2025年中考押題預(yù)測(cè)卷（河北卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.不等式工x+l<2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2

02-20

【答案】B

【詳解】解：-x+l<2,

2

x<2,

解得：x<2,

在數(shù)軸上表示為:

故選：B.

2.如圖，甲、乙均從A處去往E處.甲選擇圖中的路線①，即依次途徑B,C,D,最終到達(dá)E；乙選擇

圖中的路線②，即途徑P,最終到達(dá)E.圖中的A,B,C,D,P,E均在格點(diǎn)上，且從一處到下一處均

按直線行走，則兩條路線中較長的是（）

A.①B.②C.一樣長D.無法確定

【答案】A

【詳解】解：連接AC、CE

有圖可知：AC=AP,CE=EP

在VABC中，AB+BC>AC

即AB+3C>AP,

在ACDE中，CD+DE>CE,

即CD+DE>EP,

;.AB+BC+CD+DE>AP+EP,

則路線①的距離〉路線②的距離，

故選：A.

3.設(shè)方程2尤2+4x+6=0的兩實(shí)數(shù)根為網(wǎng)，%，則為+無2+大赴的值為（）

A.1B.2C.-1D.5

【答案】A

【詳解】解：,??士、尤2是一元二次方程2/+以+6=0的兩實(shí)數(shù)根，

.?X]+*2=2,=:3,

/.玉+兀2+%兄2=—2+3=1;

故選：A.

4.2025年春《哪吒之魔童鬧海》橫空出世，我們共同見證了中國影視首部百億影片登頂全球動(dòng)畫電影榜,

大量傳統(tǒng)的中國色彩，喚醒了刻在我們骨子里的極致審美，《哪吒2》在部分關(guān)鍵鏡頭中甚至達(dá)到了每秒120

幀，每幀畫面僅用時(shí)大約0.00833s,使得畫面效果更加震撼，數(shù)據(jù)0.00833s可用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.83.3x10-3B.0.833xlO-4C.8.33xlO-3D.8.33xlO-4

【答案】C

【詳解】解：：0.00833s=8.33x10-3S,

故選：C.

5.為了考查甲、乙兩塊地中小麥的長勢(shì)，分別從中隨機(jī)抽出10株麥苗，測(cè)得麥苗高如圖所示，若其和名分

別表示甲、乙兩塊地麥苗高數(shù)據(jù)的方差，則（）

麥苗高/cm麥苗高/cm

A.5甲=S乙B.s甲＜$乙C.$單＞8LD.不確定

【答案】B

【詳解】解：觀察統(tǒng)計(jì)圖可知，甲的麥苗高的波動(dòng)情況比乙的麥苗高的波動(dòng)情況小，故s5<s3

故選:B.

6.如圖是由10個(gè)大小相同的正方體積木組合而成的幾何體，拿走其中的一個(gè)積木后，下列說法錯(cuò)誤的是

正面

A.拿走積木甲后，此幾何體的主視圖不變

B.拿走積木乙后，此幾何體的左視圖不變

C.拿走積木丙后，此幾何體的俯視圖不變

D.拿走積木丁后，此幾何體的俯視圖面積小于左視圖面積

【答案】A

【詳解】解：A、拿走積木甲后，此幾何體的主視圖有變化，故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意;

B、拿走積木乙后，此幾何體的左視圖不變，故此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

c、拿走積木丙后，此幾何體的俯視圖不變，故此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

D、拿走積木丁后，此幾何體的俯視圖面積小于左視圖面積，正確，不符合題意.

故選：A.

