第四章幾何圖形初步

4.3角（第1課時(shí)）（7大題型）

分層作業(yè)

題型目錄

考查題型一角的概念理解

考查題型二角的表示方法

考查題型三角的分類

考查題型四畫特殊角

考查題型五鐘面角度

考查題型六方向角的表示

考查題型七與方向角有關(guān)的計(jì)算

羔基礎(chǔ)過關(guān)練

考查題型一角的概念理解

1.（2324上.全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）下列圖形中，能表示/ABC的是（

A.A

B

【答案】C

【分析】根據(jù)角的定義和角的表示方法解答即可.

【詳解】解：A.是兩條直線，不是角，本選項(xiàng)不符合題意；

B.表示—C鉆或—5AC,本選項(xiàng)不符合題意；

C.表示，ABC,本選項(xiàng)符合題意；

D.表示NACB或NBC4,本選項(xiàng)不符合題意，

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義和角的表示方法，解題的關(guān)鍵是掌握角的概念.

2.（2223下?全國(guó)?課堂例題）圖中角的個(gè)數(shù)是（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解.

【詳解】解：圖中屬于角的有：ZAOB,ZAOC,ZAOD,ZBOC,ZBOD,ZCOD；共6個(gè);

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握角的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2324上.全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的有個(gè)

①小于90。的角是銳角；

②等于90。的角是直角；

③大于90。的角是鈍角；

④平角等于180。；

⑤周角等于360。.

【答案】3

【分析】根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義即可判斷.

【詳解】解：①小于90。的角也可能是0。，不一定是銳角，原說法錯(cuò)誤；

②等于90。的角是直角，說法正確；

③平角大于90。但不是鈍角，原說法錯(cuò)誤；

④平角等于180。，說法正確；

⑤周角等于360。，說法正確，

故正確有3個(gè)，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義,屬于基礎(chǔ)題，掌握相應(yīng)的定義是解答

本題的關(guān)鍵.實(shí)際解答時(shí)，要學(xué)會(huì)舉反例.

4.（2324上.全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）歸納與猜想：

（1）觀察上圖填空：圖1中有個(gè)__________角；圖2中有__________個(gè)角；圖3中有__________個(gè)角；

（2）根據(jù)（1）題猜想：在一個(gè)角內(nèi)引（"-2）條射線可組成______一個(gè)角.

2/左

圖1圖2圖3

3610

2

【分析】根據(jù)角的定義，固定一條射線，剩余射線的條數(shù)即為可以與這條固定射線組成的角的個(gè)數(shù).

圖1圖2圖3

如圖1所示，射線。4可以與射線03,OC組成2個(gè)角，射線可以與射線OC組成1個(gè)角，所以圖1中共

有3個(gè)角.

如圖2所示，射線。4可以與射線0C,0。組成3個(gè)角，射線可以與射線OC,組成2個(gè)角，

射線OC可以與射線0。組成1個(gè)角，所以圖2中共有6個(gè)角.

如圖3所示，射線。4可以與射線03,OC,0D,0E組成4個(gè)角，射線03可以與射線OC,0D,0E

組成3個(gè)角，射線OC可以與射線0E組成2個(gè)角，射線0?？梢耘c射線0E組成1個(gè)角，所以圖3中

共有10個(gè)角.

在一個(gè)角內(nèi)引(〃-2)條射線，則共有〃條射線，可以組成的角的個(gè)數(shù)

=(/i-l)+(n-2)+?-…+3+2+1="(7).

故答案為：3,6,10,出二D.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，牢記角的定義(有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角)是解題的關(guān)

鍵.

5.(2324上?全國(guó)?課堂例題)觀察圖，完成下列問題：

二二

0^^—A0%A

①②

(1)如圖①，NAO3內(nèi)部有一條射線OC,則圖中有一個(gè)角；

(2)如圖②，/AO3內(nèi)部有兩條射線OC,OD,則圖中有一________個(gè)角;

(3)如果/AOB內(nèi)部有10條射線，那么圖中有_____________一個(gè)角.

【答案】⑴3

(2)6

(3)66

【分析】(1)根據(jù)圖①直接數(shù)出即可;

(2)根據(jù)圖②直接數(shù)出即可；

（3）在圖②的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在內(nèi)部畫w條

射線時(shí)角的個(gè)數(shù).

【詳解】（1）解：圖①中有NAOC,NBOC,共3個(gè)，

故答案為：3.

（2）解:在NAOB內(nèi)部畫2條射線OC,0。，則圖中有ZAOC、ZAOD、ZAOB、NCOD、ZCOB、/D0B,

共1+2+3=6個(gè)不同的角；

故答案為：6.

