選：C.6．C【分析】求出拋物線的準線方程和雙曲線的焦點坐標，由條件列方程求.【詳解】拋物線的準線方程為，雙曲線的左焦點的坐標為，右焦點的坐標為，因為拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，所以，所以，故選：C.7．D【分析】直接根據(jù)拋物線焦半徑公式計算得到答案.【詳解】拋物線的準線方程為，因為點在拋物線上，P的橫坐標為4，拋物線的焦點為F，所以等于點到直線的距離，所以，故選：D.8．D【分析】由拋物線的定義，將拋物線上一點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，列方程求出點的坐標，進而得出點到原點的距離．【詳解】拋物線的準線為，由題意，設(shè)，，，，則點P到原點的距離為，故選：D9．C【分析】過點A向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準線交x軸于D.利用幾何法求出直角三角形的三邊，利用勾股定理即可求解.【詳解】如圖示：過點A（不妨設(shè)為第一象限點）向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準線交x軸于D.因為四邊形ABOF為等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由拋物線的定義可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故選：C10．C【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足的動點的軌跡，從而可判斷①；利用線線關(guān)系將點線距離轉(zhuǎn)化為點點距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動點的軌跡，即可得判斷②③，從而可得答案.【詳解】對于①，如圖在正方體中，連接，在正方體中，因為四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面平面，平面，點總滿足，所以平面，所以，則動點的軌跡是一條直線，故①正確；對于②，平面,平面，則點到直線等于到的距離，又到平面的距離等于到的距離，則到的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線，故②正確；對于③，點到直線的距離等于到的距離，所以到的距離與到點的距離之和為2，即，則點的軌跡為線段，故③不正確.所以正確的命題個數(shù)是2.故選：C.11．D【分析】由焦半徑公式列出方程，求出，得到，求出的長.【詳解】拋物線準線方程為，由焦半徑可知：，解得：.則，此時，則.故選：D12．2（答案不唯一）【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)有，結(jié)合已知得，即可得.【詳解】由拋物線的性質(zhì)知，又，即.所以的一個值可以為2.故答案為：2（答案不唯一）13．3【分析】先求出，然后得出拋物線的準線方程，即可得出答案.【詳解】由題可得，所以，所以準線，所以上一點到的距離為，故答案為：3.14．1【分析】由拋物線性質(zhì)可知焦點坐標；過作垂直于直線，由比例關(guān)系得出到軸的距離.【詳解】拋物線的焦點，準線.過作垂直于直線于，則軸.設(shè)直線與軸交于點，因為，所以，，由軸得，，所以，因此點到軸的距離為1.

故答案為：;1.15．2【分析】求得的縱坐標，進而可求得，可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點為，因為過點且垂直于其對稱軸的直線交于點，，所以，將，代入拋物線方程，可得，所以，解得，焦點到其準線的距離為.故答案為：.16．/0.5【分析】由拋物線的定義可知，過作軸的垂線垂足是焦點，即可得到答案.【詳解】拋物線焦點在軸上，且焦點，故拋物線的對稱軸為軸，拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，由拋物線的定義可知，點到準線的距離與到焦點的距離相等，所以，若軸，則垂足為點，即，故答案為：17．相切【分析】第一空由點在拋物線上代入可得拋物線方程，進而得到焦點坐標；第二空由兩點間距離公式求出圓的半徑與焦點到準線的距離相比較可得.【詳解】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點F的坐標為；由兩點間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點到準線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是相切.故答案為：；相切.18．/0.5【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計算即可得.【詳解】由拋物線準線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.19．【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得出焦點坐標，根據(jù)拋物線的定義求出，進而可得出.【詳解】由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.

故答案為：；.20．4【分析】由拋物線的性質(zhì)得到到的準線的距離，然后解出的橫坐標，最后求出到直線的距離即可.【詳解】由點在上，的焦點為，準線為，知到直線的距離等于.而，故到直線的距離為.設(shè)的坐標為，由到直線的距離為，知，所以或.而，故.所以到直線的距離為.故答案為：.21．【分析】根據(jù)拋物線定義可得，結(jié)合中點坐標公式可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知