7.在一般情況下，酚獻(xiàn)在酸性和中性溶液中保持無色，而在堿性溶液中則會(huì)呈現(xiàn)紅色.在一次化學(xué)實(shí)驗(yàn)課

上，學(xué)生們使用酚酥試液來檢測(cè)四瓶標(biāo)簽?zāi)：?、無法辨認(rèn)的無色溶液的酸堿性.已知這四瓶溶液分別是：

“劑4

①鹽酸②硝酸鉀溶液③氫氧化鈉溶液④氫氧化鉀溶液

（呈酸性）（呈中性）（呈堿性）（呈堿性）

小明隨機(jī)選取兩瓶溶液并滴入酚酬試液,兩瓶溶液都變紅的概率是（)

111-1

-B-C-D-

A.3-45-6

【詳解】解：將①、②、③、④分別標(biāo)記為A、B、C、D,

列表如下：

第二瓶第一

ABcD

瓶

A(AB)(AC)(AD)

B(民A)(B?(BQ)

C（C，A）(C㈤(CQ)

D(")(D,B)0C)

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩瓶溶液恰好都變紅色的結(jié)果有：（C,。），（O,C）,共2種,

21

.??兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為二=工.

126

故選：D.

8.如圖，正六邊形ABCDEF中，直線"?，"分別經(jīng)過邊BC,CD上一點(diǎn)；且〃則N2-/I的值是（）

B

A

tn

E

A.80°B.60°C.50°D.30°

【答案】B

【詳解】解：如下圖所示，延長5c交直線加于點(diǎn)H,

m||n,

:.ZNHC=Z1,

???六邊形ABC。砂是正六邊形，

ZDC/f=-x360°=60°,

6

在AA77C中，Z2=ZDCH+ZNHC,

:.N2=NDCH+N1,

:.N2—/l=/DCH=60°.

E

故選：B.

9.如圖，在VABC中，ZB=60。，NC=70。，點(diǎn)O,E分別在AB,AC上將VADE沿DE折疊得到VFDE,

當(dāng)。/人AC時(shí)，/DEF的度數(shù)為（）

A

A.130°B.120°C.110。D.1001

【答案】C

【詳解】解：如下圖所示，

在AABC中，ZB=60。，NC=70,

???ZA=180o-70°-60o=50°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：ZF=ZA=50°,

???DFJ.AC,

ZDHA=90°,

???ZADF=900-ZA=90°-50°=40°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：ZADE=ZFDE==20°,

ZZ)EF=180°-50°-20°=110°.

A

10.細(xì)胞的相對(duì)表面積(S/V)是一個(gè)關(guān)鍵概念，指細(xì)胞的表面積與其體積的比率.它與細(xì)胞的大小和生理功

能緊密相關(guān).生物學(xué)中，細(xì)胞的相對(duì)表面積(S/V)與細(xì)胞的半徑(R)成反比例函數(shù)關(guān)系，如圖所示.下列說

法錯(cuò)誤的是()

一3

A.細(xì)胞的相對(duì)表面積(S/V)與細(xì)胞的半徑(R)之間的函數(shù)關(guān)系式為5/V=-(7?>0)

R

B.若細(xì)胞的相對(duì)表面積為0.5〃機(jī)"，則細(xì)胞的半徑為6〃相

C.細(xì)胞的半徑每增大相對(duì)表面積的減少量相同

D.細(xì)胞的相對(duì)表面積隨著細(xì)胞半徑的增大而減小

【答案】C

k

【詳解】解：A、設(shè)細(xì)胞的相對(duì)表面積(S/V)與細(xì)胞的半徑(R)之間的函數(shù)關(guān)系式為S=g,

k

當(dāng)R=10,0.3=—,

k=3,

3

???函數(shù)關(guān)系式為s=9,原選項(xiàng)正確，不符合題意；

R

3

B、若細(xì)胞的相對(duì)表面積為則細(xì)胞的半徑為氏=前=6（〃加），原選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、細(xì)胞的半徑每增大力機(jī)，相對(duì)表面積的減少量不相同，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

D、細(xì)胞的相對(duì)表面積隨著細(xì)胞半徑的增大而減小，原選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：C.

11.關(guān)于拋物線y=-f,給出下列說法：

①拋物線開口向下，頂點(diǎn)是原點(diǎn)；

②當(dāng)尤>1時(shí)，y隨x的增大而減小；

③當(dāng)一l<x<2時(shí)，-4<^<-1；

④若（加,0）,（",0）是該拋物線上兩點(diǎn)，則根+〃=0.