（3）解：按逆時(shí)針方向，以射線Q4為角的始邊，則題圖①中分別以射線OC03為角的終邊共有兩個(gè)角：

/AOC,-493；以射線OC為始邊，射線0B為終邊有一個(gè)角：NCOB,所以題圖①中角的個(gè)數(shù)是3=2+1；

同理，題圖②中角的個(gè)數(shù)是6=3+2+1；

經(jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)角內(nèi)部射線的條數(shù)總比第一個(gè)加數(shù)小1,

...當(dāng)N49B內(nèi)部有10條射線時(shí)，角的個(gè)數(shù)是：11+10+…+3+2+1="*（"+1）=66.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識(shí)以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是

解答的關(guān)鍵.

考查題型二角的表示方法

1.（2223下?泰安?期中）如圖，下列說法正確的是（）

A.Z1=Z2B.圖中只有兩個(gè)角，即N1和N2

C.N2與2493表示同一個(gè)角D.N1與/BOC表示同一個(gè)角

【答案】D

【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)這個(gè)角可以用頂點(diǎn)字母來表示，由此

可得結(jié)論.

【詳解】解：A.N1與/2不一定相等，該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故符合題意；

B.圖中有三個(gè)角，分別為N1、-2和-AO3,該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故不符合題意；

C./2與-49C表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)原說法錯(cuò)誤，故不符合題意；

D.N1與25O。表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵.

2.（2223上?商丘?期末）下列表示圖中角的方法不正確的是（）

C.Z1D.ZAOC

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示的方法，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

表示圖中角的方法不正確的是：N。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的表示方法，①三個(gè)大寫英文字母表示法：用角的兩邊上的兩個(gè)大寫字母和頂

點(diǎn)的字母表示角，②頂點(diǎn)字母表示法：當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，也可以只用頂點(diǎn)的字母表■示角，③阿

拉伯?dāng)?shù)字表示法：在角的頂點(diǎn)處加上弧線標(biāo)上數(shù)字，就可以用這個(gè)數(shù)字來表示角，④希臘字母表示法：在

角的頂點(diǎn)處加上弧線標(biāo)上小寫希臘字母（名￡，7等），就可以用這個(gè)小寫希臘字母來表示角，熟練掌握表

示方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2324上.全國(guó)?課堂例題）將圖中的角用不同方法表示出來，填寫下表：

DACE

Z1Z3Z4/a

ZABCZBCA

【答案】NFCE,Z5,ZBAC,ZDAB,Z2,ZABF.

【分析】根據(jù)角的表示即可得.

【詳解】解：

Z1Z5Z3Z4Z2Aa

ZFCE/ABCZBACNDABZBCAZABF

故答案為：ZFCE,Z5,ZBAC,NDAB/2,ZABF.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的表示，解題的關(guān)鍵是掌握角的表示.

4.(2324.全國(guó).專題練習(xí))將圖中的角用不同的方法表示出來，并填寫下表:

Z1Z3—Z4—

——NADC一ZABC

萬杰朝陽(yáng)學(xué)校上午第二節(jié)課的下課時(shí)間是9：40,此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是。.

【答案】Z2NBZDACZECFZAEC50

【分析】根據(jù)角的表示方法結(jié)合圖中角的位置可得到①⑤；根據(jù)鐘表上，一大格是30。求解⑥即可.

【詳解】解：根據(jù)圖形，填表如下：

Z1Z3Z2Z4NB

ZDAC/ECFZADCNAECZABC

萬杰朝陽(yáng)學(xué)校上午第二節(jié)課的下課時(shí)間是9：40,止匕時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30。+三義30。=50。,

60

故答案為：Z2,ZB,ZDAC,ZECF,/AEC,50.

【點(diǎn)睛】本題考查角的表示、鐘面角，熟知角的表示方法和鐘面上一大格是30。是解答的關(guān)鍵.

5.(2324上.全國(guó)?課時(shí)練習(xí))根據(jù)圖示，完成以下各題

(1)寫出圖中能用一個(gè)字母表示的角；

(2)寫出圖中以A為頂點(diǎn)小于平角的角；

(3)圖中小于平角的角共有幾個(gè)？請(qǐng)寫出來

【答案】(1)/3，/D

(2)5個(gè)：ZBAD,ZBAC,ZDAC,ZCAE,/DAE

(3)10個(gè)：NBAD,ZBAC,NDAC,/CAE,NDAE,ZD,ZACD,ZACB,ZBCD,NB

【分析】（1）根據(jù)角的表示方法解答；

（2）根據(jù)角的定義解答；

（3）根據(jù)角的定義解答.

【詳解】（1）能用一個(gè)字母表示的角有2個(gè)：/B,/D

（2）以A為頂點(diǎn)小于平角的角有5個(gè)：/BAD,/BAC,ZDAC,/CAE,NDAE；

（3）圖中小于平角的所有的角有10個(gè)：/BAD,/BAC,ZDAC,ZCAE,^DAE,ND,ZACD,

ZACB,NBCD,ZB.

【點(diǎn)睛】此題考查了角的定義及角的表示方法，正確掌握角的定義及表示方法是解題的關(guān)鍵.

