4.3.1等比數(shù)列的概念

【題型1等比數(shù)列的定義】

1、(2021.陜西延安.高二?？茧A段練習(xí))下面各數(shù)列是等比數(shù)列的是()

(1)-I,-2,-4,-8；

(2)1,2,3,4;

(3)x,x,x,x；

,..1111

(①1，丁不

A.(l)(2)(3)(4)B.(l)(3)(4)C.(l)(4)D.(l)(2)

(4)

【答案】c

【解析】對于(1),公比為2,即為等比數(shù)列；

234

對于(2)由于‘二二，即(2)不是等比數(shù)列；

對于(3)當(dāng)尤=0時，不是等比數(shù)列；

對于(4)公比為:，即為等比數(shù)列.故選：C.

2、(2022.高二課時練習(xí))已知數(shù)列a,?(1-?),，…是等比數(shù)歹U，則實數(shù)a的取值范

圍是()■

A.owlB."0或。C.a^OD.aA0日ail

【答案】D

【解析】由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列中不能出現(xiàn)為0的項，且公比不為0,

所以aw0且1-awO,所以a*0且awl.故選：D.

3、(2023?貴州黔東南?高二校考階段練習(xí))數(shù)列1,1,1........1,…必為()

A.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

【答案】C

【解析】數(shù)列1,1,1，…，1,…是公差為0的等差數(shù)列，

也是公比為1的等比數(shù)列.故選：C.

4、（2022.高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛m｝的前〃項和S〃=m-1（。是不為零且不等于1的常數(shù)）,

則數(shù)列｛劭｝（）

A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列

C.是等差數(shù)列或等比數(shù)列D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列

【答案】B

【解析】當(dāng)ri>2時，an=Sn-Sn-1=（a-V）an-1；

當(dāng)時，=滿足上式.

/.an=（a-l）an」,nUN*.

???器=J故數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列.故選：B

un

5、（2023?湖南長沙?高二長郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛%｝是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是

等比數(shù)列的是（）

A.B.｛anan+,｝C.｛旭（明｝D.｛4+%+J

【答案】AB

【解析】由題意知｛〃,｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（q*o）;

???數(shù)列L是以2為首項「為公比的等比數(shù)列，故A正確;

IAJ/q

對于B,受Q=等=d,

unun+\un

???數(shù)列佃4“｝是以為首項,42為公比的等比數(shù)列，故B正確；

對于C,當(dāng)%=1時,ig（d）=o,數(shù)列作（端）｝不是等比數(shù)列，故c錯誤；

對于D,當(dāng)4=-1時,…用=0，數(shù)列也+%｝不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：AB.

【題型2等比數(shù)列的通項與基本量】

1、（2023?甘肅甘南?高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列｛4｝中，%=1,%=9，則%=（）

A.3B.3C.3或3D.

【答案】B

【解析】令等比數(shù)列國｝的公比為夕,貝,

所以/=9,解得/=3,所以％=砧2=卜3=3.故選：B.

2、（2023?遼寧沈陽?高二康平高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝中,若

q+%+q+a4=3（q+a3）,則公比為（）

A.1B.2C.1D.2或一2

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為虱尸。）,

因為q+為+/+/=3（6+%），可得/（l+q+q?+，）=34］（1+/）,

所以l+4+q2+l=3（l+/）,即l+q2+q（l+q2）=3（l+d）,即如+:）=2（1+/）,

因為1+〃％。，所以4=2.故選：B.

3、（2023?河北衡水?高二衡水第二中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列&｝中,4%,%,2%成等差數(shù)

歹U,貝U&f空=（）

U14

A.1B.JC,2D.4

24

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q（qwo）,

由于4a5,%,2&成等差數(shù)列，

所以2%=4%+2〃6，%=2%+々6應(yīng)2=2+.應(yīng)2=2,

22

所以仁組"應(yīng).故選：C

%4卬41

4、（2023?云南曲靖?高二曲靖民族中學(xué)?？计谀┰诘缺葦?shù)列｛4｝中,%+〃2=W（%+，則｛%｝

的公比可能為（）

A.-1B.-2C.2D.4

【答案】ABC

【解析】設(shè)｛%｝的公比為q,所以卬+生”3而+卬力,

解得4=-1或4=一2或“=2.故選：ABC.

5、（2023?高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列,若用,的是方程/一5x+4=0的兩個

根,求生和q.

