課時(shí)規(guī)范練63排列與組合基礎(chǔ)鞏固練1.某單位計(jì)劃舉行慶?；顒?dòng),共有4個(gè)節(jié)目,要求A節(jié)目不排在第一個(gè),則節(jié)目安排的方法數(shù)為()A.9 B.18 C.24 D.272.(2024·江蘇宿遷三模)甲、乙、丙等5人站成一排,甲、乙相鄰,且乙、丙不相鄰,則不同排法共有()A.24種 B.36種 C.48種 D.72種3.(2020·新高考Ⅱ,6)3名學(xué)生假期到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者,每名學(xué)生只能選擇去1個(gè)村,每個(gè)村至少去1名志愿者,則不同的安排方法共有()A.2種 B.3種 C.6種 D.8種4.(2024·山東濱州二模)某單位安排5名同志在5月1日至5日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天,丙不安排在5月3日,則不同的安排方案共有()A.42種 B.40種 C.36種 D.30種5.(2025·上海青浦模擬)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n(n≥2,n∈N)滿足下列性質(zhì)T的一個(gè)排列,性質(zhì)T:排列a1,a2,…,an中有且僅有一個(gè)a1>ai+1(i∈{1,2,…,n-1}),當(dāng)n=5時(shí),滿足性質(zhì)T的數(shù)列的個(gè)數(shù)是()A.6 B.24 C.5 D.1206.(2024·河南新鄉(xiāng)二模)老師有6本不同的課外書(shū)要分給甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分得一本,則不同的分法有()A.248種 B.168種 C.360種 D.210種7.(2024·山東青島二模)甲、乙、丙、丁、戊5名調(diào)查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)區(qū)域進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,每個(gè)區(qū)域至少去一名調(diào)查員,若甲不去城東,則不同的安排方法共有()A.36種 B.60種 C.96種 D.180種8.(多選題)(2024·新疆克孜勒蘇模擬)甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排拍照留念,下列結(jié)論正確的是()A.站成一排不同的站法共有120種B.若甲和乙不相鄰,則不同的站法共有36種C.若甲站在最中間,則不同的站法共有24種D.若甲不站排頭,則不同的站法共有96種9.(2024·福建泉州模擬)圍棋在中國(guó)古時(shí)稱(chēng)“弈”,是一種策略性二人棋類(lèi)游戲.圍棋棋盤(pán)由縱橫各19條等距離、垂直交叉的平行線構(gòu)成.則圍棋棋盤(pán)上的矩形數(shù)量為.(用數(shù)字作答)10.(2024·山東聊城三模)2本相同的圖畫(huà)書(shū)和2本不同的音樂(lè)書(shū)全部分給3個(gè)小朋友,每人至少1本,且2本圖畫(huà)書(shū)不分給同一個(gè)小朋友,則不同的分法共有種.綜合提升練11.(2024·河南九師聯(lián)盟聯(lián)考)有除顏色外大小相同的9個(gè)小球,其中有2個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)黑球,同色球不加區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列,要求2個(gè)紅球相鄰,3個(gè)白球兩兩互不相鄰,不同的排列種數(shù)為()A.100 B.120 C.10800 D.2160012.(2025·重慶九龍坡模擬)在某次競(jìng)賽活動(dòng)的組織過(guò)程中,有甲、乙等5名教師參加了接待、咨詢(xún)、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目,每名教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目,每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名教師參加.若甲、乙兩名教師不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目,則不同的安排方案有()A.108種 B.114種 C.150種 D.240種13.(2024·浙江金華模擬)將1至8這8個(gè)整數(shù)排成一列,要求任意相鄰兩項(xiàng)互質(zhì),則不同的排列方法有種.14.(2024·福建廈門(mén)模擬)有10名演員,其中8人會(huì)唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要表演一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,則不同的選派方法共有種.

15.(17分)(2025·北京房山檢測(cè))設(shè)數(shù)列{dn}(n∈N*),dn為1,2,3,…,n的滿足下列性質(zhì)T的排列a1,a2,…,an的個(gè)數(shù),性質(zhì)T:排列中僅存在一個(gè)i,i∈{1,2,…,n-1},使得ai>ai+1.(1)求d1,d2的值,并寫(xiě)出n=3時(shí)其中一種排列的情形;(2)若n=4,求滿足性質(zhì)T的所有排列的情形;(3)求數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式.創(chuàng)新應(yīng)用練16.(多選題)某電影院的一個(gè)播放廳的座位如圖所示(標(biāo)黑表示該座位的票已被購(gòu)買(mǎi)),甲、乙兩人打算購(gòu)買(mǎi)兩張?jiān)摬シ艔d的票,且甲、乙不坐前兩排.()A.若甲、乙左右相鄰,則購(gòu)票的情況共有54種B.若甲、乙不在同一列,則購(gòu)票的情況共有1154種C.若甲、乙前后相鄰,則購(gòu)票的情況共有21種D.若甲、乙分坐于銀幕中心線的兩側(cè),且不坐同一排,則購(gòu)票的情況共有508種答案：1.B解析由題意,先從后面3個(gè)位置中選擇一個(gè)安排A節(jié)目,然后其他3個(gè)節(jié)目任意排在剩下的3個(gè)位置,共有C31A32.B解析甲、乙捆綁在一起看成一個(gè)整體,與丙以外的2人全排列,有A33A22=12(種)排法,又因?yàn)橐摇⒈幌噜?