考查題型三角的分類

1.（2324上.全國(guó).課時(shí)練習(xí)）下列各角中，是鈍角的是（）

152

A.7周角B.二平角C.2銳角D.二直角

463

【答案】B

【分析】根據(jù)周角、平角、直角的度數(shù)計(jì)算出各角，再根據(jù)鈍角定義判定即可.

【詳解】解：A、:周角=。、360。=90。是直角，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、之平角=。*180。=150。是鈍角，故此選項(xiàng)符合題意；

66

C、；0?！翠J角＜90°,當(dāng)0°〈銳角＜45。時(shí)，0°＜2銳角＜90。，2銳角是銳角；當(dāng)銳角=45。時(shí)，2銳角=90。,

2銳角是直角；當(dāng)45。（銳角＜90。時(shí)，90。＜2銳角＜180。，2銳角是鈍角；故此選項(xiàng)不符合題意；

D、???；22直角=$90。=60。是銳角，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，熟練掌握大于90度且小于180度的角叫鈍角是解題的關(guān)鍵.

2.（2223上?寧波?期末）已知a,夕都是鈍角，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計(jì)算。（a+0的結(jié)果依次是26。,

O

50°,72°,90°,其中有一名同學(xué)計(jì)算正確.這名同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】先根據(jù)a,6都是鈍角求出+0的取值范圍，再看哪個(gè)同學(xué)所求結(jié)果在范圍內(nèi)即可.

O

【詳解】?:a,￡都是鈍角,

???90。+90。＜2+分＜180。+180°,

即180。＜。+分＜360。，

30°<|(a+/?)<60°,

在甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的計(jì)算結(jié)果中，只有乙同學(xué)的結(jié)果在范圍內(nèi)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了鈍角的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)鈍角的取值范圍求出90。+90。<。+￡<180。+180。.

3.(2324上?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)):周角=_____平角=______直角.

【答案】1/0.51

【分析】根據(jù)周角、平角、直角的定義可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，

二：周角=；平角=：直角，

故答案為：y,1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查周角和平角.直角的定義，是需要熟記的內(nèi)容

4.(2223上?全國(guó)?專題練習(xí))角可以分為、、________三類.

【答案】鈍角直角銳角

【分析】根據(jù)角的分類解答即可.

【詳解】解：由題意可知：角可以分成鈍角，直角和銳角.

故答案為：鈍角，直角，銳角

【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，解題的關(guān)鍵是理解角的分類.

5.(2324上.全國(guó)?課堂例題)如圖所示，回答下列問題：

(1)寫出能用一個(gè)字母表示的角：

(2)寫出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角；

(3)圖中共有個(gè)小于平角的角.

【答案】(l)NANC

⑵NABE,NEBC,NABC

(3)7

【分析】（1）確定以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有1個(gè)，從而可得答案；

（2）根據(jù)角的定義分別確定以8為頂點(diǎn)的角即可；

（3）分別確定以A,B,C,E為頂點(diǎn)的小于平角的角即可.

【詳解】（1）解：能用一個(gè)字母表示的角有：/A，NC.

故答案為：NA,NC.

（2）以B為頂點(diǎn)的角有：/ABE,ZABC,NEBC.

故答案為：/ABE,ZABC,ZEBC.

（3）圖中共有7個(gè)小于平角的角，分別是：

ZABE,ZABC,NEBC,NA,ZC,ZBEA,ZBEC.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關(guān)鍵.

考查題型四畫特殊角

1.（2122上?盤錦?期末）借助一副三角尺畫出15。角和105。角.

【答案】畫圖見解析

【分析】由105?45?60勘5=45?30?,再利用三角板畫105鞫5即可.

【詳解】解：如圖，畫出15。角和105。角如下:

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，掌握“利用三角板畫特殊角的方法”是解本題的關(guān)鍵.

2.（2122上?上饒?期末）下面方格圖形中的小方格都是小正方形，用無刻度直尺按要求作圖:

（1）延長(zhǎng)線段A8至C,使AC=3A&

⑵作NB4c=45°.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）利用網(wǎng)格特征解決問題即可，注意有兩種情形.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.（1920下?全國(guó)?單元測(cè)試）按照下列要求作圖：

（1）畫線段AB=40mm；

（2）以A為頂點(diǎn)，AB為一邊,畫/區(qū)4〃=60。；

（3）以3為頂點(diǎn)，54為一邊，在的同側(cè)畫ZABN=30。，AM與3N相交于點(diǎn)C；

（4）取AB的中點(diǎn)G,連接CG.

【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）畫圖見解析；（4）畫圖見解析；

【分析】（1）禾!］用直尺畫線段AB=40mm；

（2）利用量角器以A為頂點(diǎn)，AB為一邊，畫/BAM=60。；

（3）利用量角器以B為頂點(diǎn)，BA為一邊，在/BAM的同側(cè)畫NABN=30。，AM與BN相交于點(diǎn)C；

(4)利用直尺畫線段AG=GB=20利〃.