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】解：-1<O,

..?拋物線的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是（。,。），拋物線開口向下，

,①拋物線開口向下，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，故①正確；

②拋物線的對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)尤>i時(shí)，y隨x的增大而減小，故②正確；

③當(dāng)-1<X<2時(shí)，x=0,y取最大值為0,x=2時(shí)，y取值最小值為Y,所以-4<yW0,故③錯(cuò)誤；

④若（,",〃），（〃,p）是該拋物線上的兩點(diǎn)，則o,〃）,（〃,p）關(guān)于〉軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以〃2+"=0,

故④正確；

???正確的說法共有3個(gè)，

故選C.

12.如圖1,E為矩形ABCZ）的邊AO上一點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)0

從點(diǎn)8出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是lcm/s.若點(diǎn)P、點(diǎn)。同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為［s）,VB尸。的面積為y（cn?）,已知y與/之間的函數(shù)圖象如圖2所示.給出下列結(jié)論：①當(dāng)0</W10時(shí)，

V8PQ是等腰三角形；②ZABE=48cm2；③當(dāng)14y<22時(shí)，y=110-5r；④在運(yùn)動(dòng)過程中，使得AABP是

等腰三角形的P點(diǎn)一共有3個(gè)；⑤V8PQ與狙相似時(shí)，力=14.5.對(duì)以上結(jié)論判斷正確的是（）

D.②③⑤

【答案】A

【詳解】解：由圖可知，BC=BE=10,ED=14-10=4f

四邊形ABCD是矩形，

AD=BC=10,AB=CD.

AAE=AD-ED=10-4=6,

AB=yjBE2-AE2=A/102-62=8'

CD=AB=8.

對(duì)于①，當(dāng)OCWIO時(shí)，點(diǎn)尸在BE上，點(diǎn)。在2C上，且22=3。,

??.V3PQ是等腰三角形，①正確；

2

對(duì)于②，5AAB￡=|xABxA￡=1x8x6=24cm,②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，---BE+ED=14cm,BE+ED+DC=10+4+8=22cm,

.,.當(dāng)14<f<22時(shí)，點(diǎn)P在CO上，點(diǎn)。在C處，

??y=^xl0x(22-z)=110-5z,③正確；

對(duì)于④，如圖，以點(diǎn)8為圓心，長為半徑畫弧，交BE于片，當(dāng)點(diǎn)P位于片處時(shí)，△的是等腰三角形;

以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交于鳥，當(dāng)點(diǎn)P位于6處時(shí)，△何是等腰三角形;

作AB的垂直平分線，交BE于片，交CD于招，當(dāng)點(diǎn)P位于片或A處時(shí)，AAB尸是等腰三角形.

綜上，運(yùn)動(dòng)過程中，使得AAB尸是等腰三角形的點(diǎn)尸一共有4個(gè)，④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，■:△BE4是直角三角形，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)「在。。上時(shí)，V8PQ與AB"相似，止匕時(shí)3。=8。=10,PQ=22-t,且NA=4BQP=90。,

ABAE-ABAE

,BQPQ以PQBQ'

□n86-86

1022T22T10

解得r=14.5或r=g（舍去）.

.?.當(dāng)V3PQ與ABS4相似時(shí)，t=14.5,⑤正確.

綜上可得，正確的有：①③⑤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，函數(shù)圖象與動(dòng)點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分)

13.因式分解：x2y-2xy+y=.

【答案】y(x-l)2

【詳解】解：dy-2盯+y=y（%2-2尤+l）=y（x-l）2,

故答案為：y(x-l)2.

14.如圖是小區(qū)內(nèi)一小山的等高線示意圖，小明同學(xué)計(jì)劃利用這個(gè)等高線示意圖計(jì)算AB的距離，他在點(diǎn)2

處測(cè)得A處的俯角為30。，則m.

