第16課時二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)夯實

1.(2024.石家莊模擬)已知二次函數(shù)y=2(x/)(xd+3)的圖象與其向上平移m個單位所得的圖象都

與x軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則機的值為()

A.2B.3

C.4D.5

2.(2024.石家莊模擬)如圖，點A,3的坐標(biāo)分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x-m)2+n的頂點在線段A3

上運動，與x軸交于C,D兩點(C在D的左側(cè)).

(1>=-

(2)若點C的橫坐標(biāo)最小值為-3,則點D的橫坐標(biāo)最大值為.

3.(2024.通遼)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-|x+3與x軸,y軸分別交于點C,。,拋物線尸?

2)2+k(k為常數(shù))經(jīng)過點。且交x軸于A,B兩點.

(1)求拋物線表示的函數(shù)解析式.

(2)若點P為拋物線的頂點，連接ADQRCP,求四邊形ACPD的面積.

4.(2024?邯鄲邯山區(qū)二模)如圖,RtZXABC中,/氏4。=90。4(1,2),點3(4,2),NA3C=30。,拋物線L:y=

-1-冉*/>0)的頂點為M與y軸的交點為N.

⑴拋物線有可能經(jīng)過點A嗎?請說明理由.

⑵設(shè)點N的縱坐標(biāo)為期,直接寫出處與t的函數(shù)關(guān)系式，并求處的最大值.

（3）在L的位置隨t的值變化而變化的過程中，直接寫出點〃在AABC內(nèi)部所經(jīng)過路線的長.

能力提升

1.（2024.衡水桃城區(qū)二模）如圖是某山坡的截面示意圖，坡頂距x軸（水平）5m,與y軸交于點P,

與坡A3交于點A,且AP=2,坡A3可以近似看作雙曲線丁。的一部分.坡3?？梢越瓶醋鲯佄锞€

L的一部分，且拋物線L與拋物線產(chǎn)#的形狀相同,兩坡的連接點B為拋物線L的頂點，且點B到

y軸的距離為5m.

⑴求k的值.

（2）求拋物線L的解析式及點D的坐標(biāo).

⑶若小明站在坡頂PA的點〃處，朝正前方拋出一個小球。（看成點），小球Q剛出手時位于點N處,

小球Q在運行過程中的橫坐標(biāo)X、縱坐標(biāo)y與小球出手后的時間t滿足的關(guān)系式為x=at+l,y=-

a是小球Q出手后水平向前的速度.

①若a=5,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②要使小球最終落在坡BD上（包括B,D兩點），直接寫出a的取值范圍.

y\N

27

O\~25Dx

2.(2023?常德)如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-l,0),5(5,0)兩點，與y軸交于點C,頂點為D.0為

坐標(biāo)原點,tanNAC。=|.

(1)求二次函數(shù)的解析式.

(2)求四邊形ACDB的面積.

(3)尸是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若NAC0=NP3C,求點P的坐標(biāo).

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實

1.C解析:當(dāng)y=0吐2(x-A)(x/+3)=0,

解得xi=k-3,X2=k.

，拋物線y=2(x/)(x/+3)與x軸的交點坐標(biāo)為(上3,0),(%,0),如圖,

這兩個交點之間的距離為h(h3)=3,

..?二次函數(shù)y=2(xd)(無次+3)的圖象與其向上平移m個單位所得的圖象都與x軸有兩個交點，這四個交點中每相

鄰兩點間的距離都相等，

，每相鄰兩點間的距離都為1,

平移后的拋物線與無軸的交點坐標(biāo)為&2,0),(hl,0),

平移后的拋物線解析式為y=2[x-(h2)][x-(hl)],

即y=2x2-2(2k-3)x+2/c-6k+4,

:拋物線y=2(尤團(x/+3)向上平移m個單位所得的拋物線解析式為y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+m,

.,.m=4.故選C.

2.(1)4(2)8解析:⑴、?點48的坐標(biāo)分別為(1,4)和(4,4),

...線段AB所在的直線方程為產(chǎn)4,

..,拋物線y=a(x-m)2+n的頂點(,〃,")在線段AB上運動，

n-4.

(2)：拋物線y=a(x-m)2+n的頂點在線段AB上運動，

/.當(dāng)拋物線頂點為A(l,4)時，點C的橫坐標(biāo)為最小值-3,

此時,對稱軸為直線％=1,則D點橫坐標(biāo)為5,8=8,

當(dāng)拋物線頂點為8(4,4)時,拋物線對稱軸為直線x=4,

CD=8,

.?.C(0,0),Q(8,0),

此時D點橫坐標(biāo)最大，最大值為8.