【詳解】解：(1)如圖，畫AB=40mm,

(2)如圖，以A為頂點(diǎn)，AB為一邊，畫NA4〃=60。，

(3)如圖，以B為頂點(diǎn)，BA為一邊，在/BAM的同側(cè)畫/ABN=30。，AM與BN相交于點(diǎn)C,

(4)如圖，在線段上，畫AG=20mm,連接CG

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用作圖工具熟練進(jìn)行作圖，考查了線段的中點(diǎn)的含義，掌握三角尺與量角器的使

用是解題的關(guān)鍵.

4.(2L22上?全國(guó)?專題練習(xí))(2019?山東青島市?七年級(jí)期中)作圖題：已知：/a、/￡、求作：ZAOB,

使NAOB=Na+/￡

【答案】作圖見解析

【分析】利用量角器作/AOC=Na,在NAOC外以。C為邊作所以用，即為所

求作的角.

【詳解】如圖所示：(1)作/AOC=/a,

(2)在/AOC外以0c為邊作/C08=N￡,

則NAOB即為所求作的角.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用量角器作角，準(zhǔn)確分析作圖是解題的關(guān)鍵.

5.(2021上?玉林?期末)如圖，已知ZMON,按下列要求畫圖.

(1)在/MON的內(nèi)部畫射線OP；

(2)畫NMO。，使ON在NMO。的內(nèi)部；

(3)在完成(1)、(2)后，圖中共個(gè)角，并寫角的名稱.

N

OM

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)6；NMOP、AMON.NMOQ、4PON、乙?。。、ZNOQ

【分析】(1)根據(jù)射線的定義即可作圖OP;

(2)根據(jù)角的定義即可作圖NMO。；

(3)根據(jù)角的定義，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形即可求解.

【詳解】解：(1)如圖，射線OP為所作；

(2)如圖，NMOQ為所作；

(3)圖中共有6個(gè)角，它們?yōu)镹MOP,AMON,Z.MOQ,ZPON,NPOQ,ZNOQ.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角的定義及作圖，解題的關(guān)鍵是熟知角的構(gòu)成及定義.

考查題型五鐘面角度

1.(2223上?蘭州?期末)當(dāng)時(shí)鐘是3:30時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是()

A.75°B.105°C.85°D.70°

【答案】A

【分析】因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30。，找出3:30時(shí)針和分針之間相

差的大格數(shù)，用大格數(shù)乘30。即可.

【詳解】

解：3:30時(shí)，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格.

?.?鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30。，

；.3:30時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是2.5x30。=75。.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角.用到的知識(shí)點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的

夾角為30。.

2.（22.23下?東營(yíng)?階段練習(xí)）上午&40是第一節(jié)課的下課時(shí)間，這時(shí)鐘表上時(shí)針和分針之間的夾角是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】8點(diǎn)40分時(shí)，分針指向數(shù)字8,時(shí)針與數(shù)字8的夾角即為時(shí)針在40分鐘內(nèi)走的度數(shù)，根據(jù)時(shí)針

一分鐘轉(zhuǎn)0.5。，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：40x0.5°=20°,

此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是20。，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30。，時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)0.5。是解題的關(guān)鍵.

3.（2L22下.哈爾濱.周測(cè)）新型冠狀病毒疫情期間，同學(xué)們參加線上課學(xué)習(xí)，第一節(jié)課上課時(shí)間是上午9

點(diǎn)，此時(shí)分針和時(shí)針的夾角（小于180。的角）是.

【答案】90。/90度

【分析】根據(jù)鐘面分12格，每格是30。，9到12是3格，即可獲得答案.

【詳解】解：上午9點(diǎn)時(shí)，分針指向12,時(shí)針指向9,

鐘面分12格，每格是30。，9到12是3格，

所以分針和時(shí)針的夾角是90。.

故答案為:90°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

4.（2223上?綏化?期中）（1）6時(shí)整，鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是.

（2）8時(shí)整，鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是.

（3）8點(diǎn)30分，鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是.

【答案】1800/180度1200/120度75°/75度

【分析】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份的度數(shù)，根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得

答案.

【詳解】解：（1）6時(shí)整，鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是6x3（r=180。，

（2）8時(shí)整,鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是30。*4=120。,

（3）8點(diǎn)30分，鐘表時(shí)針和分針構(gòu)成的角度是30。、2=75°,

2

故答案為：180。，120°,75°.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，利用了時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù).

5.（2223上?惠州?階段練習(xí)）如圖①、圖②兩個(gè)鐘表表示的時(shí)間分別為12:20,6:50.

⑴寫出N1和N2的度數(shù)，并比較兩個(gè)角的大??；

（2）在0時(shí)到12時(shí)之間，寫出一個(gè)時(shí)間，使時(shí)針、分針?biāo)鶌A的度數(shù)與N1的度數(shù)相等.