520m550m

【答案】100

【詳解】解：由等高線可得A、3兩地的實(shí)際高度差為550m-500m=50m,

依題意作圖得：NB=30。，AH=50m,NA/汨=90。，

HB

AH1

??.AB=--=50--=100m

sinB2

故答案為：100.

15.若2"+2"+2"+2"=4〃x4〃x4〃x4J貝!|2a-16b+9=.

【答案】5

【詳解】解：將等式兩邊化簡，得到20+2=4劭=2%

。+2=85，

a=86—2,

2a-166+9=2儂-2)-此+9=5.

故答案為:5.

16.如圖，正五邊形ABCDE的邊AB,AE與0。分別相切于點(diǎn)M,N,點(diǎn)、P在MN上,連接尸M，PN,則

/MPN的度數(shù)為

【答案】144

【詳解】解：如圖，連接OA/,ON,在優(yōu)弧A3上取一點(diǎn)0,連接QM,QN,

,/五邊形ABCDE是正五邊形，

A

(5-2)x180°

???ZA=——』--------=108°

5

??,正五邊形ABCD￡的邊A3,AE與。O分別相切于點(diǎn)M,N,

：.ZOMA=ZONA=9Q°f

：.ZMOA^=360o-90o-90o-108o=72°,

ZMQN=g/MON=36。,

???四邊形PMQN是。。內(nèi)接四邊形,

.?./MPN+/MQN=18b。,

：.ZA^W=180°-36°=144°.

故答案為：144.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（7分）計(jì)算與化簡求值:

a—bI—a—b

化簡分式:-2---------------------7----------------------,并求值

a—2cib+bct—b

（請(qǐng)從小宇和小麗的對(duì)話中確定。，6的值）

5

(〃+6)(〃一》)1-a-b

【詳解】解:原式=+.......................（2分）

(a-b)2a-b

=——-...............（4分）

a-b

是3的相反數(shù)，b是大于1小于行的整數(shù)

.,.a=—3,b=2...............（6分）

原式=-^

-3-2

=-1...............（7分）

18.（8分）P,Q,K所表示的運(yùn)算如下表.若給出一個(gè)數(shù)，根據(jù)甲，乙，丙的排列順序不同，可以得到不

同的算式并計(jì)算結(jié)果.

P-3

Qx(-2)

K+4

⑴所給數(shù)字為“T”時(shí)，

①按。K＞尸的順序列式并計(jì)算；

②按K-P-Q的順序列式并計(jì)算.

（2）若給出某個(gè)數(shù)，按K-尸fQ的順序運(yùn)算的結(jié)果為14,求符合條件的數(shù).

例如：所給數(shù)字為“5"，按尸-QfK的順序運(yùn)算，列得算式：

（5-3）x（-2）+4.

計(jì)算：

原式=2x（—2）+4

=（T）+4

=0.

【答案】⑴①9；（2）6（2）-8

【詳解】（1）解：①按。一Kf尸的順序，所給數(shù)字為“-4”時(shí)，

-4x（-2）+4-3

=8+4—3

=9；(3分)

②按KfP-0的順序，所給數(shù)字為“T”時(shí)，

(^+4-3)x(-2)

=-3x(-2)

=6；.......(6分)

(2)解：若給出某個(gè)數(shù)，按Kf尸＞。的順序運(yùn)算的結(jié)果為14,

貝||14+(-2)+3-4

=—7+3—4

=—8,

即符合條件的數(shù)為-8........(8分)

19.(8分)數(shù)學(xué)家為解決“化圓為方”問題，將其轉(zhuǎn)化為特殊的“化矩形為方"問題.化矩形為方指的是給定

任意矩形，作出和這個(gè)矩形面積相等的正方形.