【答案】…、q=；

【解析】由Y一5x+4=0,解得士=1、尤2=4,

因為％,應(yīng)是方程￡一5》+4=0的兩個根,且等比數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，

所以4=4,%=1,所以四二?！?？，則1=4/,解得4=g或4=-g,

當(dāng)4=；時〃“=4'（；］符合題意，

當(dāng)"=時4=4X,數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，不符合題意，

所以4=4、q=；.

【題型3等比中項及其應(yīng)用】

1、（2022.廣西梧州?高二校考期中）6-1與6+1的等差中項和等比中項分別是（）

A.V3,±V2B.A/3,V2C.V3,-V2D."±2

【答案】A

【解析】與1+i的等差中項是君T；6+I=G,

百-1與6+1的等比中項是球6-1）（6+1）=±?故選：A

2、（2023?上海普陀?高二?？计谥校?疑”是“G是小b的等比中項”的（）條件

A.既不充分也不必要B.充分不必要C.必要不充分D.充要

【答案】A

【解析】當(dāng)G=a=》=0時，滿足G=?F,不滿足G是a、。的等比中項；

當(dāng)G是外。的等比中項，如a=l/=4,G=-2，但不滿足G=?F,

故“G=”是“G是a、6的等比中項”的既不充分也不必要條件故選：A

3、（2023?河南信陽?高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，函數(shù)y=x1—5x+6

的零點分別是。2M10,則“6=（）

A.2B.±V6C.±73D.76

【答案】D

【解析】由題意可得〃2〃10=6>°，〃2+。10~5>°，所以的>°，％0>°,

故必>。,且&=J%4o=",故選：D

4、（2021.河南洛陽.高二?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列｛q,｝的各項都為正數(shù),且a5a64a7=18,貝[]

log36Z]+log3a24--1-log3tz10等于（）

A.12B.10C.8D.30

【答案】B

【解析】等比數(shù)列｛%｝的各項都為正數(shù)，

。5。6=。4。7,「?。5。6+。4。7=2。5。6=18,/.=9,

log3al+log3a2+…+logsGo=log3-a,■■-a10）=log3（a5a6丫=10.故選：B

5、（2023?甘肅蘭州?高二?？计谀┮阎獢?shù)列&｝為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若

aa

a2a4+2a3a5+46=25,貝[]%+%=（）

A.5B.-5C.±5D.無法確定

【答案】A

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：出%=片,4a6=s，

2

所以〃2%+2〃3〃5+〃4〃6=25可化為a；+2/%+d=25,gp（a3+a5）=25,

又因為數(shù)列｛為｝為各項均為正數(shù)，所以%+%=5,故選：A.

【題型4等比數(shù)列的性質(zhì)】

1、（2022.全國.高二課時練習(xí)）設(shè)&｝是等比數(shù)列，且4+%+/=1,%+q+a4=2，貝[]%+Q7+=

)

A.12B.2C.30D.32

【答案】D

【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為“,

因為q+/+q=l,

所以由名+生+。4=2=>a^q+a2q+a3q=1q{a}+々2+%)=2=4=2,

所以〃6+%+〃8=〃彼5+%夕5+Q3g5=q53+%+/)=25X]=32,故選：D

2、（2023?遼寧葫蘆島?高三校聯(lián)考階段練習(xí)底等比數(shù)列｛4｝中，已知%%%=蜷，則必有（）

A.%=1B,a15=1C.%3=1D.%4=1

【答案】D

【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標性質(zhì)，由Q4a5〃9=a?—>2a14=〃2—*〃14=。2,

在等比數(shù)列｛見｝中,各項均不為o,所以必有知=1.故選：D

3、（2023?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？计谥校┮阎椀缺葦?shù)列｛q｝中,%出也=4,則

log?4+log22+…+log2a2024=（）

A.1012B.2024C,21012D,22024

【答案】B

【解析】由題意知正項等比數(shù)列｛q｝中,%%儂=4,

則〃1%024=。2a2023=…=。1012〃1013=4/

010122024

log2aA+log26t2+???+log2a2024=log2（aAa2…-a^^log^a^'^=log24=log22=2024,

故選：B

4、（2023?全國?模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛外｝滿足對任意的正整數(shù)機,“都有

A.：B.叵C.272D.472

84

【答案】B

【解析】解法一對于勺+“=。1A，取根=1,得%+i=W“，

所以數(shù)列｛%｝是首項為%,公比為由的等比數(shù)列，

所以為=《，貝！］。6=q6=8，得d=20,

FJ匚I”+々4々5__a3+a6_1_V2

r/T以i2~i—i―~^3~~A1

a2al+a6a3a6+a3a9a6+a944

解法二對于4+”=%。",取根="=3，得&=d,又。6=8,

所以為=2虛,貝口魅+%'=一+—R=a=述=也.故選?B

a2al+a6g4+4484

5、（2023?云南昆明?高三昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)小｝是等比數(shù)列,且q+為=7,

生+&=21,貝[]%+%（）=.