【答案】（1）/1=110°,Z2=95°,Z1>Z2

（2）11:40.（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)分針1分鐘走6。，時(shí)針1分鐘走0.5。進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)（1）寫出結(jié)合鐘面角的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：：分針1分鐘走6。，時(shí)針1分鐘走0.5。,

/I=20x6。—20x0.5°=110。，Z2=50x6°-180°-50x0.5°=95°,

/</2；

（2）解：11:00時(shí)的時(shí)候時(shí)針與分針的夾角為20。，40分鐘后，分針指向數(shù)字8,則此時(shí)時(shí)針與分針的夾

角為30°x3+0.5°x40=110°,

??.11:40時(shí)，時(shí)針、分針?biāo)鶌A的度數(shù)與N1的度數(shù)相等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角的計(jì)算，熟知分針1分鐘走6。，時(shí)針1分鐘走0.5。是解題的關(guān)鍵.

考查題型六方向角的表示

1.（22?23下?宿州?期中）一艘輪船在大海上航行，觀測(cè)到燈塔在南偏西20。方向，則燈塔觀測(cè)輪船在（）

A.南偏西20。方向B.南偏東20。方向C.北偏西20。方向D.北偏東20。方向

【答案】D

【分析】根據(jù)方向角的定義畫出相應(yīng)的圖形即可.

【詳解】解：如圖，燈塔在船的南偏西20。方向，則船在燈塔的北偏東20。，

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，理解方向角的定義，畫出相應(yīng)的圖形是正確解答的前提.

10.（2324上?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）如圖，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

北

A.的方向是北偏東70。B.的方向是北偏西75。

c.OC的方向是南偏西30°D.QD的方向是東南方向

【答案】B

【分析】利用方向角的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.的方向是北偏東90。-20。=70。，正確，故此選項(xiàng)不答合題意；

B.的方向是北偏西90。-75。=15。，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；

C.OC的方向是南偏西30。，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.0。的方向是南偏東45。，即東南方向，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，理解方向角的概念以及角的和差關(guān)系是正確判斷的前提.

2.（2223上?綏化?期末）如果公園在廣場(chǎng)的東偏北40。方向上，距離是600m,那么廣場(chǎng)在公園的（）

方向上，距離是（）m.

【答案】西偏南40°600

【分析】根據(jù)位置和方向的相對(duì)性判斷即可.

【詳解】解：公園在廣場(chǎng)的東偏北40。方向上，距離是600m,

那么廣場(chǎng)在公園的西偏南40。方向上，距離是600m,

故答案為：西偏南40。，600.

【點(diǎn)睛】本題考查了位置和方向，解題的關(guān)鍵是掌握相對(duì)性：方向相反，角度相同，距離相等.

3.（2223下?武漢?期中）如圖，上午8時(shí)，一艘船從海港A出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度駛向北偏東60。

方向的小島2,10時(shí)整到達(dá)小島股則從小島B看海港A的位置，用方位角和距離表示為.

北

【答案】南偏西60。，距離是40海里

【分析】方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90。的角，由此即可解決問題.

【詳解】解：：上午8時(shí)，船從海港A出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度駛向北偏東60。方向的小島8,10

時(shí)整到達(dá)小島B,

：.A與B的距離是20x2=40海里，

從小島8看海港A的位置，用方位角和距離表示為：南偏西60。，距離是40海里.

故答案為：南偏西60。，距離是40海里.

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，關(guān)鍵是掌握方向角的定義.

4.（2122上?雞西?期末）（1）荷花池在噴泉的東偏北40。的方向上，這是以_____為觀測(cè)點(diǎn).

（2）麗麗家在學(xué)校東偏北。方向，距離是400m.

玲玲家在學(xué)校西偏北。方向，距離是400m.

芳芳家在學(xué)校偏南25。方向，距離是300m.

【答案】（1）噴泉（2）40,40,東

【分析】（1）根據(jù)荷花池在噴泉的東偏北40。的方向上即可得到答案；

（2）分別根據(jù)麗麗家、玲玲家、芳芳家以學(xué)校為觀測(cè)點(diǎn)的方向角和距離進(jìn)行回答即可.

【詳解】解：（1）“荷花池在噴泉的東偏北40。的方向上”，是以噴泉為觀測(cè)點(diǎn)；

故答案為：噴泉

（2）由圖可知：麗麗家在學(xué)校東偏北40。的方向上，距離是400m.

玲玲家在學(xué)校西偏北40。的方向上，距離是400m.

芳芳家在學(xué)校東偏南25。方向，距離是300m.

故答案為：40,40,東

【點(diǎn)睛】本題考查用方向角和距離確定物體的位置.掌握方位角的表示法是解題關(guān)鍵.

