第5關(guān)一次方程(組)

基礎(chǔ)練

考點1一元一次方程及其應(yīng)用

“2024甘肅張掖三模]已知a=b、則下列變形錯誤的是()

A.2+a=2+bB.a-b=0

D.-=-

C.-2a=-2bcc

2.[2024甘肅武威校級模擬下列方程中是一元一次方程的是()

4

A.x+y=38=4

C.2x-x=0D.2x-x

3.[2024廣東惠州二模]若x=2是關(guān)于x的方程kx-l=3的解，則k-2的值是()

A.-lB.2C.lD.0

4.[2024四川綿竹模擬]解一元一次方程的一般步驟包括：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等.

將一元一次方程等-1=:去分母，得()

A.3(x+l)-6=2x

B.3(x+l)-l=2x

C.3x+l-l=2x

D.2(x+l)-6=3x

5.[2024廣東廣州]某新能源車企今年5月交付新車35060輛,且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新

車數(shù)量的1.2倍還多1100輛.設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為(

)

A.1.2x+1100=35060

B.1.2X-1100=35060

C.1.2(x+1100)=35060

D.x-1100=35060x1.2

6.[2024新疆]解方程：

2(x-l)-3=x.

7.[2024陜西]星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨

完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h.當(dāng)天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨

完成了剩余的打掃任務(wù).小峰和爸爸這次一共打掃了3h,求這次小峰打掃了多長時間.

考點2二元一次方程（組）及其解法

8.[2024甘肅武威三模]下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.3x+y=0B.xy-y=O

1

C.x-2y=zD.-+y=O

9.[2024江西景德鎮(zhèn)三模舊知｛j匚&是二元一次方程ax-3y=0的解，則點（a,3-a）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.[2024江蘇無錫二模]若x,y滿足方程組｛￡：2：則x+y=______.

DXIz.y—J,

11.[2024江蘇蘇州]解方程組：｛3+以二Z

乙K—DV—3.

考點3二元一次方程（組）的實際應(yīng)用

12.[2024山西太原校級模擬]化學(xué)方程式是用化學(xué)式來表示物質(zhì)化學(xué)反應(yīng)的式子.化學(xué)方程式表明了反應(yīng)物、生

成物和反應(yīng)條件，同時，化學(xué)計量數(shù)代表了各反應(yīng)物、生成物的物質(zhì)的量的關(guān)系，例如2%+/\xlongequal點燃2

%。就表示兩份H2（氫氣）與一份。2（氧氣）點燃生成兩份H20（水）.依據(jù)化學(xué)反應(yīng)過程中的質(zhì)量守恒定律，在化學(xué)方

程式等號左邊和等號右邊，同一元素原子的個數(shù)一定相同.已知+VG'xlongequal點燃6xCO2+3x”2。，由

此可列出關(guān)于x,y的二元一次方程為（）

A.x+y=6x+3xB.x+y=6x+3x?2

C.2y=6x+3xD.2y=6x-2+3x

13.R024四川南充]我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩“我問開店李三公，眾客都來到店中.一房七客多七客，

一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是墳口果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，

那么就空出一間客房.設(shè)有客房x間，客人丫人，則可列方程組為（）

7x—7=y7%—7=y

,19（%+1）=y'19（%—1）=y

7x+7=y7%+7=y

,19（%+1）=y119（%—1）=y

14.[2024黑龍江齊齊哈爾]校團委開展以“我爰讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的學(xué)生，計劃拿出

200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本（兩種都要購買）作為獎品，則購買方案有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

15.[2024江西]如圖,書架寬84cm,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚0.8cm,每本

語文書厚1.2cm.

⑴數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；

⑵如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？

提升練：

16J2024湖南二模］若實數(shù)a,b,c滿足2a+b=3c,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若a=b,則a=cB若c=2a,貝！］b=2c

C.若a>b,貝!］a>cD.若a>c,則b>c

17.［2024廣東佛山三橫］小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+l=2x+,老師后得知，方程的解是x=l且

被墨水污染的是一個常數(shù)，則該常數(shù)是（）

A.-B.--C.-D.--

2222

18,［2024甘肅武威二模］若方程（（a+1）%+3y101=1是關(guān)于x、y的二元一次方程、則a的值為（）

A.-lB.±lC.OD.1

19,［2024貴州貴陽一模］幻方是古老的數(shù)字問題，我國古代的洛書中記載了最早的幻方——九宮格?將9個數(shù)填

入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的3個數(shù)之和相等.如圖為一個三階幻方（不完整）、

則圖中右上角空格中c的值為（）

abc

10d

<-2

A.-2B.OC.2D.4

20.［2024廣西］〈九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，

第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢三年共得100錢.問：出租的田有多少畝?設(shè)出租的田有x畝，

可列方程為（）

A,-+-+-=1100

345345

C.3x+4x+5x=lD.3x+4x+5x=100

21.［2024湖北］我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個關(guān)于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩，

牛二、羊五，直金八兩.問牛羊各直金幾何?”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩.牛2頭，羊5頭，共值金8

兩.問牛、羊每頭各值金多少?”若設(shè)牛每頭值金X兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是()

,,5%+2y=10°r2x+5y=10

t2%+5y=O88.｛i5匚%+2y=o8

5%+5y=105x+2y=10

°汁2%+5y=8P1^2x+2y=8

22.[2024福建校級模擬]已知任意兩個非零實數(shù)a,b滿足a+b=2c,小玲說可以得到a=b.

