高等數(shù)學(xué)一試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(0\)4.\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)5.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(4x\)8.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)的值為（）A.\(e\)B.\(e^{-1}\)C.1D.09.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)10.定積分\(\int_{0}^{1}1dx\)的值是（）A.0B.1C.2D.\(\frac{1}{2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的等價條件有（）A.函數(shù)在該點連續(xù)B.左右導(dǎo)數(shù)存在且相等C.函數(shù)在該點有切線D.函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)極限存在4.下列積分計算正確的有（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)5.以下哪些是無窮小量（）A.\(\lim\limits_{x\to0}x\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\sinx\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}e^{-x}\)6.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極值點可能是（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)7.下列說法正確的是（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微8.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)用到的性質(zhì)有（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）9.函數(shù)\(y=\lnx\)具有的性質(zhì)有（）A.定義域為\((0,+\infty)\)B.是單調(diào)遞增函數(shù)C.圖像過點\((1,0)\)D.二階導(dǎo)數(shù)為\(-\frac{1}{x^2}\)10.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)，只要\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)與\(\lim\limits_{x\toa}g(x)\)都存在。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）4.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。（）5.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f'(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）6.無窮小量與無窮大量的乘積一定是無窮小量。（）7.函數(shù)\(y=x^4\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=4x^3\)。（）8.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）9.函數(shù)\(y=e^{x+1}\)的導(dǎo)數(shù)是\(e^{x+1}\)。（）10.若\(f(x)\)在\(x_0\)處極限存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-2x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，對\(y=x^3-2x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-4x\)。2.計算\(\int(2x+3)dx\)。-答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\int(2x+3)dx=2\intxdx+3\int1dx=2\times\frac{1}{2}x^2+3x+C=x^2+3x+C\)。3.求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。-答案：對分子因式分解\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。4.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的定義是什么？-答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就稱函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的單調(diào)性與極值。-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=2\)為極小值點，極小值為\(y(2)=-1\)。2.談?wù)劧ǚe分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：不定積分是原函數(shù)的全體，定積分是一個數(shù)值，牛頓-萊布尼茨公式將二者聯(lián)系起來，\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是具體數(shù)值，且定積分有積分上下限。3.舉例說明無窮小量的性質(zhì)。-答案：性質(zhì)如有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。例如當(dāng)\(x\to0\)時，\(x\)和\(x^2\)都是無窮小量，\(x+x^2\)，\(x-x^2\)，\(x\cdotx^2\)在\(x\to0\)時也都是無窮小量。4.如何判斷函數(shù)在某點處是否可導(dǎo)？-答案：可通過定義判斷，即\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)是否存在。也可看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等，還可結(jié)合函數(shù)圖像在該點是否光滑無尖點、斷點等來輔助判斷。答案