第3章平面直角坐標系（單元測試?培優(yōu)卷）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分,每小題均有四個選項，其

中只有一項符合題目要求）

（24-25八年級上?浙江溫州?期中）

1.四根木棒的長度分別為12cm,8cm,6cm,5cm.從中取三根，使它們首尾順次相接組

成一個三角形.則下列取法中不能組成一個三角形的是（）

A.12cm，8cm,6cmB.12cm,8cm,5cm

C.12cm,6cm,5cmD.8cm,6cm,5cm

（24-25八年級上?福建福州?期中）

2.如圖，已知△4BC中，點。在8C上,使△NAD2△/CD不一定成立的條件

是（）

A.平分N8/CB.AD1BCC.。是8c的中點D.DA=DC

（2022?浙江杭州?模擬預測）

3.如圖，正五邊形/3CDE中，AFCD,則/A4尸的度數(shù)是（）

C.60°D.72°

（23-24七年級下?遼寧丹東?期末）

4.如圖，由9個完全相同的小正方形拼接而成的3x3網格，圖形/BCD中各個頂點均為格

點，設=ZBCD=p,NBAD=y,則的值為（）

試卷第1頁，共8頁

C.60°D.75°

（2025?河北保定?一模）

5.一臺起重機的工作簡圖如圖所示，吊桿與吊繩的夾角為80。，在同一平面內，將

逆時針旋轉45。后到的位置，則吊桿與所連吊繩的夾角a為（）

C.35°D.45°

（24-25八年級上?浙江舟山?期末）

6.過NA4c內一定點D,作一條直線環(huán)，交23于點￡,交/C于點F,下列四種作法，“EF

面積最小的是（）

（24-25八年級上?安徽池州?期末）

7.如圖，在四邊形48co中，Z5=ZC=120°,AB=6cm,BC=8cm,CD=12cm,點尸

在線段上以2cm/s的速度由點B向點C運動，同時點。在線段8上由點C向點。勻速

運動，若以點尸、C、。為頂點的三角形與ANB尸在某一時刻全等，則點。運動速度為（）

cm/s.

試卷第2頁，共8頁

D

A.2B.4C.2或4D.2或3

（23-24七年級下?重慶?期中）

8.如圖，在△ABC與△/斯中，4C、￡三點在一條直線上，N4EF+NB4F=180°,

AC-CE

NBCE=NBAF,AB=AF,若8C=24,所=14,則-------的值為（）

AE

（24-25八年級上?湖北武漢?期中）

9.如圖，在中，NB4c=90°,CD是△/BC的角平分線，4ELCD于點￡,連

接BE,AB=6,AC=8,BC^IO,貝限48后的面積是（）

（2024?山西臨汾?一模）

10.如圖1,一副三角尺的△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=10cm,ZBAC=90°,O

是斜邊8c的中點，含30。角的直角三角尺的直角頂點放在點。處，記作AOM,NE=30。,

直角邊O尸與邊OC在同一條射線上.如圖2,把AOEr繞點。逆時針旋轉，OF與邊AC交

于點N,OE與邊AB交于點M,得到下列結論.?OM=ON-②ZBMO=NONA；③四

邊形/MCW的面積為定值且為25cm-@BM+CN=l0cm.其中，正確的結論有（）

試卷第3頁，共8頁

圖1圖2

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25七年級上?江蘇蘇州?期末）

11.如圖，直線4B〃CD,ZS=48°,/D=26°,則—E的度數(shù)是.

（24-25八年級上?河南新鄉(xiāng)?期中）

12.如圖，在△N2C中，AD=DE,AB=BE,44=80。，則NCEZ）=.

（23-24八年級上?陜西咸陽?期末）

13.如圖，CA平分/BCD,CD=CB,ABLAD,延長交2c于點E,則=

度.

（23-24八年級上?河北張家口?期中）

14.已知△A8C和A4CR1,NB==30°,AB=AlB}=5,AC=AxCt=3,已知

試卷第4頁，共8頁

ZC=n°,則/C]=.

（24-25八年級上?河北唐山?期中）

15.如圖，己知：AB//DE,AC//DF,BC//EF,BM+CN=EF-MN.

