排列組合試題分析方法及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.從5個(gè)不同元素中選3個(gè)的組合數(shù)是（）A.10B.15C.20D.602.5個(gè)人站成一排，有多少種不同站法（）A.120B.60C.24D.7203.從3名男生和2名女生中選2人參加活動(dòng)，至少有1名女生的選法有（）A.6種B.7種C.8種D.9種4.用1、2、3、4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，偶數(shù)有（）個(gè)A.6B.12C.18D.245.某班有8個(gè)小組，從中選2個(gè)小組進(jìn)行展示，選法有（）A.28種B.32種C.56種D.64種6.6本書(shū)分給3個(gè)人，每人2本，分法有（）A.90種B.120種C.180種D.720種7.從10個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素的排列數(shù)為（）A.5040B.210C.1000D.408.4個(gè)相同的球放入3個(gè)不同盒子，允許有空盒，放法有（）A.15種B.10種C.9種D.6種9.有5種顏色涂4個(gè)區(qū)域，相鄰區(qū)域不同色，涂法有（）A.180種B.240種C.320種D.420種10.7人排成一排，甲、乙相鄰的排法有（）A.1440種B.720種C.120種D.60種二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于排列問(wèn)題的有（）A.從10個(gè)人中選2人做正副組長(zhǎng)B.從10個(gè)人中選2人參加會(huì)議C.從5個(gè)景點(diǎn)選2個(gè)游覽D.5個(gè)同學(xué)互通一次電話(huà)E.5個(gè)同學(xué)互寫(xiě)一封信2.從6名醫(yī)生和4名護(hù)士中選3人組成醫(yī)療小組，要求至少有1名護(hù)士，選法正確的是（）A.\(C_{4}^{1}C_{6}^{2}+C_{4}^{2}C_{6}^{1}+C_{4}^{3}\)B.\(C_{10}^{3}-C_{6}^{3}\)C.\(C_{4}^{1}C_{9}^{2}\)D.\(C_{6}^{2}C_{4}^{1}\)E.\(C_{4}^{3}+C_{6}^{1}C_{4}^{2}\)3.用0、1、2、3、4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，正確的是（）A.總數(shù)為\(A_{5}^{3}\)B.偶數(shù)有\(zhòng)(A_{4}^{2}+A_{2}^{1}A_{3}^{1}A_{3}^{1}\)個(gè)C.奇數(shù)有\(zhòng)(A_{3}^{1}A_{3}^{2}\)個(gè)D.大于200的有\(zhòng)(A_{3}^{1}A_{4}^{2}\)個(gè)E.能被5整除的有\(zhòng)(A_{4}^{2}\)個(gè)4.對(duì)于排列組合公式\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)，\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，正確說(shuō)法有（）A.\(n\geqm\)且\(n,m\inN\)B.\(A_{n}^{m}=m!C_{n}^{m}\)C.\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)D.\(C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^{m}\)E.\(A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)5.6個(gè)人站成一排，甲不在兩端的排法有（）A.\(A_{4}^{1}A_{5}^{5}\)B.\(A_{5}^{2}A_{4}^{4}\)C.\(A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}\)D.\(C_{4}^{1}A_{5}^{5}\)E.\(A_{4}^{2}A_{4}^{4}\)6.下列組合數(shù)運(yùn)算正確的有（）A.\(C_{5}^{2}=10\)B.\(C_{7}^{3}=C_{7}^{4}\)C.\(C_{10}^{8}=45\)D.\(C_{6}^{1}+C_{6}^{2}=21\)E.\(C_{8}^{3}-C_{8}^{2}=28\)7.把4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，方法有（）A.\(C_{4}^{2}A_{3}^{3}\)B.\(A_{4}^{3}\)C.\(C_{4}^{1}C_{3}^{1}C_{2}^{2}A_{2}^{2}\)D.\(C_{4}^{1}C_{3}^{2}A_{2}^{2}\)E.\(C_{4}^{2}C_{2}^{1}A_{3}^{3}\)8.從1-9這9個(gè)數(shù)字中選3個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且數(shù)字和為偶數(shù)，選法有（）A.\(C_{4}^{1}C_{5}^{2}A_{3}^{3}\)B.\(C_{4}^{3}A_{3}^{3}\)C.\(C_{5}^{3}A_{3}^{3}\)D.\(C_{4}^{2}C_{5}^{1}A_{3}^{3}\)E.\(C_{9}^{3}A_{3}^{3}\)9.8個(gè)人坐成一圈，不同坐法有（）A.\(\frac{A_{8}^{8}}{8}\)B.\(A_{7}^{7}\)C.\(C_{8}^{8}\)D.\(A_{8}^{7}\)E.\(\frac{8!}{8}\)10.從3名語(yǔ)文老師、4名數(shù)學(xué)老師和3名英語(yǔ)老師中選3人，要求三種學(xué)科老師都有，選法有（）A.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}\)B.\(C_{10}^{3}-C_{3}^{3}-C_{4}^{3}-C_{3}^{3}\)C.\(C_{3}^{2}C_{4}^{1}C_{3}^{0}+C_{3}^{1}C_{4}^{2}C_{3}^{0}+C_{3}^{0}C_{4}^{1}C_{3}^{2}\)D.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{2}C_{4}^{1}+C_{3}^{1}C_{4}^{2}\)E.