高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題注意事項：1、答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答題卡指定位置上2、回答選擇題時選出每小題答案之后用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束之后，將本卷和答題卡一并收回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65【答案】B【解析】由題意得，解得，，解得，故.故選：B2.若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則（）A.3 B.6 C.9 D.18【答案】C【解析】若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以公比，且成等差數(shù)列，可得,即得可得，.故選：C.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與的位置關(guān)系是（）A.異面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直【答案】B【解析】由，，，，得，，則，即，而，顯然向量不共線，即點不在直線上，所以直線與平行．故選：B4.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，某班級有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】將5位同學(xué)分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學(xué)校，共有種方法.故選：C5.的展開式中的常數(shù)項為（）A. B.240 C. D.180【答案】C【解析】因為，又展開式的通項為，，所以的展開式中的常數(shù)項為.故選：C6.如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，，，，其大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得到橢圓①，②的b值相同，a值①比②小，則，可以知道，；根據(jù)雙曲線的開口越大離心率越大，則．所以，故選：A．7.若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即；又，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，即，綜上可得.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為,,則二面角的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，所以二面角的大小可能為或．故選：BC.10.法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列選項正確的是（）A.圓的方程為 B.四邊形面積的最小值為4C.的最小值為 D.當(dāng)點為時，直線的方程為【答案】BD【解析】當(dāng)切線的切點分別為橢圓上頂點和右頂點時，可以得到兩切線的交點為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出最小值，而的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；當(dāng)點為時，點，，，四點共以為直徑圓上，所以這個圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域為，且是的一個極值點，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程的判別式B.C.若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若且，則是的極小值點【答案】ABD【解析】因為，則，依題意是關(guān)于方程的一個變號正實數(shù)根，所以方程的判別式，故A正確；因為，顯然，所以，故B正確；當(dāng)時，因為，所以函數(shù)的開口向下，且與軸的正半軸只有一個交點，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；當(dāng)且，將代入，整理得，所以方程有兩個不相等正實數(shù)根與，又，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，是的極小值點，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足．且，若，則________．【答案】2024【解析】因為，所以，又，則，所以，故，則，所以，則的各項分別為，所以.故答案為：202413.已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在此區(qū)間上有極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題可知，當(dāng)時,,單調(diào)遞減，當(dāng)時,,單調(diào)遞增，故只有極小值點2.若在區(qū)間上有定義且有極值點，則，解得.故答案為:14.某校課外學(xué)習(xí)社對“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中有的學(xué)生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲，女生中有的學(xué)生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲，若有超過的把握但沒有的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635解：設(shè)男生有人，則由題意可得列聯(lián)表如下喜歡不喜歡合計男生女生合計則，因為有超過的把握但沒有的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，所以，得，因為為5的整數(shù)倍，所以可能取值為45，50，55，60，65，即被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有45，或50，或55，或60，或65人，故答案為：45，或50，或55，或60，或65四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極值36．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）由題意知．∵，，∴或，經(jīng)檢驗都符合題意．（2）當(dāng)時，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．16.在四棱錐中，底面是邊長為6的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）若，M為棱上一點，滿足，求點到平面的距離.解：（1）在四棱錐中，連接交于，連接，如圖，因為底面是菱形，則，又是的中點，，則，而平面，所以平面.（2）連接，由平面，平面，則，而，平面，因此平面，又是邊長為6的菱形，，則，面積，過作交于，而，且，則，顯然，于是，面積，令點到平面的距離為，又平面，由，即，得，解得，所以點到平面的距離為.17.某商場舉行抽獎活動，準(zhǔn)備了甲?乙兩個箱子，甲箱內(nèi)有2個黑球?4個白球，乙箱內(nèi)有4個紅球?6個黃球.每位顧客可參與一次抽獎，先從甲箱中摸出一個球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出兩個球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一個球.摸出一個紅球可獲得90元獎金，摸出兩個紅球可獲得180元獎金.（1）求某顧客摸出紅球的概率；（2）設(shè)某家庭四人均參與了抽獎，他們獲得的獎金總數(shù)為元，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“從甲箱中摸出黑球”，“從甲箱中摸出白球”，“從乙箱中摸出紅球”，“某顧客摸出紅球”，則.因為，所以.（2）設(shè)該家庭每個人獲得的獎金為元，則的取值可能為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為090180（元）.又因為，所以（元）.18.已知橢圓經(jīng)過點和．（1）求的方程；（2）若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標(biāo)．解：（1）由題意得，把點的坐標(biāo)代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點的坐標(biāo)為．因為，所以直線的斜率為，同理可得點．當(dāng)時，有，解得，直線的方程為．當(dāng)時，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過定點．又當(dāng)時，直線也過點．綜上，直線過定點．（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設(shè)，則，．因為，所以，即，，，化簡得，解得或，所以直線的方程為或（過點A,不合題意，舍去），所以直線過定點．當(dāng)直線垂直于軸時，設(shè)它的方程為，因為，所以．又，解得或（過點A,不合題意，舍去），所以此時直線的方程為，也過點．綜上，直線過定點．19.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.（3）考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意，，，，，所以數(shù)列有六種可能：；；；；；．（2）因為，，所以，所以控制數(shù)列是不減的數(shù)