【答案】189

【解析】由國｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為“,

貝（]6+44,Q3+4fa5+a8,%+4。構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為二,

「%+%=/（%+%）,；"=3,

貝[]%+a10=44（/+必）=21x9=189.

【題型5等比數(shù)列的證明】

1、（2023?全國?高二專題練習(xí)）記名為數(shù)列｛q,｝的前〃項和，已知嗎+（時1）%++a“=2S"-1證

明：電,｝為等比數(shù)列；

【答案】證明見解析

【解析】由已知得叫+（"T）%++a?=2S?-l（

（“+1）0[+7嗎++2an+an+l=25?+1-1,

相減可得,Oi+a2++a?+an+i=2%-2S”.

因為■+/++a”+4+i=S“+i,

所以有S“+i=2s用一2S“,即S,!+1=2S?.

”=1時，由已知可得4=2S「l=2a「l,所以％=1,H=1,

所以，｛S.｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

2、（2023?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛““｝滿足：4=1,%=2%+3g2）.

（1）求證：｛4+3｝為等比數(shù)列；

(2)求也｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析；(2)%=*-3

【解析】(1)已知遞推公式4=2%+3,兩邊同時加上3,得：??+3=2(a?-1+3)(n>2),

因為%>。，67〃+3>0，所以^^=2(〃22),

Un-\十J

又%+3=4*0，所以數(shù)列｛%+3｝是以％+3=4為首項、以2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)a?+3=4x2"-1=2"+1,貝［］%=2向—3(〃eN*).

2

3、(2023?天津北辰?高二?？计谀?已知數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，且S"=—在數(shù)列間中,

26"+1=%(此2),4=0.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)證明：1+1｝是等比數(shù)列.

【答案】(1)a,=n；(2)證明見解析

2

【解析】(1)因為數(shù)列「“｝的前"項和為S",且S”號

當(dāng)”=1時,a,=S,=L^=1,

n-\)"+(7?n2+nn1—n

當(dāng)心2時，q=S-e=F-1)----=n,

222

1

%=也滿足%=〃,故對任意的〃wN*,an=n.

(2)當(dāng)〃N2時,26“+1=岫，可得么=；%一:，所以，么+1=；(%+1),

且4+1=1,則4+1>。,&+1=，4+1)>0,L,

以此類推可知，對任意的〃eN*,2+1>。,所以,^=^>2),

因此,數(shù)列也+1｝是公比為g的等比數(shù)列.

4、(2023下?甘肅張掖?高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的首項,

3%

2%+1

(1)證明：數(shù)列］j為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛見｝的通項公式.

【答案】（1）證明見解析；（2）%=六

【解析】（1）因為>=胃盧=[+』，所以J-T=3T，

un+l^unun+l^un

所以數(shù)列弓t1是首項為I,公比為g的等比數(shù)列.

（2）由（i）可求得LI=|X[T,所以，=2、]]+1=亨,即為=

an3⑶an<3；33+2

5、（2023下?高二課時練習(xí)）數(shù)列｛%｝中，4=2,-3，且｛%/｝是以3為公比的等比數(shù)列，

記2=%1+%”（〃wN*）.

（1）求的、為、%、%的值；

（2）求證：也｝是等比數(shù)列.

【答案】（1）%=6,4=9,%=18,4=27;（2）證明見解析

【解析】（1）由數(shù)列]“｝中,4=2,…，且數(shù)列｛。1A+J是以3為公比的等比數(shù)列，

可得知a,+i=6-3"T,則%%=6x3=18,解得％=6,

又由。3。4=6x3~=54,解得。4=9,

同理可得%=18,4=27.

（2）證明：由。/用=6-37，可得a.）,”=6.3",貝！]乎=3,

Un

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成等比數(shù)列，且首項分別為2,3,公比為

3,

a2x

所以2n-i=3"T,a2n=3x3"T=3",

因為“=a2n-l+。2n,所以=3且4=%+g=5,

b“2x3+3

所以數(shù)列出｝是首項為5,公比為3的等比數(shù)列.

