2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《弧長(zhǎng)與扇形面積》專項(xiàng)檢測(cè)卷含答案

學(xué)校:姓名:班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)A,B,C,。在半徑為3的。。上，若NABC=60。，AD=3CD＞則AO的

2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A,B,C,格點(diǎn)C,

。的連線交8c于點(diǎn)￡，則EC的長(zhǎng)為（）

A713口岳「岳nV13

A.------兀D.--------71C?兀D.--------71

4862

3.如圖，在VA3C中，AB=AC,以AC為直徑的。。與AB,3C分別交于點(diǎn)E,連

接AE,DE,若四=3,/BED=45。，則陰影部分的面積為（）

4.如圖，在正方形中，先以點(diǎn)8為圓心，48長(zhǎng)為半徑畫弧，再以C。為直徑作半圓

O,交前弧于點(diǎn)E,連接CE,DE.若筋=10,則圖中陰影部分的面積為（）

A\\D

25

A.—7i—20B.257i—20

2

25

C.—Ji—18D.25K—18

2

5.如圖1,一個(gè)扇形紙片的圓心角為90。，半徑為6.如圖2,將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)

A與點(diǎn)。恰好重合，折痕為C。，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為（）（答案

用根號(hào)表示）

圖1圖2

A.6n--B.述C.67tD.273

23

6.在梯形紙片ABCZ）中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=2,將這張紙片折疊一次，

使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，設(shè)折痕所在直線為/,則點(diǎn)A沿直線/翻折至與點(diǎn)C重合的過(guò)程中形

成的軌跡的長(zhǎng)度為（）

A.且兀B.島C.-71D.兀

22

二、填空題

7.如圖，圓錐側(cè)面展開(kāi)得到扇形，此扇形圓心角NACB=120。，圓錐的底面半徑。4=2,

則此圓錐的側(cè)面積是.

8.如圖，。。的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)，則斗尸的長(zhǎng)為

9.如圖，直線。〃直線6,點(diǎn)A在直線。上，點(diǎn)、B,C在直線b上，以的中點(diǎn)。為圓

心，C力的長(zhǎng)為半徑畫弧交直線。于點(diǎn)E.若AB=3C=4,ZABC=60°,則&的長(zhǎng)為

10.如圖，某品牌的形狀是“萊洛三角形”，它的三“邊”分別是以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓

心，邊長(zhǎng)為半徑的三段圓弧.若該等邊三角形的邊長(zhǎng)為15,則這個(gè)“萊洛三角形”的周長(zhǎng)

11.如圖，正六邊形ABCDE尸的邊長(zhǎng)為2,以對(duì)角線AC為直徑作圓.則圖中陰影部分的面

積為.

12.兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖所示放置，半圓?！膱A心落在半圓。的圓弧上，半圓O'的

一個(gè)直徑端點(diǎn)與的圓心重合，若半圓的半徑為1,則陰影部分的面積是.

三、解答題

13.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，點(diǎn)。在A3上，以點(diǎn)。為圓心的半圓與8C邊相切

于。點(diǎn)，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：點(diǎn)。平分環(huán)；

(2)當(dāng)AO=6jL/C4D=300時(shí)，求人〃的長(zhǎng).

14.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,/A4C的平分線交于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心,

OC長(zhǎng)為半徑畫圓，。。交A。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸.

(1)試判斷與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若AC=^,AE=1,求陰影部分的面積.

15.如圖1,己知等腰三角形ABC的外接圓圓心為點(diǎn)0,AB=AC,BO為。。的直徑，AD

交BC于點(diǎn)E,AE=3,DE=6；

圖1

⑴求AB的長(zhǎng);

(2)連OC,求證：四邊形ABOC為菱形;

(3)直接寫出圖2中陰影部分的面積.

16.如圖，A3是。。的切線，切點(diǎn)為2,Q4交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C的切線交48于點(diǎn)。.若

⑴求。。的半徑;

(2)若點(diǎn)P在BmC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸到直線2C的距離為X,圖中陰影部分的面積為y,求y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

17.如圖1,。。的半徑。4=3,弦AB=36直線肱V與。。相切于點(diǎn)C,MN〃OA.點(diǎn)

尸為弦A3的中點(diǎn)，連接BC.

圖1圖2

⑴如圖1,求一ABC大小及線段OP的長(zhǎng)度；

⑵若弦48以圓心0為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A'"，3'C時(shí)停止，如圖2所示，求點(diǎn)尸走

過(guò)的路線長(zhǎng).