考查題型七與方向角有關(guān)的計(jì)算

1.（2122上?臨汾?期末）如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東60。方向走至點(diǎn)8,乙從A點(diǎn)出發(fā)向南偏西25。方向

走至C,則/8AC的度數(shù)是（）

B.115°C.135°D.145°

【答案】D

【分析】根據(jù)N54C=NA4F+NE4E+NE4C,即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，ZBAC=ZBAF+ZFAE+ZEAC=90°-60°+25°+90°=145°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的計(jì)算，熟練掌握方位角的表示方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2223上?遵義?期末）如圖，的方向是北偏西25。，08的方向是南偏東25。，OC的方向是東北方向,

則下列所給結(jié)論中不正確的是（）

A./2=N3B.Zl+Z4=90°C.Z1=Z2D.ZBOC=110°

【答案】C

【分析】根據(jù)方向角得出Nl=25。，/2=/3=45。，Z4=65°,然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：3的方向是北偏西25。，的方向是南偏東25。，OC的方向是東北方向，

4=25。，Z4=90°-25°=65°,Z2=Z3=45°,

/.Z1+Z4=25°+65°=90°,NlwN2,

ZB<9C=Z3+Z4=45o+65o=110°,故ABD正確，不符合題意，C錯(cuò)誤，符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方向角定義得出4=25。，N2=N3=45。，

Z4=65°.

3.（2223上盤錦?期末）如圖，的方向是西南方向，OB的方向是南偏東15。，若NC03=/A03,貝ijOC

的方向表示為.

北

南

【答案】南偏東75°

【分析】求出的度數(shù)，可得到OC與正南方向的夾角，據(jù)此求解即可得到答案.

【詳解】解：ZAO5=45°+15°=60°,

則NCO3=4403=60。，

OC與正南方向的夾角是60。+15。=75。，

則OC在南偏東75。.

故答案為：南偏東75。.

【點(diǎn)睛】此題考查了方位角的計(jì)算，正確理解方位角的表示方法及計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4.（2021下?靜安?期中）小杰從A地出發(fā)向北偏東60。方向走了10米到達(dá)2地，再?gòu)?地向南偏西25。方

向走了5米到達(dá)C點(diǎn)，則ZABC=.

【答案】35。/35度

【分析】根據(jù)題意畫出圖形如圖，可得/￡AB=NABD=60o,/D3C=25。，再根據(jù)角的和差求解即可.

【詳解】解：如圖所示，由題意可得：ZE4B=ZABD=60°,ZDBC=25°,

ZABC=ZABD-NDBC=35°.

故答案為：35°

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，正確理解題意、畫出相應(yīng)的圖形是關(guān)鍵.

5.（2223上?榆林?階段練習(xí)）如圖，射線0B表示的方向是北偏東76。，射線OC表示的方向是北偏西46。,

射線。4在射線和射線0C之間，且NAOB=32。.求/AOC的度數(shù).

【答案】90°

【分析】根據(jù)方向角的定義得到4QN=76。，NCON=46°,再求出/30C,根據(jù)角的和差計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可得：NBQN=76。，ZCON=46°,

：.ZBOC=ZBON+ZCON=122°,

又：ZAOB=32°,

ZAOC=ZBOC-ZAOB=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，理解方向角的定義以及角的和差關(guān)系是正確解答的前提.

一、單選題

1.（2223上?崇左?期末）下列說法中正確的是（）

A.兩條射線組成的圖形叫做角B.兩點(diǎn)之間直線最短

C.兩點(diǎn)確定一條直線D.若AF=BC,則點(diǎn)2是AC的中點(diǎn)

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，角的定義，線段中點(diǎn)的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】A、應(yīng)為有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、應(yīng)為兩點(diǎn)之間線段最短，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩點(diǎn)確定一條直線正確，故本選項(xiàng)正確；

D、若=則點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)錯(cuò)誤，因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不一定共線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，以及角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念與各性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2324上.哈爾濱?階段練習(xí)）甲從。點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西30。走了50米到達(dá)A點(diǎn)，乙從。點(diǎn)出發(fā)，沿南偏

東35。方向走了80米到達(dá)8點(diǎn)，則NAO3為（）

A.65°B.115°C.175°D.185°

【答案】C

【分析】根據(jù)方位角的概念即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

?甲從。點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西30。走了50米到達(dá)A點(diǎn)，乙從。點(diǎn)出發(fā)，沿南偏東35。方向走了80米到達(dá)8點(diǎn)，

:.ZAON=30°,ZBOS=35°,

ZNOB=180°-ABOS=180°-35°=145°,

ZAOB=ZNOB+ZAON=145°+30°=175°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是方向角，根據(jù)方向角的概念正確畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2122下?楊浦?期末）從世博地圖可知，亞洲聯(lián)合館（A點(diǎn)）在中國(guó)國(guó)家館（。點(diǎn)）的北偏東20。，太

平洋聯(lián)合館（8點(diǎn)）在中國(guó)國(guó)家館的北偏西70。，則-AQB等于（）

A.50°B.90°C.20°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)圖形計(jì)算-A03即可

【詳解】解：由題意得出圖形：

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形，根據(jù)圖形求角的度數(shù).