（2）如果圖中不規(guī)則的圖形NBAffiWC圖上陰影，則S（陰影）與S（四邊形EAWF）的大小關系是

（填“＞、＜或="）.

（23-24八年級上?貴州畢節(jié)?期末）

16.如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，上底CD=6cm,過點C作CE，,且CE=8C=13cm,

連接。若的面積為36cm2,則AB的長為cm.

（23-24七年級下?四川宜賓?期末）

17.在△4BC中，NCAB=8。。,AB=2,/C=3,點E是邊48的中點，的角平分

線交8c于點D作直線4D,在直線4D上有一點P,連結尸C、PE,則目的最大

值是.

（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?開學考試）

18.在△4BC中，AHLBC,AE.CD相交于點尸，F(xiàn)G±AC,ZBAF=ZHAG,

試卷第5頁，共8頁

ZDFA=ZAFG,AD=CE,若2FG=3EF,貝l|——=

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（24-25八年級上?安徽池州?期末）

19.如圖，CE平分△4BC的外角N/C。，且CE交出的延長線于點￡.

⑴若48=32。，/￡=36。，求/A4c的度數(shù)；

（2）試猜想NB、ZE三個角之間存在的等量關系，并證明你的猜想.

（24-25九年級下?江蘇泰州?階段練習）

20.如圖，在△NBC和中，AB//CD,給出下列信息①=CE；②AC=CD；

③ZB=NE

（1）請從上述三條信息中選擇兩條作為補充條件，余下的一條作為結論組成一個真命題，并

說明理由.你選擇的補充條件是,結論是.（填寫序號）

（2）在（1）的條件下，AB=6,CA-3.5,求/￡的長

（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）

21.如圖，已知ZX/BC和ACOE均為直角三角形，NACB=NCED=9。。,AC=CE,ABVCD

于點尸.

試卷第6頁，共8頁

A

(1)試說明：△48C絲△<?〃￡；

(2)連接NE,若EA平分NCED,ZD=60°,求NE4B的度數(shù).

(24-25七年級上?海南僧州?期中)

22.如圖，在△4BC中，過點2作E是2c的中點，連接。E并延長交NC于尸

點.

(2)當HE_L3C、AF=1、8。=2時，求4B的長.

(24-25八年級上?河北唐山?期中)

23.如圖，在四邊形/BCD中，N8=〃=90。，點瓦廠分別在邊48,4。上，AE=AF,

CE=CF,連接/C.

(2)若N3=8,CD=6,求四邊形/8CD的面積；

(3)猜想ZDAB+NECF與ZDFC之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

(24-25八年級上?湖南邵陽?期末)

24.(1)如圖①，已知：ZUBC中，NA4c=90°,AB=AC,直線加經過點/,BD1m

于D,CE_L加于E,求證：△,ABD=ACAE；

(2)拓展：如圖②，將(1)中的條件改為：△4BC中，AB=AC,D、/、E三點都在直

試卷第7頁，共8頁

線加上，^5.ZBDA=ZAEC=ABAC=a,a為任意銳角或鈍角，請問結論。E=BZ)+C￡

是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)應用：如圖③，在△ABC中，28NC是鈍角，AB=AC,ZBAD>ZCAE,

ABDA=AAEC=ABAC,直線僅與8c的延長線交于點尸，若BC=2CF,△/2C的面積是

16,求與ACEF的面積之和.

試卷第8頁，共8頁

1.c

【分析】本題考查了三角形的三邊關系的應用，熟練掌握三角形的三邊關系是解題關鍵.根

據三角形的三邊關系定理逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、因為6+8>12,所以長度為12cm,8cm,6cm的三根木棒能組成一個三角

形，則此項不符合題意；

B、因為5+8>12,所以長度為12cm,8cm,5cm的三根木棒能組成一個三角形，則此項不

符合題意；

C、因為5+6<12,所以長度為12cm,6cm,5cm的三根木棒不能組成一個三角形，則此

項符合題意；

D、因為5+6>8,所以長度為8cm,6cm,5cm的三根木棒能組成一個三角形，則此項不

符合題意；

故選：C.

2.D

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形

全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.根據三角形全

等的判定定理，逐一驗證即可.