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{2}C_{3}^{1}+C_{4}^{2}C_{3}^{1}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.從5個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)和組合數(shù)相等。（）2.\(A_{n}^{m}\)中\(zhòng)(n\ltm\)時(shí)也有意義。（）3.3個(gè)男生和3個(gè)女生站成一排，男生女生相間的排法有\(zhòng)(A_{3}^{3}A_{3}^{3}\)種。（）4.把5個(gè)相同的球放入3個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，有\(zhòng)(C_{4}^{2}\)種放法。（）5.用1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，奇數(shù)比偶數(shù)多。（）6.\(C_{n}^{m}\)與\(C_{n}^{n-m}\)的值一定相等。（）7.從6個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素的組合數(shù)是取出2個(gè)元素組合數(shù)的2倍。（）8.7個(gè)人站成一排，甲、乙、丙三人相鄰的排法有\(zhòng)(A_{5}^{5}A_{3}^{3}\)種。（）9.從10名學(xué)生中選3人參加不同的三項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)1人，有\(zhòng)(C_{10}^{3}\)種選法。（）10.6本書(shū)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，分法有\(zhòng)(C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}\)種。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述排列與組合的區(qū)別排列有順序要求，元素順序改變結(jié)果不同；組合無(wú)順序要求，只要元素相同即為同一組合。比如選正副組長(zhǎng)是排列，選兩人參加活動(dòng)是組合。2.用0、1、2、3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，求總數(shù)及偶數(shù)個(gè)數(shù)總數(shù)：百位不能為0，有\(zhòng)(A_{3}^{1}\)種選法，十位有\(zhòng)(A_{3}^{1}\)種，個(gè)位有\(zhòng)(A_{2}^{1}\)種，共\(A_{3}^{1}A_{3}^{1}A_{2}^{1}=18\)個(gè)。偶數(shù)：個(gè)位為0時(shí)，有\(zhòng)(A_{3}^{2}=6\)個(gè)；個(gè)位為2時(shí)，百位有\(zhòng)(A_{2}^{1}\)種，十位有\(zhòng)(A_{2}^{1}\)種，共\(A_{2}^{1}A_{2}^{1}=4\)個(gè)，所以偶數(shù)共\(6+4=10\)個(gè)。3.7個(gè)人站成一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，有多少種排法？方法一：間接法。\(A_{7}^{7}-2A_{6}^{6}+A_{5}^{5}=3720\)種。方法二：直接法。甲在排尾，有\(zhòng)(A_{6}^{6}\)種；甲不在排尾，甲有\(zhòng)(A_{5}^{1}\)種，乙有\(zhòng)(A_{5}^{1}\)種，其余\(A_{5}^{5}\)種，共\(A_{6}^{6}+A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}=3720\)種。4.簡(jiǎn)述隔板法的適用情況及應(yīng)用隔板法適用于將相同元素分配到不同組，每組至少一個(gè)元素的問(wèn)題。如將\(n\)個(gè)相同球放入\(m\)個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，放法有\(zhòng)(C_{n-1}^{m-1}\)種。例如5個(gè)相同球放3個(gè)盒子，有\(zhòng)(C_{4}^{2}=6\)種放法。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際生活中，哪些場(chǎng)景會(huì)用到排列組合知識(shí)，舉例說(shuō)明抽獎(jiǎng)活動(dòng)確定中獎(jiǎng)順序（排列）；從多種菜品中選幾種搭配套餐（組合）；安排會(huì)議座位順序（排列）；從若干志愿者中選部分人執(zhí)行不同任務(wù)（排列組合結(jié)合）等。2.在解決復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)，有哪些常用的解題策略？常用策略有特殊元素（位置）優(yōu)先法，先處理特殊元素或位置；捆綁法，相鄰元素看作整體；插空法，不相鄰元素用插空；間接法，先求總數(shù)再減去不滿(mǎn)足條件的；分組分配法等，根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選用。3.如何判斷一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例分析看元素順序改變結(jié)果是否變化。如選班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)，順序改變?nèi)诉x不同，是排列；選兩人參加活動(dòng)，兩人順序無(wú)關(guān)，是組合。比如從5人中選2人當(dāng)正副組長(zhǎng)是排列，選2人去搬書(shū)是組合。4.對(duì)于重復(fù)排列組合問(wèn)題，如何避免重復(fù)計(jì)算？要明確分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，確保不重不漏。對(duì)于有相同元素的排列組合，用除法消除重復(fù)，如相同元素全排列情況；對(duì)于分步選取有重復(fù)可能的，按合理順序選取，結(jié)合條件判斷，利用公式和原理準(zhǔn)確計(jì)算，多通過(guò)具體