【題型6由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】

1、（2022.寧夏銀川.高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家

朱載埼發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理

論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠的影

響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次

成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第4個數(shù)應(yīng)為（）

A.2aB.C.213D.2^3

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)這13個數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為｛“/,公比為4,

貝眄=1,&=2,所以靖2=^=2,即心25,

/j_A4j_

所以新插入的第4個數(shù)為?5=面=2五=.故選：B.

2、（2023?福建福州?高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列｛%｝是等差數(shù)列,且

&=0,%+g+%=6，將出，%，%，%去掉一項后，乘嚇三項依次為等比數(shù)列也｝的前三項，貝弛=

（）

A.22fB,2,,+2C.23-"D.2,1+3

【答案】c

【解析】在等差數(shù)列｛%｝中，3%=+〃4+%=6，解得%=2,而/=。，即有公差,

等差數(shù)歹［］｛為｝的通項氏=%+（〃-4時=6-〃，則的=4,%=3,%=2,%=1,顯然去掉的,

3%,%成等比數(shù)列,貝（］數(shù)歹U也｝的首項為4=g=4,公比4=^=3,

所以2=麗"T=4x（g）i=23-.故選：C

3、（2023?山東青島?高二統(tǒng)考期中X多選）已知數(shù)列也｝是一個無窮等比數(shù)列，前”頁和為S”，

公比為4,則（）

A.將數(shù)列｛q｝中的前左項去掉，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列

B.取出數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列

C.從數(shù)列｛%｝中每隔10項取出一項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列

D.數(shù)列不是等比數(shù)列

【答案】ABC

【解析】由于數(shù)列&｝是一個無窮等比數(shù)列，前"項和為s.,公比為q,

對于A：將數(shù)列0｝中的前上項去掉,

剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，故A正確；

對于B：取出數(shù)列a｝的偶數(shù)項，

剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列且公比為“2,故B正確；

對于C：從數(shù)列以｝中每隔10項取出一項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為,

故c正確；

對于D：數(shù)列｛〃“｝是一個無窮等比數(shù)列，

故數(shù)列仍是公比為一的等比數(shù)列，故D錯誤.

Van）]

故選：ABC.

4、（2023?北京?高二北京市八一中學(xué)?？计谥校┰?和9之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正

項等比數(shù)列,則中間三個數(shù)的積等于.

【答案】27

【解析】依題意外=1,“5=9，所以=9，所以“3=3或。3=-3（舍去），

所以。2“3。4==27

5、（2023?上海?高二校考期中）設(shè)為、?2、…、生,是各項不為零的等差數(shù)列，壯4,且公差必0,

若將此數(shù)列刪去某一項后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，則滿足題意的所有數(shù)對

1為

a

【答案】（4T）,（4,1）/（4,1）,（4,-4）

【解析】設(shè)數(shù)列｛q,｝的公差為應(yīng)

則各項分別為：的,%+d,%+2d/…6,且qWO,dw0

假設(shè)去掉第一項,則有（4+d）（?1+3d）=m+2d）2,解得"=。,不合題意；

去掉第二項，有qW+BdHai+Zdy,化簡得：4/+q"=0即d（4d+q）=o，解得八斗，

因為數(shù)列的各項不為零，所以數(shù)列不會出現(xiàn)第五項〃+4d=。）,

所以數(shù)對［吟）=（4,一4）;

去掉第三項,有q（%+3d）=（4+d）2,化簡得：/一=。即d（d-4）=。,解得d=q

則此數(shù)列為:a,2a,3a,4a,...,此數(shù)列仍然不會出現(xiàn)第五項，

因為出現(xiàn)第五項,數(shù)列不為等比數(shù)列，所以數(shù)對，，?/（4」）；

去掉第四項時，有q（q+2d）=（q+d）2,化簡得：4=0,不合題意；

當(dāng)去掉第五項或更遠的項時，必然出現(xiàn)上述去掉第一項和第四項時的情況，

即"=0,不合題意.

所以滿足題意的數(shù)對有兩個為（4,-4）;（4,1）.

【題型7等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】

1、（2023?北京房山?高二統(tǒng)考期末）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比為q，且2=bg2%,

貝！］“也｝為遞減數(shù)歹廠是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】由題設(shè)4,=4/1>0且4>°,貝時“=log2%+（"T）log2q="log2q+log2%,

q

若也｝為遞減數(shù)列,故log2“<0,則。<4<1,充分性成立；

若0<”1,則1嗚”0,易知也｝為遞減數(shù)列，必要性也成立；

所以“｛〃｝為遞減數(shù)列"是“。<”廣的充分必要條件.故選：C

2、（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)歹心。“｝滿足。8=8,勺+4@=：,貝必出取最

大值時"的值為（）

A.8B,9C.10D.11

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為如>。）,有包，=/+4/g,

由函數(shù)〃力=爐+4">0）單調(diào)遞增，且,可得4―

有%=2,%。=g,由數(shù)列｛a,,｝單調(diào)遞減,

所以4取得最大值時〃的值為9,故選：B.