【詳解】解：A.4D平分/B4C,

ABAD=ACAD,

在△4RD和中，

ABAD=ACAD

<AB=AC,

AD=AD

:.^ABD^AACD(AAS),

故A正確，不符合題意；

B.???ADIBC,

ZADB=ZADC,

在和A/CZ)中，

答案第1頁，共22頁

ZADB=ZADC

<ZB=ZC,

AD=AD

;"BDg"CZ>(AAS),

故B正確，不符合題意；

c.???。是的中點，

BD=CD,

在和中，

AB=AC

<AD=AD,

BD=CD

.\AABD^AACD(SSS),

故c正確，不符合題意；

D.DA=DC無法證明AABD出AACD,

故選：D

3.B

【分析】連接/C,AD,正五邊形NBCDE中，得到4B=4E=BC=DE,NB=NE,證

得A48C%/ED,根據全等三角形的性質得到ZB/C=/E4D,AC=AD,根據等腰三角形

的性質得到NCAF=ZDAF,即可得到結論.

【詳解】解：連接4C,AD,

AB=AE=BC=DE,/B=NE,/BAE-108°,

在△4BC和“瓦？中

AB=AE

</B=/E

BC=ED

"BC知AED,

答案第2頁，共22頁

ABAC=/EAD,AC=AD

AF1CD

ZCAF=ZDAF

ZBAF=NEAF=-/BAE=54°.

2

故選B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，正五邊形的性質，等腰三角形的性質，正確

的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

4.B

【分析】本題考查網格中的全等圖形、三角形外角的性質，根據全等三角形的判定與性質可

得NECB=NGBA,從而可得乙48c=90。=a,再根據三角形外角的性質可得￡+7=45。,

即可求解.

【詳解】解：如圖，BE=AG,NBEC=ZAGB=90°,EC=GB,

.-.ABEC^AGB(SAS),

ZECB=ZGBA,

ZECB+ZEBC=90°,

：.ZGBA+ZEBC=90°,

；.NABC=90°=a,

N0+NCBD=90。,ZCBD+ZABD=90°,

NABD=/3,

■■ZADF=/LABD+ABAD=45°,

.-./?+/=45°,

??^-^-r=90°-45°=45°,

故選：B.

答案第3頁，共22頁

5.C

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵.

首先根據題意可得：AXB//A,C,然后由兩直線平行，內錯角相等，即可求得42c4的度數(shù),

又由三角形外角的性質，求得答案.

【詳解】解：如圖所示：

設與逆時針旋轉45。后吊繩交與點C,/。43=80。，

AXB//A2C,

.../A2c4=ZO^B=80°,

???ZA2CAl=Za+NA20c,ZA2OC=45°,

.?./a=80°—45°=35°.

故選：C.

6.D

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質，構造全等三角形，結合三角形面積進行判

斷即可.

【詳解】解：如圖①，DE=DF,4D工E'F；過點E作EM〃AC交EF于點、M,貝I」

①

-."ZADE'=ZADF'=90°,

Z3<90°,Z4<90°,

Zl>90°,Z2>90°,

在ADME和ADF'F中，

答案第4頁，共22頁

Z1=Z2

<ZADE'=NADF'=90°,

DE=DF

r

???八DMEmADFF,

'S&DME一'ADPF'

S^DF'FVSADEE'，

+

IS“EF=S四邊形/瓦邛，+S亦小S“EF=§四邊形ZED?'gEEf

如圖②，。四=。尸,。尸34。,過點￡作四，石尸于點〃；則/EMZ)=90。,

②

???/FFD=90。,

??.ZEMD=ZFFrD,

在和ADFF'中，

/EMD=AFF'D

<Z3=Z4,

DE=DF

:.ADEM咨小DFF',

.V=Q

,?2bDEM一°ADFF，

SADEMVSADFF"

???^AAEF=S四邊形4應戶+SADFF，SAAEF~S四邊形4￡7W+SADEE'，

SANE/VSANE尸；

如圖③，DE=DF,DE」AB,

答案第5頁，共22頁

B

2

---Q

AF'”'Fc

M

③

???/力ED=90。,

.-.Zl<90°,

尸'。是鈍角,

過點歹作尸垂足為點M,

在ADEE'和ADFM中,

/DE，E=AM

,/2=N3

DE=DE

???ADEEW^DFM,

SADEE'_S4DFM，

..v>v

?u^DFM*ADF'C'

???SADE-SADF'C，

???S“E尸二S四邊形4瓦用'+SADFC，^^AE'F'=S四邊形4瓦）p+S.DEE'

戶,；

綜上，面積最小的是D選項，

故選：D.