18.如圖，在Rt^ABC中，?B90?,/A4c的平分線AD交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上,

以AE為直徑的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。.

⑴求證：8C是。。的切線；

(2)若點(diǎn)尸是劣弧AO的中點(diǎn)，且CE=5,求陰影部分的面積.

參考答案

題號(hào)123456

答案DAAAAA

1.D

【分析】此題考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

首先求出ZAOC=2/3=120。，然后根據(jù)4。=3。求出4。。=90。，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求

解即可.

【詳解】解：VZABC=60°

，ZAOC=2ZB=120°

,?*AD=3CD

：.ZAOD=3ZCOD

?/ZAOD+Z.COD=ZAOC=120°

AZAOD=90°,ZCOD=30°

:半徑為3

.AAiz乂一90兀x33

■,AD的長(zhǎng)為------TI

A0180=—2.

故選：D.

2.A

【分析】連接AE、AC、AD,由/ABC=90。，可知AC是直徑且值為后，可知NAEC=90。,

根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出AACO是等腰直角三角形，求出/ACE=N。歸=45。，可知

EC的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的;，利用圓周長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示：連接AE、AC、AD,

?；/ABC=90。，

AC是直徑，

NABC=NAEC=90。，

根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：

AC=AD=y/13,CD=y/26,

，AC~+AD2=CD。=26,

...AACD是等腰直角三角形，

ZCAD=90°,ZACE=45°,

ZEAC=45°,

???EC所對(duì)的圓心角是90。，

???EC的長(zhǎng)為以AC為直徑的圓周長(zhǎng)的;,

BPI=—X7TXA/13="^兀.

比'44

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理、圓周角定理及其推論、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、利用網(wǎng)格求

線段長(zhǎng)等知識(shí)，準(zhǔn)確的作出輔助線構(gòu)造出直角三角形和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計(jì)算.連接OE,

OD,證明'=可得S陰影=S扇形加，求解NAOD=90。，再利用扇形的面積公式計(jì)

算即可.

【詳解】解：連接OE,OD,

c

???AC為的直徑,

：.ZAEC=90°f

XVAB=AC,

:.BE=CE,

即點(diǎn)E是3C的中點(diǎn),

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

工。石是VABC的中位線,

：.OE//AB,

?q—v

??^^AOD~0^AED，

S陰影=S扇形04。,

VZAEC=90°,

.??ZAEB=90°9

'：ZBED=45°,

：.ZAED=45°,

：.ZAOD=90°,

XVAC=AB=3

故選：A.

4.A

【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，作即/，C￡于

H,利用垂徑定理可得E//=C8=!CE,利用圓周角定理得到NCEO=90。，然后通過(guò)證得

絲△CDE(AAS),得出。E=；CE,設(shè)DE=x,CE=2x,根據(jù)勾股定理得出無(wú)？=20,

然后根據(jù)S陰影=S半圓CEO-S^CED即可求解.

【詳解】解：如圖，作于則EH=CH二CE,

2

：.ZCED=90°,

：?NECD+NEDC=90。,

*：ZBCD=90°,

；?NBCH+NECD=90。,

：.NEDC=NBCH,

VBC=CD,ZBHC=/CED=90。,

：.△BCW^ACDE(AAS),

DE=CH,

：.DE=-CE,

2

設(shè)DE=x,CE-2x,

在Rt^CDE中，由勾股定理得，

DE2+CE2=CD2，即/+(2%y=102，

，犬=20,

1_19

,*?\CED=—DECE=—x2x=x=20,

?12

,,S陰影-S半圓CE。一S^CED=a%x5—20=

故選：A.

5.A

【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積

轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.記住扇形面積的計(jì)算公式.連接0D,如圖，利用折疊性質(zhì)得由弧

AD、線段AC和O)所圍成的圖形的面積等于陰影部分的面積，AC=OC,則OD=2OC=6,

CD=3^3,從而得到/CDO=30。，ZCOD=60°,然后根據(jù)扇形面積公式，利用由弧A。、

線段AC和所圍成的圖形的面積=S扇形AOD-SACOD，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：連接OD,如圖,

使點(diǎn)A與點(diǎn)。恰好重合，折痕為CZ),

AC=OC,

:.OD=2OC=6,

..CD=&2—3?=3百,

???sinZCDO=-,

2

ZCDO=30°fZCOD=60°f

「?由弧A。、線段AC和8所圍成的圖形的面積=S扇形OA0―SROD

膽―3艮6*

36022

???陰影部分的面積為6兀-臉

2

故選：A.

