§2-8方形勢(shì)阱知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)勢(shì)阱一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量本征值和本征函數(shù)一維方形勢(shì)阱中粒子的能量本征值能量本征值和概率分布的特征學(xué)會(huì)求解一維方勢(shì)阱能量本征值和本征函數(shù)的方法。對(duì)比一維勢(shì)阱中粒子能量取值和經(jīng)典能量取值的差別。會(huì)通過(guò)能量本征函數(shù)計(jì)算粒子的位置概率分布。

本節(jié)內(nèi)容1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱一維無(wú)限深勢(shì)阱（對(duì)稱(chēng)）能量本征方程1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱求解方程勢(shì)阱外：（剛性壁），勢(shì)阱內(nèi)：方程的解：有三種寫(xiě)法由于一維無(wú)限深勢(shì)阱屬于束縛定態(tài)情況，所以波函數(shù)通常不用復(fù)數(shù)形式，因此可以采用后面兩種的任意一種形式。例如采用第三種寫(xiě)法1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件定解：連續(xù)性：能量本征值能量本征函數(shù)1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱歸一化能量本征解1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱討論能量本征值能量與n有關(guān)，取值量子化。這是波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件的結(jié)果，與經(jīng)典情況完全不同。存在最低能量這是微觀粒子具有波動(dòng)性（滿足不確定關(guān)系）的結(jié)果相鄰能級(jí)間距的相對(duì)值量子力學(xué)→經(jīng)典力學(xué)能級(jí)連續(xù)1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱能量本征函數(shù)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)，這是由勢(shì)阱具有對(duì)稱(chēng)性引起的。n為偶數(shù)時(shí)n為奇數(shù)時(shí)奇宇稱(chēng)偶宇稱(chēng)1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱勢(shì)阱內(nèi)粒子的概率分布與經(jīng)典概率分布完全不同。當(dāng)n很大時(shí)，概率分布快速振蕩，其平均值（測(cè)量值）變?yōu)槎ㄖ?，即粒子在阱?nèi)各處概率相等，這正是經(jīng)典結(jié)果。1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱正交歸一性滿足正交歸一性是力學(xué)量本征函數(shù)的共同特征。1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱滿足駐波條件勢(shì)阱的寬度正好等于德布羅意波半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，這正是駐波的特征。實(shí)際上例如，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)本征函數(shù)是兩列強(qiáng)度相同沿相反方向傳播的平面波疊加形成的駐波。1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱一維無(wú)限深勢(shì)阱（非對(duì)稱(chēng)）勢(shì)場(chǎng)能量本征解概率分布1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱與自由粒子的比較無(wú)限深方勢(shì)阱：能量本征值取值斷續(xù)；當(dāng)時(shí)，能量本征值取值逐漸連續(xù)，過(guò)渡到自由粒子。自由粒子：能量本征值取值連續(xù)。與箱中粒子的比較箱歸一化：假定波函數(shù)仍為平面波，在邊界上不連續(xù)，近似方法。兩種方法得到的能量本征解不同。無(wú)限深方勢(shì)阱：利用薛定諤方程求解，結(jié)果嚴(yán)格。AB提交7-1一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子在不同位置出現(xiàn)的概率都相同。一般不同。單選題1分1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱有限深方勢(shì)阱能量本征方程1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱令，則利用標(biāo)準(zhǔn)化條件定解1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱有限性：連續(xù)性：在

、

處波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方形勢(shì)阱注意：角度與分別處于第一、三象限和第二、四象限1一維無(wú)限深勢(shì)阱2方