7.D

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，設點尸運動時間為/秒，點。運動速度為

vcm/s,則BP=2tcm,CQ=vtcm,根據ZB=ZC=120°,可得小BAP義八CQP或小BAP會八CPQ,

再根據全等三角形的性質，即可求解.

【詳解】解：設點尸運動時間為，秒，點。運動速度為vcm/s,則AP=2%cm,CQ=vtcm,

.-.CP=（8-2/）cm,

???NB=NC=120。,

ABAP^ACQP或ABAPaCPQ,

答案第6頁，共22頁

當/尸會ACQP時，C0=43=6cm,BP=CP=^BC=4cm,

2t=4,解得：t=2,

???2V=6,

解得：V=3cm/s；

當ABZ尸也△。尸。時，CP=AB,BP=CQ=v/cm,

：,2t=vt,解得：v=2cm/s；

綜上所述，點。運動速度為3cm/s或2cm/s.

故選：D

8.A

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，根據三角形外角性質、鄰補角定義及角的和

差求出=/BCA=/AEF,利用AAS證明,根據全等三角形的性

質得出5c=4E=24,CA=EF=14,貝1」"=/七-。4=10,據此求解即可，熟練運用全等

三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵.

【詳解】解:,?,NBCE=/BAF,/BCE=/B+/BAE,NBAF=NBAE+ZFAE,

??.ZB=ZFAE,

-ZAEF+ZBAF=180°,ZBCE+ZBCA=180°,/BCE=/BAF

??.ZBCA=ZAEF,

在/\ABC和AFAE中，

ZBCA=ZAEF

<ZB=ZFAE,

AB=AF

???△43c四△E4E(AAS),

/.BC=AE=24,CA=EF=14,

???CE=AE—CA=U),

AC-CE14-10

??AE24~6f

故選：A.

9.C

【分析】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的證明與性質，三角形中線的性質.延長

NE交8c于點尸，作與點M,利用角平分線的定義可證A/￡C之AFEC(ASA),可

答案第7頁，共22頁

推出=FC=AC=S,再根據三角形面積可求得NM,從而得到$2時，最后利用

三角形中線的性質可知S/BE=；S.)BF，即可求得答案.

【詳解】解：延長4E交2C于點尸，作8c與點"，如圖所示,

AE1CD,CD是△4BC的角平分線,

NAEC=ZFEC=90°,NACE=AFCE,

在和AFEC中,

ZAEC=ZFEC

<EC=EC

/ACE=/FCE

，△/EC絲△在C（ASA）,

AE=EF,FC=AC,

vABAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,

/.BF=BC-FC=BC-AC=IO-S=2,

?/Sa”=-ABAC=-BC-AM,

△AHL22

,VABAC6x824

AM=----------=------=—,

BC105

112424

S=-BF?AM=—義2義——=—,

“A即RP2255

AE=EF,

,&_lv24_12

一'"BE-萬，“時-J*-《，

故選：c.