下面為小玲給出的證明過程：

*.*a+b=2c,...........................................第一步

(a+b)(a-b)=2c(a-b),.........................第二步

即a2—b2=2ac—2bc,…第三步

??.a2—2ac+c2=b2—2bc+c2,第四步

即(a-c)2=(b-c)2,第五步

兩邊開平方彳導(dǎo)a-c=b-c,...........................第六步

a=b.

以上證明過程中,開始出現(xiàn)錯誤的是第一步.

23/2024廣東佛山一模]中國古代以算籌為工具來記數(shù)、列式和進行各種數(shù)與式的演算.《九章算術(shù)》第八章名

為，，方程，，，其中有一例為畫亙,從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)X,y的系數(shù)與常數(shù)項，即可

表示方程x+4y=23,則，1年/口表示的方程是.

24.[2024重慶永川區(qū)校級模擬]已知關(guān)于x,y的方程組｛?二〕以下結(jié)論：①當(dāng)k=0時，方程組的

解也是方程x-2y=-4的解；②存在實數(shù)k,使得x+y=0;③不論k取什么實數(shù),x+3y的值始終不變;④若3x+2y=6廁k=l.

其中正確結(jié)論的序號是.

25.[2024廣東廣州]定義新運算:a&=*一乎*s絲10,例如：一③4=(-2)2-4=0,2③3=-2+3=1.若

—a+b,a>0.

X⑤1=一：,則X的值為.

26.[2024湖南長沙一模]經(jīng)探究可得方程x+y=2的正整數(shù)解只有1組,方程x+y=3的正整數(shù)解只有2組,方程x

+y=4的正整數(shù)解只有3組，……，那么方程x+y+z=8的正整數(shù)解有組.

27.[2024上海懈方程組：｛—―3盯-4y0①，

x+2y=6②.

28.[2024北京]為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b

階段(以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”).對某型號汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過35mg/km,A,B兩類物質(zhì)排放量之和不

超過50mg/km.

已知該型號某汽車的A,B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km,經(jīng)過一次技術(shù)改進,該汽車的A類物質(zhì)排放量

降低了50%,B類物質(zhì)排放量降低了75%,A,B兩類物質(zhì)排放量之和為40mg/km.判斷這次技術(shù)改進后該汽車的A

類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.

29.[2024山西]當(dāng)下電子產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快，廢舊智能手機數(shù)量不斷增加.科學(xué)處理廢舊智能手機，既可減

少環(huán)境污染，還可回收其中的可利用資源才居研究，從每噸廢舊智能手機中能提煉出的白銀比黃金多760克.已知從2.

5噸廢舊智能手機中提煉出的黃金，與從0.6噸廢舊智能手機中提煉出的白銀克數(shù)相等.求從每噸廢舊智能手機中能

提煉出黃金與白銀各多少克.

30.[2024河南]為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準(zhǔn)備

了A,B兩種食品作為午餐.這兩種食品每包質(zhì)量均為50g,營養(yǎng)成分表如下.

營養(yǎng)成分表營養(yǎng)成分表

ft*700Id姑量

圣百盾10g妥白質(zhì)

JS時53g脂肪

殘水化合物28.7g碳水化合物

鈉205mg鈉

(1)若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A,B兩種食品各多少包？

⑵運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多.若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋

白質(zhì)含量不低于90g,且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品?

第5關(guān)一次方程(組)

1.D解析A「a=b,

，2+a=2+b,故本選項不符合題意；

B/.a=b,

.■.a-b=b-b,

即a-b=O,故本選項不符合題意；

C.；a=b,

，-2a=-2b,故本選項不符合題意；

D.當(dāng)c=0時，由a=b不能推出-=4故本選項符合題意.

CC

故選D.

2.C解析:A.方程x+y=3是二元一次方程，不是一元一次方程，不符合題意；

B.方程白=4是分式方程，不是一元一次方程，不符合題意；

C.方程2x-x=0是一元一次方程，符合題意；

D.2x-x是代數(shù)式，不是方程，不符合題意.

故選C.