如圖，已知矩形A38.尺規(guī)作圖完成“化矩形ABCD為正方形3PQR”問題.以下為作圖過程：

①以點(diǎn)2為圓心，3c長為半徑畫弧，交AB延長線于點(diǎn)E；

②分別以點(diǎn)A,E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于N兩點(diǎn)，連接交AE于點(diǎn)R則點(diǎn)

尸為AE的中點(diǎn)；

③以點(diǎn)尸為圓心，AF長為半徑畫弧，交CB延長線于點(diǎn)P；

(1)請(qǐng)按照作圖過程中④的要求，用無刻度直尺和圓規(guī)將所給圖形補(bǔ)充完整；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)根據(jù)已補(bǔ)充完整的圖形解決問題：

在矩形ABCD中，已知AB=5,AD=1,

貝|3F=,PF=,進(jìn)而求得正方形8PQR的邊3尸=.

由此可得S矩形ABC。=S正方形BPOR，即達(dá)到“化矩形為方”的目的.

【答案】（D見詳解

⑵2,3,6

/.FE=1x(5+l)=3........(4分)

則BE=EE-BE=3-1=2,PF=EF=3

進(jìn)而求得正方形叱少的邊3P=JPF2-砥2=小.......（5分）

此時(shí)5正方形叱=（好丫=5,.......（6分）

丁S矩形ABC。=1x5=5........（7分）

S矩形ABC。=S正方形BPQR，即達(dá)至IJ“化矩形為方”的目的.......（8分）

20.（8分）粒子加速器是當(dāng)今高能物理學(xué)中研究有關(guān)宇宙的基本問題的重要工具.圖1,圖2是某環(huán)形粒

子加速器的實(shí)景圖和構(gòu)造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，0。是粒子真空室，C、。是兩個(gè)加速

電極，高速飛行的粒子/在A點(diǎn)注入，在粒子真空室內(nèi)做環(huán)形運(yùn)動(dòng)，每次經(jīng)過CD時(shí)被加速，達(dá)到一定的

速度在8點(diǎn)引出，粒子注入和引出路徑都與。。相切.已知：AS=16km,粒子注入路徑與45夾角a=53。，

CD所對(duì)的圓心角是60°.

尸注入4

⑵通過計(jì)算，比較CQ與A5的長度哪個(gè)更長；

3

⑶直接寫出粒子J在環(huán)形運(yùn)動(dòng)過程中，粒子/到A5的最遠(yuǎn)距離.（相關(guān)數(shù)據(jù)：tan37°?-1）

4

【答案】（DNABE=53°

（2）48的長度更長，見解析

（3）粒子J到AB的最遠(yuǎn)距離是16km

【詳解】（1）解：如圖，延長ARBE交于G,

由題意得，AF,BE是。。的切線，

AG=BG,

ZABE=NMS=a=53。；.........。分）

（2）解：A8的長度更長，.......（2分）

：CO所對(duì)的圓心角為60。，OC=Q4=10km,

60Kx1010s-

??CD的長度約為=彳兀a10.5km,

lot）3

V10.5<16,

A5的長度更長；.......（3分）

（3）解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,延長EO交。。于點(diǎn)P,連接AO,BO,...............（4分）

：AF是0。的切線，

/E4O=90。，

：（z=53。，

ZE4O=90。—53。=37。，.........（5分）

：A3是0。的弦，0E是弦心距，OE1AB,AB=16km,

/.AE=BE=-AB=8km,ZAEO=90。，

2

OP3

Z.tanZEAO=——=tan37°?-,...............（6分）

AE4

33

OE?—AE=—x8=6km,

44

AO=ylAE2+OE2=1Okm>..................（7分）

如圖，當(dāng)粒子J運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，離AB的距離最遠(yuǎn)，

EP=OE+OP=6+10=16km,

即粒子J到48的最遠(yuǎn)距離是16km................（8分）

21.（9分）為確保師生“吃得安全，吃得健康”，某學(xué)校切實(shí)履行監(jiān)督職責(zé)，隨機(jī)抽取8名教師和40名家長

做評(píng)委，對(duì)甲配餐公司提供的飯菜質(zhì)量進(jìn)行打分（百分制），并對(duì)他們的打分結(jié)果進(jìn)行整理、描述、分析，

得到如下部分信息：

a教師打分：8285889090909196

尻家長打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分5組：第1組80Wx<84,第2組84（尤<88,第3組88Wx<92,

第4組92Vx<96,第5組96?x100）：

頻數(shù)

16

12

評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表:

8c.