10.A

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，連接NO,由于△/BC是等腰直角三角形,

根據等腰直角三角形的性質得/8=/C=45。，ZMAO=45°,AO=OC,AO1BC,利用

“人5人”易證得4M。/24義:。，則（W=0N,ZCNO=ZAMO,可判斷①；得

ZBMO=ZONA,可判斷②；由AMOAANCO得S^MOA=SNCO,可得四邊形AMON的面積

答案第8頁，共22頁

=S""=；S”蛇，可判斷③；由也得"=訓，可得

BM+CN=AM+BM=AB=10f即可判斷④

【詳解】解：連接/O,如圖，

???△Z5C是等腰直角三角形，

ZB=ZC=45°,ZM4O=45°,AO=OC,AOLBC,

...OC=OB=AO,

???AMON=90°,

??.ZNOA+ZAOM=ZCON+ZNOA=90°,

NCON=ZAOM,

在和ACON中，

ZMOA=ZNOC

<AOCO,

ZMAO=ZNCO

A/MO之ACNO(ASA),

：.MO=NO；故①正確；

②?:"MOACNO,

ZAMO=ZCNO,

ZANO=ZBMO,故②正確；

③AMOA知NOC,

SiMOA-$ANCO，

111,

ON

.??四邊形AMON的面積=S,AOM+S^AON=S.CON+S./=SAAOC=-S^ABC=-x-xl0xl0-25cm-,

即四邊形NMON的面積為定值且為25cm2,故③正確；

(4)vAMOAWNOC,

,-.CN=AM,

答案第9頁，共22頁

BM+CNBM+AM=AB=10cm,故④正確，

所以，正確的結論是①②③④，共4個，

故選：A.

11.22°##22度

【分析】根據平行線的到現(xiàn)在可得，再根據“三角形的外角定理”即可求出-E的度數(shù).

本題主要考查了平行線的性質和三角形外角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

AB

E

■：AB//CD,4=48。，

N1=NB=48°,

■：4=+

:.ZE=Z1-ZD

=48°-26°

=22°.

故答案為22。：

12.100°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用SSS證明絲/XEB。得出

NBED=NA=80°,即可得解.

【詳解】解：在△/AD和△E8D中，

AD=ED

<BD=BD,

AB=EB

AABDm△班。(SSS),

:.乙BED=//=80°,

ZCED=180°-ABED=100°,

故答案為：100。.

答案第10頁，共22頁

13.45

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義等知識，先根據SAS證明

△ABC冬4ADC,得出=然后根據等式的性質可得出/C*=/C魚，最后結

合垂直的定義即可求解.

【詳解】解：延長以交CD于尸，

；.NDCA=NBCA,

又CD=CB,AC=AC,

AABC^AADC(SAS),

.-.ZDAC=ABAC,

又ZDAF=ZBAE,

ADAC-ZDAF=NBAC-ZBAE,即Z.CAF=ZCAE,

???ABLAD,

：.ZEAF=90°,

...ZCAF=NCAE=-ZEAF=45°,

2

故答案為：45.

14."。或

【分析】本題考查了全等三角形的判定，解答關鍵是根據題意選擇適當方法證明全等，討論

當3C=4。］時，可得AABCa(SSS),則NQ=/C=廢，當8CwBg時,由&C；=4G

可得N&C；q=NC：=”。，則問題可解

【詳解】解：當8C=4G時，A/BC也A43G(SSS),

zc；=zc=?°

當BCw耳G時，如圖,

答案第11頁，共22頁

???4。=4￡,

“qq=zc;=n°,

=180°-n°,

故答案為：廢或180。-廢

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識點，掌握全等三角

形的判定與性質成為解題的關鍵.

(1)由平行線的性質可得====再根據線段的和差可得

EF=BC,然后證明由全等三角形的性質可得Z)E="=5,最后根據

線段的和差即可解答；

(2)由全等三角形的性質可得S"C=S.OM，再根據面積的和差可得S(陰影)='ABC-SADMN，

S（四邊形EMNR）=SADEF-S&DMN，即可解答.

【詳解】解：（1）vAB//DE.AC//DF.BC//EF,

??.NB=ZDMN=NE,NC=ZDNM=ZF,

?：BM+CN=EF-MN,

.-.EF=BM+CN+MN=BCf

“ABC知DEF（SAS）,

DE=AB=5,

.'.DM=DE-EM=5-1=4；

故答案為：4.

（2）,??△ABC義ADEF,

.V=Q

,?Q4BC-JDEF，

V-V_v

,*,S（陰影）=S“BC_S&DMN，口（四邊形EAflVF）一口ADEFU&DMN，

答案第12頁，共22頁

S（陰影）-S（四邊形EMNF）.

故答案為：=.

