高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得，即，因，故.故選：B.2.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，由，得，而不能推出，A是；對于BC，取，滿足，，而，BC不是；對于D，，D不是.故選：A.3.已知角滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由，解得：.故選：C.4.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，而，，故.故選：C.5.角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可得，.化簡，把，代入，可得.故選：B.6.假設(shè)在不考慮空氣阻力的條件下，某型號火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（k為大于0的常數(shù)）．已知當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍時(shí)，火箭的最大速度，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)，火箭的最大速度（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍，火箭的最大速度時(shí)，則，得，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)，火箭的最大速度.故選：D.7.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對任意，恒成立，若，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，令，可得，而，則由可得，因函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則有，解得.故選：A.8.若函數(shù)與有相同的對稱軸，則的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)的對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的對稱軸，則，化為因?yàn)榈仁接疫吺瞧鏀?shù)，所以不可能為偶數(shù)，因?yàn)?，所以的可能取值為，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，的所有可能取值的個(gè)數(shù)為3.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.命題“”的否定是“”B.與表示同一函數(shù)C.已知，則的最小值為5D.函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)【答案】AC【解析】對于A，因命題“”的否定是“，故A正確；對于B，因函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對于C，由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)的最小值為5，故C正確；對于D，對于函數(shù)（，且），當(dāng)時(shí)，，則，即函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.的一個(gè)周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】如圖可知，，且函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，則得：，由①得：，因，則得，因?yàn)樵谠鰠^(qū)間中，由②可得，即，因，則.故.對于A，因，故A正確；對于B，因，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即B正確；對于C，因，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)的圖象在上遞減，在遞增，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為B.若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)名，則的取值范圍為D.對任意，函數(shù)在內(nèi)無最小值【答案】ABD【解析】對于A中，由函數(shù)，要使得在上單調(diào)遞增，則，即，所以，所以A正確；對于B中，令，當(dāng)時(shí)，可得，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則需有一個(gè)零點(diǎn)，則；當(dāng)時(shí)，可得，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則需有兩個(gè)不等的小于1的實(shí)根，則滿足，解得，所以若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，所以B正確.對于C中，設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)分別是，則，可得，令，則在上單調(diào)遞減，所以，，即的取值范圍是，所以C錯(cuò)誤；對于D中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在沒有最小值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在沒有最小值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在沒有最小值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)扇形的圓心角是，弧長是，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，則由，可得，則扇形的面積為.13.若不等式對任意都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________．【答案】【解析】由不等式對任意都成立，可得不等式對任意都成立，因，，則得，故得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.14.已知且滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】因?yàn)?，則.所以.即.則.等式兩邊同時(shí)除以得.則，即.所以.設(shè)，因?yàn)椋?，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以.則的最大值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值．（1）；（2）已知，若，求的值．解：（1）.（2）由，得，即，則，因此.16.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）因函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則解得，故.（2）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，所以不等式可化為，所以，即，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）寫出函數(shù)的解析式并求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求最大值以及取得最大值時(shí)x的值．解：（1）由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得；再將其圖象向右平移個(gè)單位長度得到：.令，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，由，可得，由余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可知時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)相應(yīng)的x的值為.18.已知函數(shù)．（1）若，求的值域；（2）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的值；（3）在（2）的條件下，若對使得恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）時(shí)，，因?yàn)?，因此，，即的值域是．?）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且的定義域?yàn)?，所以由得：，整理得，由可知，得．?）由題意可知：只需，由（2）得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因此，即，因此在恒成立，即在恒成立，令，則，因此在恒成立，即在恒成立，所以在恒成立，只需，顯然函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，因此，，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19.若的最大值為1．（1）求常數(shù)a的值；（2）若，且，求角；（3）在（2）的條件下，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同