4.（2122下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，甲從A處出發(fā)沿北偏西20。方向行走至8處，又沿南偏西60。方向行走

至C處，此時(shí)再沿與出發(fā)時(shí)一致的方向行走至。處，則/3CD的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】直接利用方向角的定義得出Nl=N2=20。，Z3=60°,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：如圖所示：

北

根據(jù)題意可得：Zl=Z2=20°,Z3=60°,

???沿南偏西60。方向行走至C處，此時(shí)再沿與出發(fā)時(shí)一致的方向行走至。處,

ZBCD=60°+20°=80°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角的定義，根據(jù)題意得出4=N2=20。，/3=60。是解題的關(guān)鍵.

5.（22-23上?廣東?單元測(cè)試）在平面內(nèi)，NAOB=90。，OC在/AC?的外部，NCO3是銳角，OP平分NAOC,

。。平分NCOB,若NCOB度數(shù)逐漸變大，則NPOQ變化情況是（）

A.變大B.變小C.保持不變D.無法確定

【答案】C

【分析】依據(jù)0P平分/AOC,。。平分-30C,即可得到NCOP=4/AOC,ZCOQ=^-ZBOC,再根據(jù)

NPOQ=NCOP—NCOQ進(jìn)而計(jì)算，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,.?OP平分/AOC,。。平分/3OC,

ZCOP=^ZAOC,ZCOQ=^ZBOC,

ZPOQ=ZCOP-ZCOQ=|ZAOC-1ZBOC=（（ZAOC-NBOC）=|ZAOB=45°,

...NPOQ的度數(shù)不變.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，熟記角平分線的定義，弄清各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2122上?太原?階段練習(xí)）12:30時(shí)針與分針的夾角為.

【答案】165。/165度

【分析】根據(jù)對(duì)鐘表的認(rèn)識(shí)，可知鐘表一圈是360。，被平均分成了12個(gè)大格，所以每一大格的度數(shù)是

360。+12=30。，然后結(jié)合具體時(shí)間確定分針和時(shí)針的位置，即可獲得答案.

【詳解】解：根據(jù)對(duì)鐘表的認(rèn)識(shí)可知，鐘表一圈是360。，被平均分成了12個(gè)大格，所以每一大格的度數(shù)

是360°+12=30°,

12:30時(shí)，時(shí)針位于12和1中間，即時(shí)針走過15度，分針走過30分鐘，6個(gè)格子的夾角180度，

所以時(shí)針與分針的夾角為180。-15。=165。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角的求解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

7.（2324上.衡陽(yáng).開學(xué)考試）小明下午5點(diǎn)時(shí)放學(xué)回到家后立即寫作業(yè)，作業(yè)完成后是5時(shí)40分，此時(shí)

時(shí)針與分針較小的夾角是（）度.

【答案】70

［分析】如圖，時(shí)針QV,分針。1,時(shí)鐘中心O,時(shí)亥!15點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)I,連接OI,則ZNOI=20°,ZAOI=90°,

進(jìn)而求得ZAON=70。.

【詳解】解：如圖，時(shí)針ON,分針Q4,時(shí)鐘中心O,時(shí)刻5點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/,連接O/,

1403

貝”/可。/=360°*——、——=20°,ZAO/=360°X—=90°,

126012

ZAON=ZAOI-ZNOI=90°-20°=70°.

故答案為：70.

【點(diǎn)睛】本題主要考查與鐘表有關(guān)的角度計(jì)算，掌握時(shí)鐘鐘面的等分特征是解題的關(guān)鍵.

8.（2223下?煙臺(tái)?期末）我們觀察鐘表可以發(fā)現(xiàn)鐘表中有許多有趣的數(shù)學(xué)問題.若鐘表從4:00開始，設(shè)分

針經(jīng)過f分鐘與時(shí)針第一次所成的角為98。，貝心的值為.

【答案】4

【分析】先計(jì)算出時(shí)針和分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)角度，以及4:00時(shí)，時(shí)針分針夾角，再根據(jù)經(jīng)過,分鐘時(shí)針于分

針夾角為98。，列出方程求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

分針每分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度=360°-60=6。，

360°

時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)角度=丹7T=0.5°,

12x60

4:00時(shí)，時(shí)針分針夾角=0.5x60x4=120。,

O.5r+12O-98=6Z,

解得：r=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出時(shí)針和分針每分鐘

轉(zhuǎn)動(dòng)角度，以及4:00時(shí)，時(shí)針分針夾角，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程求解.

9.（2223上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在銳角/A03內(nèi)部，畫1條射線，可得個(gè)銳角；畫2條不同

射線，可得個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得個(gè)銳角……照此規(guī)律，畫”條不同射線，可

得個(gè)銳角.

BBB

CE

------------A■A

(n+l)(n+2)

【答案】36

【分析】從一個(gè)銳角頂點(diǎn)引出〃條不同射線，可得（"+）（〃+2）個(gè)銳角,依據(jù)規(guī)律解答即可.