16.30

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的性質與判定，等腰梯形的性質

等等，過點E作斯1CD交。C延長線與尸，過點。作。GL/8于G,過點C作

于〃，先根據三角形面積公式求出防=12cm,證明知CFE（AAS）,得到

BH=EF=12cm,再證明A/G￡>0A87/C（AAS）,得到NG=8//=12cm,進一步證明

GH=CD=6cm,則=/G+G8+5H=30cm.

【詳解】解：如圖所示，過點E作跖交DC延長線與尸，過點。作。GL/8于G,

過點C作CH_L4B于〃，

???△DCE的面積為36cm°,CD=6cm,

,-,-CDEF=36

2f

???EF=12cm,

??,四邊形45CD是等腰梯形，

CD//AB,AD=BC,NA=/B

???CHLCD,

ZHCF=90°,

?.?CELBC,

ZBCE=90°f

???/ECF=NBCH,

又???/CFE=/CHB=9。。,CE=CB,

:.△CHB"4CFEg0,

BH=EF=12cm,

vAD=BG/A=NB,ZAGD=ZBHC=90°,

■^AGD^BHC（AAS）,

AG=BH=12cm,

-DGLAB,CHLAB,

：.DG//CH,

答案第13頁，共22頁

同理可得。G_LDC,

GH=CD=6cm,

??.AB=AG+GH+BH=^cm,

故答案為：30.

【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，在/C上取點尸，使得/尸=/￡=1,可知

"PF%APE(SAS),得PF=PE,可知|尸。-尸回=|尸。-尸尸區(qū)CP=/C-4F,利用轉化

思想和線段的和差是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?點E是邊的中點，

.t.AE=—AB=1,

2

在NC上取點尸，使得4F=4E=1,

?：/C4B的角平分線交2c于點。，

；./FAP=NEAP,

■■■AP=AP,

"PF注"PE(SAS),

：.PF=PE,

,-.\PC-PE\^\PC-PF\<CF=AC-AF^3-\=2,

故答案為：2.

18.2

答案第14頁，共22頁

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理等知

識；作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.

過點A作/尸，。尸于尸，過點C作尸E于。，根據三角形內角和定理和等量代換得到

NADF=NBEA,得到NBOC=NCEF,則N4DP=/C￡。，證明多ACEQ(AAS),得

出DP=EQ,AP=CQ,證明A/尸尸知。。尸(AAS),得出尸尸=。尸，證明

AAPF^AAQF(AAS),得出尸F(xiàn)=FG,貝!］。尸=FG,由2尸G=3EF,得出

2(EF+EQ)=3EF,推出E尸=2￡0,典］DF=DP+PF=EQ+FQ=EQ+EF+EQ=2EF,

進而求解即可.

【詳解】過點A作/尸，。尸于尸，過點C作C0,尸E于。，如圖所示：

?:ZBAF=/HAG

ZBAF-HAF=NHAG-HAF

,?"BAH=/FAG

vAHIBC,FGL.AC

??.ZBHA=ZAGF=90°

ZB=ZAFG

???ZDFA=ZAFG

???ZB=ZDFA

-ZDAF=ZDAF

???ZADF=ZBEA

/ADP=ZCEQ,

在尸和△CE。中，

NADP=NCEQ

<ZAPD=ZCQE=90°f

AD=CE

答案第15頁，共22頁

...△/￡)尸會△CEQ(AAS),

:.DP=EQ,AP=CQ9

在“尸尸和△CQ?中，

ZAPF=ZCQF=90°

<ZAFP=ZCFQ,

AP=CQ

:.AAPF^CQF(AAS)9

：.PF=QFf

在A4尸尸和尸中，

ZAPF=ZAGF=90°

<NPFA=AGFA,

AF=AF

.?.△4PF也"QF(AAS),

PF=FG,

：.QF=FG,

???2FG=3EF,

2(EF+EQ)=3EF,

EF=2EQ,

:.DF=DP+PF=EQ+FQ=EQ+EF+EQ=2EF.

DFc

------2.

EF

故答案為：2.

19.⑴NA4c=104°

(2)NBAC=4B+2ZE,證明見解析

【分析】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質；

(1)先求解NECD=ZB+ZE=68°,可得NACE=ZECD=68°,再利用三角形的外角的性

質可得結論；

(2)證明4CE=NECZ>,結合NECD=NB+NE,ABAC=AACE+AE=ZECD+ZE,

可得結論.