6.A

【分析】先利用ASA證明再通過(guò)證明四邊形ADCP的四條邊相等，來(lái)證

明它是菱形，然后利用勾股定理求得AE,再利用弧長(zhǎng)公式求解.

【詳解】解：如圖，連線AC與直線/交于點(diǎn)E,直線/交于點(diǎn)尸，連結(jié)CP,

由折疊可知，AE=EC,

VAB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=2,

：.AD=DC=BC=1,

/.AE1Z,

???直線/是AC的垂直平分線，

：.AF=FC,ZDEC=ZAEFf

'：AB//CD,

：.ZDCE=ZEAF,

在戶與△C￡D中，

/DEC=ZAEF

<CE=AE,

/DCE=/EAF

：.AAEF^ACED(ASA),

???AF=DC,

：.AD=DC=AF=FC=1,

???四邊形Mb是菱形，

:.BF=AB-AF=2-l=lf

???Eb是VABC的中位線，

???EF=-BC=~,

22

，AE=^AF2-EF2=卜一出=f,

???點(diǎn)A沿直線/翻折至與點(diǎn)。重合的過(guò)程中形成的軌跡是以E為圓心AE為半徑的半圓，

其長(zhǎng)度為；rx^=走".

22

故選：A^-x—=—

22

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，菱形的判斷與性質(zhì)，中位線的判

定與性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)證明四邊形的四條邊相等，來(lái)證

明四邊形是菱形，再利用勾股定理求解.

7.1271

【分析】題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，扇形的

弧長(zhǎng)等于該圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

1?0077X?

【詳解】解：由題意得，扇形的弧長(zhǎng)窗乃AC,

lot)3

圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=2?xQ4=4?,

2

^71=-71AC,解得AC=6,

.回海./前右工r曰120°^-xCA2120°^-x62c

??此LI圓錐的側(cè)面積是----------=---------=12%,

360°360°

故答案為：12萬(wàn).

8.5%

【分析】本題考查了正多邊形和圓，弧長(zhǎng)公式，垂徑定理.先利用正多邊形和圓的性質(zhì)求得

正六邊形的中心角，再利用垂徑定理求得NCOP=：/COD=30。，再利用弧長(zhǎng)公式求解即

可.

【詳解】解：連接。4、OB、OC、OP、OD,

,/正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,

360°

ZAOB=ZBOC=ZCOD=——=60°,

6

???點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)，

???ZCOP=-ZCOD=30°,

2

ZAOP=60°+60°+30°=150°,

.??I,、r1507r,6_

?-農(nóng)尸的長(zhǎng)為-=5n,

lou

故答案為：5萬(wàn).

926兀

,3

【分析】連接AC,證明VABC為等邊三角形，結(jié)合。為A3的中點(diǎn)得N8DC=90。,

AD=BD=2,ZBCD=ZACD=30°,由勾股定理得CO=26,延長(zhǎng)。交直線。于點(diǎn)尸,

證明△皿2A3￡>C（AAS）得分=CD,ZCFA=ZBCD=30°,進(jìn)而求得/CDE=60。，最

后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出CE的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接AC,

■.■AB=BC=4,NABC=60°,

」.△ABC為等邊三角形，

又?.?。為A3的中點(diǎn)，

:.NBDC=90。,AD=BD=2,ZBCD=ZACD=30°,

:.CD=yjAC2-AD2=26，

如圖，延長(zhǎng)CO交直線。于點(diǎn)下，

,直線a〃直線6,

:.ZAFD=/BCD,

又ZADF=NBDC,

:.AADFWABDC（AAS）,

DF=CD,ZCFA=ZBCD=30°,

又DE=CD,

：.DE=DF,

:.ZAED=ZCFA=30°,

:.NCDE=60°,

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)

公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

10.15萬(wàn)

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

由題意得“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為三條弧長(zhǎng)的和，再根據(jù)等邊三角形得到圓心角為60。，再由

弧長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】解：如圖：

TVABC是等邊三角形,

：.ZB=ZA=ZC=6Q°,

-C=A”與「=5萬(wàn)，

，“萊洛三角形”的周長(zhǎng)=3X=15萬(wàn).

故答案為：15萬(wàn).