3

1

O8084889296100打分

平均中位眾

數(shù)數(shù)數(shù)

教師評(píng)

8990m

委

家長評(píng)

91n91

委

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

（1）①加的值為一，"的值位于家長打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第一組;

②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余6名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為無，則上89（填“”

或.

（2）新學(xué)期即將開始，為了讓家長對(duì)配餐公司有更多的了解，該校再組織這8名教師和40名家長考察乙配餐

公司，并按教師打分（平均數(shù)）占左％,家長打分（平均數(shù)）占（100-k）%,確定配餐公司的最終得分，通

過計(jì)算，甲配餐公司的最終得分為90.2分.

①求k的值；

②若教師和家長評(píng)委對(duì)乙配餐公司打分的平均數(shù)分別為91分，89分，求乙配餐公司的最終得分，只比較兩

家配餐公司的最終得分，學(xué)校下學(xué)期還會(huì)繼續(xù)讓甲配餐公司為師生提供服務(wù)嗎？

【答案】⑴①90,3；②二

（2）①左=40；②學(xué)校下學(xué)期還會(huì)繼續(xù)讓甲配餐公司為師生提供服務(wù).

【詳解】（1）解：①由題意得，教師評(píng)委打分中90出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)加=90,...............（1分）

40名家長評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)是第20、21個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

故w的值位于家長評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第3組；.......（2分）

故答案為：90；3；

②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余6名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為：

x=g?（8588+90+90+90+91）=89,

故答案為：=;.......（3分）

（2）解：①89次％+91（100—左）％=90.2,................（6分）

解得上=40；...............（7分）

@91x40%+89x60%=89.8（分），.........（8分）

90.2>89.8,

學(xué)校下學(xué)期還會(huì)繼續(xù)讓甲配餐公司為師生提供服務(wù)........（9分）

22.（9分）【定義1】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量》的一個(gè)值，當(dāng)x?0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等;

當(dāng)x<0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù).我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為“友好函數(shù)”.

例如：一次函數(shù)y=x-i,它的“友好函數(shù)”為y=%；

一x+l（x<0）

【定義2】平面直角坐標(biāo)系中將經(jīng)過點(diǎn)（0,6）且垂直于y軸的直線記為直線y=6.

已知一次函數(shù)y=2x-4,請(qǐng)回答下列問題：

（1）該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”為二

⑵已知點(diǎn)A（a,2）在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，求。的值；

（3）當(dāng)TVxVl時(shí)，求該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的最大值和最小值；

（4）已知直線>=6與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出6的取值范圍.

'2x-4（x>Q'）

【答案】（l）y=1_2x+；（x<；））⑵⑶最大值為6,最小值為-4（4）TV》V4

【詳解】（1）解：由題意，根據(jù)“友好函數(shù)”的定義，

?..當(dāng)尤20時(shí)，y=2x-4,

，當(dāng)x<0時(shí)，y--2x+4,

2x-4（x>0）

故答案為…=........也分）

（2）解：由題意，①當(dāng)時(shí)，

???點(diǎn)A（a,2）在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，

廠.2a—4—2,

:.a=3,符合題意;（3分）

②當(dāng)。<0時(shí)，

?.?點(diǎn)A?2）在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上,

—2a+4=2,

.-.<2=1>0,不符合題意；

綜上，。=3；...............（4分）

（3）解：當(dāng)—lWx<0時(shí)，y=-2x+4,>隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=-l時(shí)，y有最大值為6,當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值為4；

當(dāng)OVxWl時(shí)，y=2x-4,>隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為T,當(dāng)X=1時(shí)，y有最大值為-2；

綜上所述，該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的最大值為6,最小值為4；...............（6分）

2x-4(x>0)

(4)解:由題意,畫出一次函數(shù)y=2x-4的“友好函數(shù)"y=<的圖象如下:

-2x+4(x<0)

（8分）

1??直線y=6與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),

（9分）

23.（11分）如圖，在RtAABC中，ZACB=900,AB=5,AC=4,。為A8的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)

沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接尸2,以P。為邊構(gòu)造正方形MWQ,且邊MN與

點(diǎn)B始終在邊PQ同側(cè).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（/>0）.