所以把丙放入一共有3種,所以一共有12×3=3.C解析先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組,有C31C22=3(種)方法;再將分好的兩組學(xué)生安排到2個(gè)村,有A22=2(種)方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同的安排方法共有34.B解析甲、乙相鄰的排列數(shù)是A22A44,其中甲、乙相鄰且丙排在5月3日的排列數(shù)為2A22A22,5.B解析當(dāng)n=5時(shí),a1,a2,…,a5是1,2,3,4,5的一個(gè)排列,由排列a1,a2,…,a5中有且僅有一個(gè)a1>ai+1(i∈{1,2,3,4}),可得a1=2,a2,a3,a4,a5是1,3,4,5的任意一個(gè)排列,則滿足性質(zhì)的數(shù)列一共有A44=24(個(gè)6.D解析第一類(lèi):甲、乙、丙每人分得2本,有C62C42C第二類(lèi):甲分得2本,乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本,有C62C41C33A22=120(種)分法7.D解析城東去1人,不同安排方法有C41C4城東去2人,不同安排方法有C42A3所以不同的安排方法共有144+36=180(種).8.ACD解析甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站一排,不同的站隊(duì)方式共有A55=120(種),故A正確;甲和乙不相鄰的站隊(duì)方式有A33A42=72(種),故B不正確;甲在最中間的不同的站隊(duì)方式有A44=24(種),故C正確;甲不站排頭,則先從其余四人中選一人站排頭,再將其余三人與甲任意排,故不同的站隊(duì)方式有C419.29241解析矩形是在同一平面內(nèi),由兩組平行線段組成,且每?jī)上嘟痪€段均垂直的閉合圖形.則橫向19條線、縱向19條線中各選擇2條即可構(gòu)成矩形,即C192C19210.15解析由題可知,1個(gè)小朋友分得2本書(shū),且此2本均為音樂(lè)書(shū),或者1本圖畫(huà)書(shū)、1本音樂(lè)書(shū),其他小朋友各分得1本書(shū).若2本均為音樂(lè)書(shū),有C31=3(種)若1本圖畫(huà)書(shū)、1本音樂(lè)書(shū),有C31C21A22=12(種)分法.故共有311.A解析將4個(gè)黑球放好有一種,形成5個(gè)空,從中選一個(gè)空將2個(gè)紅球作為一個(gè)整體排上,有C51種排法,如此就形成6個(gè)空,將3個(gè)白球插空到6個(gè)空中,有C63種排法,故共有C5112.B解析5名教師按3∶1∶1分組有C53種方法,按2∶2∶1分組有C52C32A22種分法,因此5名教師的安排方案有(C53+C52C32A22)A33種,當(dāng)甲、乙在同一組時(shí),甲乙可視為113.1728解析由于任意相鄰兩項(xiàng)互質(zhì),所以偶數(shù)必須隔開(kāi),所以先把四個(gè)奇數(shù)排成一列有A44種方法,然后把偶數(shù)插空進(jìn)去,四個(gè)偶數(shù)中只有6不能與3相鄰,其他偶數(shù)可以隨意插空,所以先考慮把6插空,有A31種選擇,剩下的3個(gè)偶數(shù)在剩下的4個(gè)空中隨意插空,所以共有A44A314.199解析由題意,易知10名演員中有5人只會(huì)唱歌,2人只會(huì)跳舞,3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞,以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究:①只會(huì)唱歌的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員,有C32②只會(huì)唱歌的5人中只有1人選上唱歌人員,有C51③只會(huì)唱歌的5人中有2人選上唱歌人員,有C52由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,選派方法共有C32C3215.解(1)由性質(zhì)T的定義可知:當(dāng)n=1時(shí),由1構(gòu)成的排列不滿足性質(zhì),故d1=0;當(dāng)n=2時(shí),由構(gòu)成的排列2,1滿足性質(zhì)T,故d2=1;當(dāng)n=3時(shí),由1,2,3構(gòu)成的所有排列為(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2),其中滿足僅存在一個(gè)i∈{1,2,3},使得ai>ai+1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),從中任選一個(gè)即可.(2)若n=4,由1,2,3,4構(gòu)成的所有A44=24種排列中,符合性質(zhì)T的排列有(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,2,4),(3,4,1,2),(4,1,2,3),故d4=(3)由(1),(2)可得d1=0,d2=1,d3=4,d4=11,同理可得d5=26,可歸納出dn=2n-n-1.證明:∵在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,an)中,若a1=n(1≤i≤n-1),從(n-1)個(gè)數(shù)1,2,3,…,n-1中選(i-1)個(gè)數(shù),從小到大排列為a1,a2,…,ai-1,其余的則按從小到大的順序排列在余下位置,∴滿足題意的排列個(gè)數(shù)為Cn-1i-1,若ai=n-綜上,dn=dn-1+∑i=1n-1Cn-1i-1=dn-1+2n-1-1,即dn-dn-1=2n-1-1,∴dn=(dn-dn-1)+(dn-1-dn-2)+…+(d2-d1)=21+22+…+2n-1-(n-1)×(-1)=2×(1-2n-1)16.ABD解析若甲、乙左右相鄰,先選座位,在第三排有10種,在第四排有4種,在第五排有3種,在第六排有6種,在第七排有4種,共有27種.再考慮甲、乙順序,有A22=2(種),所以一共有27×2=54(種)購(gòu)票情況,故A甲、乙在同一列的情況共有A32+A52+A52+A32+A22若甲、乙前后相鄰,先選座位,有2+4+4+1+2+4+4=21(種),再考慮甲乙順序,有A22=2(種),所以一共有21×2=42(種)購(gòu)票情況,故C中心線左側(cè)有18個(gè)座位,右側(cè)有18個(gè)座位