11.--n-y/3

2

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔

助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).過(guò)點(diǎn)3作3G，AC于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出

AG=CG,/A4c=:（180。-120。）=30。，根據(jù)勾股定理求出AG=G,然后根據(jù)

S陰影=S半圓_SAABC求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)5作5G_LAC于點(diǎn)G,如圖所示:

六邊形ABCDEF為正六邊形,

360°

/.ZABC=180°--------=120°,AB=CB=2,

6

???BG.LAC,

AG^CG,ZBAC=1(180°-120°)=30°,

BG=-AB=1,

2

-AG=^22—I2=A/3，

「?AC=2AG=2百，

S陰影=S半圓一SaABC

1I-gx2>/^xl=m兀一百.

=—X71X

2

故答案為：t兀-若?

4

【分析】本題考查了扇形的面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握扇形

的面積公式是解題關(guān)鍵.

連接。4,0A,過(guò)點(diǎn)A作ABLOO'于點(diǎn)8,先證出AOO'A是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形

8

的性質(zhì)可得NAOO'=ZAO'O=60°,0=g。。'=-1，再根據(jù)§陰影=Ss^AOO.+Sm^AO,o-S^OO.A

求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,OA,過(guò)點(diǎn)A作AB_LO。于點(diǎn)8,

由題意可知，OA=O'A=O(J=1,

...△00為是等邊三角形，

AZAOCf^ZAO'O^60°,OB=-OO'=~,

22

AB=JOA?_0正2=/_9=字

?*S陰影二S扇形A。。+S扇形A。。一^^OO'A

60x%xF60x^-xl21

----------1------------x1X

36036022

_7171y/3

_716

---------------,

34

故答案為：上-昱.

34

13.(1)見(jiàn)解析

(2)471

【分析】(1)連接O。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD〃AC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)得到=進(jìn)而利用弧和圓周角的關(guān)系可得結(jié)論；

(2)連接OE,根據(jù)圓周角定理得到NADE=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得

ZAOD=120°,在RtAADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求得0。的半徑Q4=6,然后利用弧

長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)證明：連接8,則。。=。4,

?/2C與。。相切，

Z(9DS=90°.

又：ZC=90°,

NODB=NC,

：.OD//AC,

：.ZODA^ZCAD,

：.ZOAD=ZCAD.

DE=DF＞即點(diǎn)。平分廝；

(2)解：連接。E,則NADE=90。.

ZOAD=ZODA=ACAD=30°,

ZAOD=120°,

AF)

在中，由AD=6百，cosZEAZ)=cos30。=——

AE

/曰AE=———=華=12

得：cosZEAD73,

~2

???。。的半徑。4=6,

.AAi/AL120k6.

?■AD的長(zhǎng)為二4一

loU

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、弧與圓周角的關(guān)系、

解直角三角形、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用及聯(lián)系是解答的關(guān)鍵.

14.（1）AB與0。相切，理由見(jiàn)解析；

（2）且」.

26

【分析】本題考查切線的判定，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)，理

解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）過(guò)點(diǎn)。作OD_LAB,垂足為D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知OD=OC,即可證明結(jié)論；

（2）在RSACO中，AC2+CO2^AO2,設(shè)OC為X,根據(jù)勾股定理有（石了+Y=（1+4，

可得OC=1,在RtAACO中，tanNCAO=2^=立，得NG4O=30。，進(jìn)而得/38=60。，

AC3

由（1）知，OD=OC=1,在RUBOD中，BD=ODtan60°=y（3,根據(jù)陰影部分面積

=-S扇形0￡）下及可求解.

【詳解】（1）解：AB與。。相切，理由如下:

過(guò)點(diǎn)。作垂足為D

?.?AO是IB4c的平分線,

:.OD=OC,

?.?OC是。。的半徑，

圓心O到AB的距離等于。。的半徑，即OD是。。的半徑.

二AB與。。相切.

(2)在R/ACO中，AC1+CO1AO2,AC=6,AE=l,

設(shè)OC為無(wú)，則(有?+/=(1+4，

解得x=l,即OC=1.

在RtAACO中，tanZCAO=—=—,

AC3

.-.ZCAO=30°,則ZBAO=NG4O=30°.

.-.ZBAC=60°,貝!!/B=90°—NB4C=30°,

,ZBOD=90°—=60°.

由(1)知，OD=OC=1.

在RtABOD中，BD=ODtan600=y/3.

陰影部分面積=S3。-S扇形爪」0。-出工X60=也」.