(1)線段BC的長為；

(2)線段CP的長為(用含f的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)正方形尸MNQ的頂點(diǎn)〃落在VA5C的邊上時(shí)，求t的值；

(4)當(dāng)正方形PMNQ的邊"N的中點(diǎn)落在線段AC上時(shí)，求t的值和正方形的面積.

5545

【答案】(1)3(2)47(3"的值為2或］(4"=z，S正方航”/=正

【詳解】(1)解：VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=y/AB2-AC2=V52-42=3；.........(1分)

(2)解：?..動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

AP=t,

：.PC=AC-AP^4-t；........(2分)

(3)解：依題意，①當(dāng)點(diǎn)M落在AC上時(shí)，如圖1,

圖1

???四邊形PMNQ是正方形,

：.ZPMN=ZACB=9Q°f

；.PQ//MN//BC,

/./\APQsaACB,

.”=A。J

9AC~AB~2

口nt1

即：二大，

42

解得t=2；...............（3分）

②當(dāng)點(diǎn)〃落在BC上時(shí)，如圖2,

圖2

過點(diǎn)。作QKLAC于點(diǎn)K,

??,四邊形PMAQ是正方形，

NQPM=90。,QP=PM,

：.ZCPM+ZKPQ=90°,

XVZAPQ+ZKQP=90°,

：.ZCPM=ZKQP.

在△KQP和△CPM中.

ZKQP=ZCPM

<ZQKP=ZPCM

OP=PM

：.△KQPgZ^CPM(AAS)

.?.PC=QK

又?.,ZQKA=ZBCA=90°,

.?.KQ//BCf

：.△AKQS^ACB,

.KQ_AQ_]_

99CB~AB~29

13

即KQ=—05=2,

22

3

PC=QK=~,

一2

t=—,..............（5分）

2

當(dāng)正方形PMNQ的頂點(diǎn)M落在VA5C的邊上，f的值為2或

2

（4）解：當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)尸落在AC邊上時(shí)，如圖3,..............（6分）

圖3

過點(diǎn)。作。石，AC于點(diǎn)E,

??.ZPEQ=90°

??,四邊形尸"NQ是正方形,

NQPM=90°,ZM=90°,

ZMPF+ZPFM=90°,NMPF+ZQPF=90°

...ZPFM=ZQPF,（7分）

AQPEsAPFM,

PE_MF_1

（分）

~EQ~TM~28

131

由（3）②可知。石=]3C=],AE=-AC=2,

PE_1

??.可二5,

2

3

：?PE=—,..............（9分）

4

35

...AP=AE-PE=2——=-,

44

t=—...............（10分）

在RtZ\PQE中,

*=叱+m=0+0=/

,45

,"S正方形PMN。_'.............（］］介）

24.（12分）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀（如圖1）.為

保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中.圖2是其截面圖，已知綠道路面寬。4=3.5米，河道壩

高AE=5米，壩面AB的坡比為，=1:0.5（其中/=tan/ABE）,當(dāng)水柱離噴水口。處水平距離為2米時(shí)，離

地平面距離的最大值為3米.

圖1圖2

以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，解決問題：

（1）求水柱所在拋物線的解析式；

（2）出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.25米，判斷水柱能否噴射到護(hù)欄上，說明

理由；

（3）河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會(huì)隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水

花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上；

①河水離地平面AD距離為多少時(shí)，剛好使水柱落在壩面截線4B與水面截線的交點(diǎn)處？

②為保證水柱的落水點(diǎn)始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為米，

噴水口離地平面的最小高度相隨著〃的變化而變化，直接寫出m與h的關(guān)系式.

【答案】⑴水柱所在拋物線的解析式為y=-加-2）一+3