PAGEPAGE1湖水的自我凈化問(wèn)題摘要本題是一容積為的大湖受到某種物質(zhì)污染，從某時(shí)刻起污染源被切斷，湖水開(kāi)始更新，更新速率為，建立求污染物濃度下降至原來(lái)的需要多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。解決本問(wèn)題需要用到微元法的思想，也就是在很小的時(shí)間內(nèi)流出的湖水污染物濃度不變，然后利用湖水污染物的變化量等于流出湖水的污染量建立等式關(guān)系，對(duì)該等式求導(dǎo)后得出一個(gè)微分方程，利用Matlab中dsolve函數(shù)解該微分方程，求得污染物濃度下降至原來(lái)的所需時(shí)間為天。本模型涉及到解微分方程，所以模型的應(yīng)用很廣泛，可以應(yīng)用到動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題中，利用該模型可以解決大量實(shí)際生活和生產(chǎn)問(wèn)題。關(guān)鍵詞：微元法；微分方程；動(dòng)態(tài)分析；Matlab

一、問(wèn)題重述1.1背景資料與條件有一容積為（單位：）的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻的分布在湖中。若從某時(shí)刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是（單位：）。試建立求污染物濃度下降至原來(lái)的需要多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。1.2需要解決的問(wèn)題在湖的容積為，湖水更新速率為的條件下，求污染終止后，污染物下降到原來(lái)的所需的時(shí)間。二、基本假設(shè)2.1模型的假設(shè)假設(shè)一：湖水保持體積不變。假設(shè)二：污染物始終均勻的分布在湖中。（假設(shè)合理性見(jiàn)背景資料與條件。）假設(shè)三：在很小的時(shí)間內(nèi)污染物濃度不變。（微元法思想）2.2本文引用數(shù)據(jù)、資料均真實(shí)可靠。三、符號(hào)說(shuō)明3.1模型的符號(hào)說(shuō)明A:B:C:為污染源切斷后湖水更新的時(shí)間(單位：天)。四、模型的建立與求解4.1模型的建立從開(kāi)始到天內(nèi)湖水含污染物改變量為：由于流入湖中的水沒(méi)有污染物，所以天內(nèi)更新流出污染物量為：利用湖水污染物的變化量=流出湖水的污染量得：對(duì)求導(dǎo)得微分方程為：8.2.2模型的缺點(diǎn)由于實(shí)際結(jié)果不好求得，故不好進(jìn)行誤差分析，這是本模型的主要缺點(diǎn)。因?yàn)椴缓眠M(jìn)行誤差分析，所以也就不知道所求得的結(jié)果的好壞，進(jìn)一步來(lái)講也就不清楚所建立的模型的好壞，對(duì)模型的評(píng)價(jià)就不好進(jìn)行。8.3模型的優(yōu)化因?yàn)槟Ｐ痛嬖谏崛胝`差，要想求得的結(jié)果精確，使得模型有意義，那么數(shù)字的選取就要特別注意，數(shù)據(jù)精度就要高，要選取精度較高的數(shù)據(jù)，這樣得出的結(jié)果就精確，模型也就得到優(yōu)化。參考文獻(xiàn)[1]趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2008.[2]胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程(第三版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.[3]白峰杉.數(shù)值計(jì)算引論[M].北京：高等教育出版社，2010.[4]陳冬彥，李冬梅，王樹(shù)忠.數(shù)學(xué)建模[M].北京：科學(xué)出版社，2007.[5]蕭數(shù)鐵.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社，1999.附錄Ask1.mw=dsolve('Dw=-r*w/V','t')Ask2.mr=4.121*10^10;V=5.176*10^12;t=-V*log(0.03)/rAsk3.mr=4.121*10^10;V=5.176*10^12;w=100;t=0:1000;w=exp(-r/