3.解:⑴在y=-|尤+3中，令x=0,得產(chǎn)3,

:拋物線y=-；(x-2)2+左經(jīng)過點0(0,3),

4

.?.3=—x(0-2)2+匕

解得k=4,

y=-：(尤-2)2+4=-#+x+3,

...拋物線表示的函數(shù)解析式為y=-￥+x+3.

⑵連接OP,如圖.

在y=-|x+3中，令y=0,得x=2,

C(2,0),OC=2,

在y=二/+x+3中，令y=0,得0=--X2+X+3,

44

解得x=6或x=-2,

AA(-2,0),OA=2,

由y=4(x-2)2+4可得拋物線的頂點P的坐標(biāo)為(2,4),

4

=S+S人+S=-x2x3+-x3x2+-x2x4=3+3+4=10.

四邊形ACPD^AAODAP0D'AOC222

四邊形ACPD的面積為10.

4.解:(1)拋物線不可能經(jīng)過點4,理由：

將點4(1,2)代入拋物線的關(guān)系式并整理得上4什5=0,

VJ=16-20<0,

此方程無解，

故拋物線不可能經(jīng)過點A.

⑵加=-21)2+1,且yN的最大值為點

⑶點M在AABC內(nèi)部所經(jīng)過路線的長為e-V2.

解析:由y==x-f)2+f,知頂點〃(口),則在L的位置隨t的值變化而變化的過程中，點M都在直線產(chǎn)x上移動，設(shè)直

線y=x交AB于點R,交BC于點G,如圖，則點R(2,2),

由點8(4,2)、/ABC=30。知，直線BC的關(guān)系式為j=-y(x-4)+2,

聯(lián)立直線BC的關(guān)系式和尸，得>*-4)+2,

解得x=V5+i,

貝IjG(V3+1,V3+1),

由點R,G的坐標(biāo)得RG=<6-V2,

點M在△ABC內(nèi)部所經(jīng)過路線的長為乃-V2.

能力提升

1.解:⑴由題意得42,5),

:雙曲線yg經(jīng)過點4(2,5),

.*2x5=10.

⑵設(shè)點B的縱坐標(biāo)為"，則B(5,M).

:點8(5,w)在雙曲線廣子上，

8(5,2).

:拋物線L與拋物線y=%的形狀相同，且頂點為2(5,2),

8

拋物線L的解析式為尸幻-5A+2,

8

令y=0,得0=1(X-5)2+2,

O

解得％1=932=1(舍去)，

???0(9,0).

(3)①當(dāng)a=5時,x=5/+l,

整理得尸￥+5+品

.1.J與X之間的函數(shù)關(guān)系式為k￥+|x+黑

②唔/喑

解析:'?"=成+1,

?

??UX-1—,

a

將《代入產(chǎn)5#+也得三5(?y+最

把2(5,2)代入尸5(等2+學(xué)得2=-5(^)2+y,

解得的士亨.

??,〃是小球。出手后水平向前的速度,

?

??a4=A/-1-0.

3

把0(9,0)代入產(chǎn)一5仁)2+學(xué)得o=_5仁?+學(xué)

解得斫土喑,

是小球Q出手后水平向前的速度,

?、八.8V130

??4＞。,?.。=----,

，13，

.1.?的取值范圍為空土三喑.

2.解:⑴：二次函數(shù)的圖象與無軸交于A(-l,0),8(5,0)兩點,

.,.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+l)(尤-5).

1

VAO=l,tanZACO^,

噎="?℃=5,即點C的坐標(biāo)為(0,5).

將點C(0,5)代入解析式，得5=0(0+l)x(0-5),解得a=-i,

二次函數(shù)的解析式為y=-(x+l>(尤-5).

(2)'.'y=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9,

頂點D的坐標(biāo)為(2,9).

如圖1,過點D作DNLAB于點NQMLOC于點M.

=：

S四邊形ACD3=SZMOC+S矩形OMDN-SZ\CZ)M+SZ^)N61X1X5+2X9-(X2X(9-5)+1X(5-2)X9=30.

圖1

(3)如圖2,是拋物線上的一點，且在第一象限，當(dāng)NAC0=NP3C時，連接P氏過點C作CELBC交BP于點瓦過

點E作EFLOC交0C的延長線于點F.

圖2

:點B(5,0),C(0,5),OC=OB=5,：.