【詳解】(1)解：???/B=32。,NE=36。,

答案第16頁，共22頁

NECD=NB+NE=32°+36°=68°,

vEC平分//CD,

ZACE=ZECD=68°,

ABAC=//CE+/E=68°+36°=104°；

(2)解：NBAC=2B+2NE,理由如下：

EC平分NACD,

ZACE=ZECD,

又?;NECD=NB+NE,

ZBAC=NACE+NE=ZECD+NE

=ZB+ZE+ZE

=/B+2NE,

即ABAC=NB+2ZE.

20.(1)條件①②，結論③(或條件①③，結論②；或條件②③，結論①)，理由見解析

(2)2.5

【分析】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定

與性質是解題關鍵.

(1)補充條件是①②，結論是③，理由：先根據平行線的性質可得NB/C=NECD,再利

用SAS定理證出△NBC四△CED,根據全等三角形的性質即可得；補充條件①③，結論

②，理由：先根據平行線的性質可得NA4C=NECZ),再利用ASA定理證出

△4BC當MED,根據全等三角形的性質即可得；補充條件②③，結論①，理由：先根據

平行線的性質可得N8/C=NEC。，再利用AAS定理證出之△CEO,根據全等三角形

的性質即可得；

(2)先求出CE=/8=6,再根據=求解即可得.

【詳解】(1)解：補充條件是①②，結論是③，理由如下：

■.■AB//CD,

ABAC=NECD,

在公4BC和△CED中，

AB=CE

<NBAC=NECD,

AC=CD

答案第17頁，共22頁

.?.△/5C也△CEO(SAS),

???NB=/E.

補充條件①③，結論②，理由如下：

???AB//CD,

??.ABAC=ZECD,

在△/3C和△CEZ)中，

ZB=NE

<AB=CE,

NBAC=NECD

???△4BCdCED(ASA),

AC=CD.

補充條件②③，結論①，理由如下：

???AB//CD,

ABAC=ZECD,

在和△CEQ中，

ZB=NE

<NBAC=NECD,

AC=CD

MABC-CED(AAS),

??.AB=CE.

(2)解：???在(1)的三種情況下均有45=C￡,

CE=AB=6,

-CA=3.5,

???AE=CE-CA=2.5.

21.(1)見解析

(2)15°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，角平分線的性質和角的運算，熟練掌握

全等三角形的性質和判定是解題得關鍵.

(1)先求出=再根據ASA判定三角形全等即可；

答案第18頁，共22頁

(2)由△/8C之△COE,得48C=ND=60。，可求得NB4c=30。，由E4平分NCED,

求得NE4C=45。，根據角的和差計算即可求解.

【詳解】(1)解：(1)因為/8_LCD,

所以NE4C+44c尸=90°.

因為乙1C5=9O。，

所以ZDCB+ZACF=90°,

所以/F4C=/DCB,

ABAC=NDCE

在△4BC和ACDE中，\AC=CE,

ZACB=ZCED

所以A48c也ACDE(ASA).

(2)解：因為△4BC0ACDE,

所以/48C=/D=60。，

所以/A4C=30。，

因為E/平分NCED,所以N4EC=，NC￡O=45。，

2

所以ZEAC=90°-ZAEC=45°,

所以NEAB=NEAC-ABAC=45°-30°=15°.

22.⑴見解析

(2)3

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關

鍵：

(1)平行，得到ND=NCFE,NC=NDBE,中點，得到CE=8E,利用AAS,證明

△5DE段△CbE即可；

(2)全等三角形的性質，得到C/=80=2,進而得到/C=3,證明A/EC絲A/E8,得至1J

AB=AC即可.

【詳解】(1)證明：???5O〃ZC,

/D=/CFE,ZC=/DBE,

?也是5C的中點，

CE=BE,

答案第19頁，共22頁

.?.△5D￡%WE(AAS)；

(2)由(1)知：△8Z)￡0ACFE(AAS),

：.CF=BD=2,

：,AC=AF+CF=3,

???AE1.BC,

??.ZAEC=ZAEB=90°,

???AE=AE,BE=CE,

.??^AEC=^AEB,

AB