LXODL)扇形Q。/*236026

15.(1)AB=3拒

(2)見(jiàn)解析

(3)陰影部分的面積為/兀

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)連接Q4,利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得NASE=30。，利用垂徑定理，直角三

角形的性質(zhì)得到ZZMO=90°-ZABE=60°,利用等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的定義解

答即可；

(3)連接。4,OC,過(guò)點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)E,利用(2)的結(jié)論，菱形的性質(zhì)，等邊三

角形的判定與性質(zhì)求得NA8=120。，ZBOC=180°-ZABC=120°,利用直角三角形的邊

角關(guān)系定理求得OE,再利用扇形與三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：：A5=AC,

.：NABC=ZACB,

'：ZD=ZACB,

：.ZABC=AD.

ZBAE=ZDAB,

,AABE^AADB,

.ABAD

"AE"AB

,?AD=AE+DE=9,

.AB_9

，AB2=27.

'：AB>0,

AB=3A/3;

(2)證明：連接如圖,

A

?/BD為O。的直徑,

/.ABAD=90°,

VtanZABE=—=-^==—,

AB3733

.?.ZABE=30°.

AB=AC,

汕二注C，

???OA±BC,

：.NBAO=90°-ZABE=60°,

,:OB=OA,

???△(?區(qū)4為等邊三角形，

：.OB=OA=AB,

?：OB=OC,

：.OB=AB=AC=OC,

???四邊形ABOC為菱形；

(3)解：連接，4,OC,過(guò)點(diǎn)。作CCAC于點(diǎn)如圖,

由（2）知：△Q4B為等邊三角形,

JZABO=ZAOB=60°,

：.NAO。=120。，

???四邊形ABOC為菱形，

OB=OC=AC=OD=373,ZBOC=180°-ZABC=120°,

ZAOC=60°,

'：OA=OC,

**?^OAC為等邊三角形，

VOE1AC,

OE=OA-sin60°=3V3x^=-

22

陰影部分的面積=$扇形awOAD一（5扇形。4。-S?AC

120^x3V3I

------——----xODxOE---ACxOE

36022

=9^--x3也x--—^+―x3^x—

22222

9

=一"

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定與性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理,扇形與三角形的面積公式，

等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

16.(1)273

(2)y=JIx+27i-3有，自變量x的取值范圍是0V尤v2道+3

【分析】(1)連接08,先根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得3D=CD=2,OBLAB,CD1OA,再根

據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)可得">=4,然后解直角三角形可得08的長(zhǎng)，由此即可得；

(2)過(guò)點(diǎn)。作OEL3c于點(diǎn)E,連接。3,先求出△P3C的面積，再求出弓形BC的面積，

從而可得陰影部分的面積，然后根據(jù)圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)尸到的垂線經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，x的

值最大，由此即可得.

【詳解】(1)解：如圖，連接02,

：A5,C￡>是。。的切線，CD=2,

:?BD=CD=2,OB1AB,CDVOA,

：.ZABO=ZACD=90°,

NBA。=30。,

：.AD=2CD=4f

AB=AD+BD=6,

在RtAAO3中，OB=AB-tanZBAO=,

即0。的半徑為2石.

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作3c于點(diǎn)E,連接08,

VZBAO=30°,ZABO=90°,AB=6,OB=2?,

?,^BOC=60°,o\=y]AB2+OB2=4A/3>

,/OB=OC=2^,

?*.iJiOC是等邊二角形，AC=OC=2-\/3，

BC=OB=2-43,S^OBC=S^OAB=gxgoB.AB=：x2若x6=3百,

?.?點(diǎn)尸到直線8c的距離為x,

S/BC=5*2#>x=#>x,

,,弓形BC的面積為5_s_I。"*。")3百=2兀_3A/5，

二圖中陰影部分的面積為y=S/BC+S扇形OBC—SQBC=瓜+2兀-,

,/#OC是等邊三角形，OELBC,

：.BE=-BC=y[i,

2

二OENOB?—B$=3,

:點(diǎn)P在HwC上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8（或點(diǎn)C）重合時(shí)，x的值最小，最小值為0,

當(dāng)點(diǎn)尸到BC的垂線經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，x的值最大，最大值為2招+3,

綜上，y=&+2n-34,自變量》的取值范圍是042若+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理、解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)

用、扇形的面積等知識(shí)，熟練掌握切線長(zhǎng)定理和扇形的面積公式是解題關(guān)鍵.

3

17.（1）ZABC=45°,OP=j

3

⑵丁

【分析】（1）連接OC,OP,由切線得到OCLMN,求出