2

【詳解】解：在銳角，AO3內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；3=1+2；

畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；6=1+2+3；

畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；10=1+2+3+4；

照此規(guī)律，畫〃條不同射線，可得（1+2+3+…+〃+1）=（"+1）（”+2）個(gè)銳角.

(n+l)(n+2)

故答案為：3,6,10,

【點(diǎn)睛】本題考查了射線和角的概念，掌握規(guī)律的探求方法是解題的關(guān)鍵.

10.（2223上?無錫?期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻慕?例如：六點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)?/p>

成鐘面角為180。；七點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?50。.那么從六點(diǎn)鐘到七點(diǎn)鐘這一個(gè)小時(shí)內(nèi),

哪些時(shí)刻時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00。？請(qǐng)寫出具體時(shí)刻：.（結(jié)果形如6點(diǎn)I23I分）

【分析】設(shè)6點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00。，根據(jù)時(shí)針與分針的角度差為100。，分時(shí)針與分針

重合前以及重合后分別列出方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)6點(diǎn)加分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00。，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)3蕓0°=0.5。，分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，

六點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?80。，依題意得

分時(shí)針與分針重合前，0.5機(jī)+180-6〃?=100,

160

解得：m=—

分時(shí)針與分針重合后，6^-(0.5/77+180)=100,

解得：機(jī)=*

故答案為：6點(diǎn)11分或6點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2324上?全國(guó)?課時(shí)練習(xí))根據(jù)給出的圖回答下列問題:

(1)/1表示成NA,這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正?

(2)圖中哪個(gè)角可以用一個(gè)字母來表示？

(3)以A為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)表示出來.

(4)/ADC與—ACD是同一個(gè)角嗎？請(qǐng)說明理由.

(5)圖中共有幾個(gè)小于平角的角？

【答案】(1)不正確，可表示為N7MC

⑵4

(3)3個(gè)，見解析

(4)見解析

(5)11個(gè)

【分析】(1)、(2)根據(jù)角的表示方法求解即可；(3)、(4)、(5)根據(jù)角的定義和表示方法回答即可.

【詳解】(1)不正確，因?yàn)橐訟為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，所以這樣的表示方法不正確，可表示為/D4C；

(2)圖中—3可以用一個(gè)字母表示；

(3)以A為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，分別是—54C、NBAD、ZDAC-,

(4)因?yàn)檫@兩個(gè)角的頂點(diǎn)不同，所以不是同一個(gè)角.

(5)圖中小于平角的角有：/B,NBAD,ACAD,ZBAC,NADB,ZADC,NACB,NACE,ZECF,

NBCE,ZACF,共有11個(gè)小于平角的角.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的定義和角的表示方法，掌握角的定義和角的表示方法是解題的關(guān)鍵.

12.（2223上?沈陽(yáng)?期末）如圖，一漁船在海上點(diǎn)E開始繞點(diǎn)。航行，開始時(shí)點(diǎn)E在點(diǎn)。的北偏東43。40',

然后繞點(diǎn)。航行到C,測(cè)得=繼續(xù)繞行，最后到達(dá)。點(diǎn)且NCOD=.

（1）求/30C的度數(shù)；

（2）說明該漁船最后到達(dá)的。點(diǎn)在點(diǎn)。的什么方向？

【答案】（1）N3OC=49°

（2）點(diǎn)。在點(diǎn)。的北偏西73。30'

【分析】（1）根據(jù)角的和差解答即可；

（2）先根據(jù)角的和差求出的度數(shù)，則點(diǎn)。的位置即可判斷.

【詳解】（1）:開始時(shí)E點(diǎn)在。點(diǎn)的北偏東43。40'

ZEOA=90-43°40'=46°20',NBOE=43°40,

ZCOE=2ZAOE=92°40;,

：.NCOB=NCOE-ZBOE=92°40'—43°40'=49°.

（2）解：ZCOD=-ZCOB=1x49°=24°30,,

22

Z.BOD=ZCOB+ZCOD=49°+24。30,=73°30',

。點(diǎn)在。點(diǎn)的北偏西73。30'的方向.

【點(diǎn)睛】本題考查的是與方向角有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握象限角之間的大小關(guān)系.

13.（2223上?浙江?專題練習(xí)）（1）數(shù)一數(shù)圖①中共有一個(gè)角，圖②中共有一個(gè)角；圖③中共有一個(gè)角.

（2）從（1）中你能找到一種數(shù)圖④中角的個(gè)數(shù)的規(guī)律嗎？

②③④

10；(2)第"個(gè)圖形共有角的個(gè)數(shù)：硬d

【分析】(1)根據(jù)圖形直接數(shù)出角的個(gè)數(shù)即可;

(2)根據(jù)(1)中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可.

【詳解】解：(1)V1+2=3,則圖①中共有3個(gè)角,

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