3.D解析將x=2代入方程kx-l=3得2k-l=3,解得k=2,則匕2=2-2=0.

4.A5.A

6.解:2(x-l)-3=x,

2x-2-3=x,

2x-x=2+3,

x=5.

7.解：設(shè)這次小峰打掃了xh,則爸爸打掃了(3-x)h,

根據(jù)題意得：+?=，

421

解得x=2.

答：這次小峰打掃了2h.

8.A解析:A.方程3x+y=0是二元一次方程，選項A符合題意;

B.方程xy-y=O是二元二次方程，選項B不符合題意；

C.方程x-2y=z是三元一次方程,選項C不符合題意；

D.方程l+y=0是分式方程，選項D不符合題意.

故選A.

9.B解析寸巴｛；二2：代入方程ax-3y=0彳導(dǎo)2a+9=0,

解得a=-4.5,

所以3-a=3-(-4.5)=3+4.5=7.5,

所以點(a,3-a)所在的象限是第二象限

10.1

2%+3y=2。

解析：｛

3%+2y=3②

①+②得,5x+5y=5,

???x+y=l,故答案為1.

2%+y=7。

1L解：｛

2%—3y=3②

①-②得,4y=4,解得y=l,

將y=l代入①得x=3,

二方程組的解是ez

y—L

12.D

13.D解析：根據(jù)每一間客房住7人，那么有7人無房可住得7x+7=y，根據(jù)每一間客房住9人，那么就空出

一間客房得9(x-l)=y,所以選項D中方程組符合題意.

14.B解析：設(shè)購買單價為8元的筆記本

x本，單價為10元的筆記本y本，

依題意得8x+10y=200,

整理得y=20-

.xxy均為正整數(shù)，

=5,—x=10,—,x=15,-=20,

???0=16或0r=12或｛y=8或§=4,

，購買方案有4種.

15.解：(1)設(shè)該書架上有數(shù)學(xué)書x本，則有語文書(90-x)本,

依題意彳導(dǎo)0.8x+1.2(90-x)=84,

解得x=60,

90-60=30.

答：該書架上有數(shù)學(xué)書60本，語文書30本.

(2)設(shè)在該書架上還可以擺數(shù)學(xué)書y本，

依題意，得0.8y+1.2xl0484,解得y490.

答：數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本.

16.D解析:若a=b,則2a+b=3a,即3a=3c,

，a=c，故A不符合題意，

若c=2a廁2a+b=c+b,即c+b=3c,

二.b=2c,故B不符合題意，

若a>b,則2a+b<3a,gp3c<3a,

，a>c,故C不符合題意，

若a>c,則2a+b>2c+b,即3c>2c+b,

..c>b,故D符合題意.

17.A解析：設(shè)被墨水污染的常數(shù)是a,

.?.方程的解是x=l,

1

**?3X1H—2=2x1+Q,

解得a=|.

18.D解析:?.方程(a+l)x+3y@=1是關(guān)于x,y的二元一次方程，

.'.a+1/O且間=1,

即a/-l且a=±l,

/.a=l.

19.D解析：根據(jù)題意得｛立，=j+；；(e+l°)-(c+e)=(b+c)-(b-2),，c=4.

20.B解析根據(jù)題意得，gxl+：xl+￡xl=100,整理得譚+：+”100.

345345

21.A

22.六

解析：由(a—c)2=(b—c)2可得a-C=±(b-c),,所以從第六步開始出錯.

23.x+2y=32

24.①②③

解析：①當(dāng)k=0時，原方程組可整理得｛，：?：°；解得｛：二:‘

乙KIoy——J.,y-j-i

把廠”:一：代入x-2y得x-2y=-2-2=-4,即①正確；

y—1

薊X+2y=k，

分2x+3y=3fc-1,

下式-上式得.x+y=2k-l,

若x+y=0,則2k-l=0,

解得k=3,

.?存在實數(shù)k,使得x+y=0,

即②正確；

③解方程組［x+2y=k,得產(chǎn)=3k—2,

1

⑷用?！┳∫坏﹍2x+3y=3k-1J守y=1-/c,

...x+3y=3k-2+3(l-k)=L

二不論k取什么實數(shù)，x+3y的值始終不變，

故③正確；

④若3x+2y=6,

則3(3k-2)+2(l-k)=6,

fc=-7,，

故④錯誤.

所以正確的序號是①②③.

25.或\

解析:①當(dāng)x<0時，x0l=x2-l=-|,

解得久=后或久="舍)；

②當(dāng)x>0時，%0l=-x+l=-1,解得x=；

綜上所述，x的值是-［或-:

26.21

解析：設(shè)x+y=t(t22),

則易知t+z=8的正整數(shù)解有6組，

其中t=x+y=2的正整數(shù)解有1組；

t=x+y=3的正整數(shù)解有2