3、（2023?山西忻州統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列｛%｝中，若%+。3=62,〃2+〃4=31,則當(dāng)?shù)?a?

取得最大值時，"=

【答案】6

【解析】在等比數(shù)列｛4｝中，ax+a3=62,a2+a4=31,

a、+u1

所以公比A

所以q+%=。1++1=62,解得％=學(xué),故q=當(dāng)xg

易得見單調(diào)遞減，且%>。，

E^_31,31,

因為必=為>1,%=加<1，

所以當(dāng)時,4>1,當(dāng)"27時,0<?！?lt;1,

所以當(dāng)％的%取得最大值時，〃=6.

4、（2022.黑龍江齊齊哈爾.高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

前n項積為I,并且滿足條件卬>1,>1,卜<。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。6a8>1B.0<q<lC,4>1D.1沒有最大值

【答案】B

【解析】在等比數(shù)列｛4｝中,由4>1,,得才。>1,即有4>。,4>。,

若心1,則%>1,%>1,止匕時片>°,與已知條件R<0矛盾，

因此。<”1,B正確，C錯誤；

顯然數(shù)列?。沁f減數(shù)列，由丹<°，得％<1<%,貝心％=婿<1,A錯誤;

由于M=,當(dāng)〃eN*,〃M5,31,而￡>0,則小乜,當(dāng)心6時,*<1,則

1n

&i<T〃,

因此當(dāng)〃<6時，（逐漸增大，當(dāng)心6時，1逐漸減小,

所以7■的最大值為"，D錯誤.故選：B

5、（2023?甘肅武威?高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）關(guān)于遞減等比數(shù)列

｛4｝,下列說法正確的是（)

A.當(dāng)q>0時，0<”1B.當(dāng)q＞。時，q＜。

C.當(dāng)4<。時,q>iD.—＜1

4+1

【答案】AC

【解析】A.當(dāng)%>。，0<4<1時，從第二項起，數(shù)列的每一項都小于前一項,

所以數(shù)列｛4｝遞減，A正確；

B.當(dāng)4>。,4<。時，｛/｝為擺動數(shù)列，故B錯誤；

C.當(dāng)4<。,4>1時,數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，故C正確；

D.a用-a”=（q-1）<0，當(dāng).>。時,q<\止匕時馬->1，

（an+\

當(dāng)生<0時,…，子<1,故D錯誤.故選:AC.

Un+\

【題型8等比數(shù)列的實際應(yīng)用】

1、（2023?浙江杭州?高二統(tǒng)考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相

生律、純律并稱三大律制.“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單

音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于期.而早在

16世紀，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重

要貢獻.若第一個單音的頻率為f，則第四個單音的頻率為（）

C1C1

A.5/B.24yC.4/D.2。

【答案】B

【解析】由題設(shè)可得：依次得到的十三個單音構(gòu)成首項為了,公比為皿的等比數(shù)列｛4｝,

第四個單音的頻率為4="（加）3=2：/.故選：B.

2、（2023?河北保定?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）提丟斯一波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個

簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天

文臺的臺長波得歸納成一條定律，即太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A.U.

為單位）構(gòu)成數(shù)列｛%｝,且數(shù)列｛鞏｝從第二項開始各項乘以10后再減4構(gòu)成一個等比數(shù)列.

已知4=1,%=1。，則太陽系第5顆行星與太陽的平均距離為（）

A.1.6B.2C,2.8D,200

【答案】c

【解析】設(shè)數(shù)列｛q,｝從第二項開始各項乘以10再減4得到的等比數(shù)列為也｝,公比為q,

因為4=1,——,所以d=6,%=96，所以八*=16,所以"2.

A+4

因為勿=%L=3x2"T,所以”=3x23=24,故％=曦-=2.8.故選：C.

3、（2023?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗,

苗主責(zé)之粟9斗,豬主日：“我豬食半羊.”羊主日：“我羊食半馬.”馬主日：“我馬食半牛.”

今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠

償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬

的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬

的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）斗.

3921

A.-B.1C.3D.y

【答案】B

【解析】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2,

設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為x,