浙江省2025屆高三(二模)考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知zee,則“z2eR”是“ze/?”的()

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

2.已知集合M={x\y-V%+1}，>N={y\y=V%+1］，則MnN=()

A.0B.RC.MD.N

3.在正三棱臺ABC—中，下列結(jié)論正確的是()

A.VABC-AxBrC1=B.A&，平面ABiQ

C.ArB1BiCD.AAt1BC

已知0-5

4.a=sin0.5,b=3,c=log03O.S,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.在(3-x)(l-x)5展開式中，X的奇數(shù)次募的項的系數(shù)和為()

A.-64B.64C.-32D.32

6.已知等差數(shù)列｛即｝的前"項和為S小公差為"，且｛Sn｝單調(diào)遞增.若=5,貝!Jde()

A.[0,各B.[0,當C.(0,f)D.(0,當

7.若關(guān)于x的方程|%2+mx++|久2一小久+=2|7nxi的整數(shù)根有且僅有兩個，則實數(shù)機的取值

范圍是()

A.[琦)B.(2,1)

C?(一2廠2]U[2,力D.(-天—2)U(2,2)

8.已知定義在(0,1)上的函數(shù)f(x)=,'久溟有理教/犯"溟互防的■正整初，則下列結(jié)論正確的是

1,x是無理數(shù)

()

A./(嗎的圖象關(guān)于*=4對稱B.yo)的圖象關(guān)于&對稱

c.fQ)在(0,1)單調(diào)遞增D.f(x)有最小值

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，P（-3,4）為其終邊上一點，若角￡的

終邊與角2a的終邊關(guān)于直線>=-%對稱，貝1）（）

Q7T

A.cos（71+a）=耳B.0=2/CTT+]+2a（kEZ）

c.tanl3=^D.角。的終邊在第一象限

10.已知圓C1：%2+y2=6與圓。2：%2+y2+2%-a=0相交于交8兩點.若S^CiAB=2SAC2AB，則實

數(shù)。的值可以是（）

A.10B.2C.孕D.竽

11.已知半徑為7?球與棱長為1的正四面體的三個側(cè)面同時相切，切點在三個側(cè)面三角形的內(nèi)部（包

括邊界），記球心到正四面體的四個頂點的距離之和為d,則（）

A.r有最大值，但無最小值B.r最大時，球心在正四面體外

C.7?最大時，d同時取到最大值D.1有最小值，但無最大值

三'填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.平面向量門3滿足N=（2,1）,a||a-b=-V10，則同=.

13.如圖，在等腰梯形ABC。中，AB=BC=CD=卜￡>,點E是4。的中點.現(xiàn)將△ABE沿BE翻折到

AA'BE,將ADCE沿CE翻折至lUD'CE,使得二面角4—BE—C等于60。，￡>'—CE—B等于90。，則直

線Z,B與平面O’CE所成角的余弦值等于.

14.已知P,F分別是雙曲線*/=1（。/>0）與拋物線）/2=2「％3>0）的公共點和公共焦點，直

線PF傾斜角為60°,則雙曲線的離心率為.

四'解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.記AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2cs譏B=

（1）求C；

（2）若tcmA=tcmB+tanC,a=2,求△ABC的面積.

16.已知直線y="與橢圓C.+y2=i交于A,B兩點，尸是橢圓。上一動點（不同于A,B）,記

k°p,kpA，々pa分別為直線。P,PA,P3的斜率,且滿足k,k°p=kpA,kpB.

（1）求點P的坐標（用k表示）；

（2）求|0P|?|AB|的取值范圍.

17.紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金x（萬元）與年收益y（萬元）的8

組數(shù)據(jù)：

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用丫=bdx+a模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益y與年投入資金x的關(guān)系，求出回歸方程；

（2）為響應(yīng)國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計其收益為

投入的10%.2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值.（精確到0.1萬

元）

_A現(xiàn)匕1VjUj-nv-u.

附：①回歸直線O=+@中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=I；_2，a=

E11vf—nv

A

u-b-v

②

88888

WInXiW（伍U）2WyInXi

如t

i=li=li=li=li=l

1612920400109603

③比2?0.7,仇5x1.6

18.數(shù)列｛a",｛%｝滿足：｛九｝是等比數(shù)列，bi=2,a2=5,且由歷+a2b2H--\-anbn=2（an-

3）bn+8（nGN*）.

（1）求a”“；

（2）求集合>=｛x|（x-ai）（x-bi）=0,i<2n,iEN*｝中所有元素的和；

（3）對數(shù)列｛4｝，若存在互不相等的正整數(shù)七，七，…，號022）,使得%+以2+-+%也是

數(shù)列｛4｝中的項，則稱數(shù)列｛0｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛%｝，｛匕｝是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若

是，求出所有，的值；若不是，說明理由.

19.如圖，對于曲線「存在圓C滿足如下條件：

①圓C與曲線「有公共點A,且圓心在曲線廣凹的一側(cè)；

②圓c與曲線r在點4處有相同的切線；

③曲線廠的導(dǎo)函數(shù)在點力處的導(dǎo)數(shù)（即曲線r的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓c在點/處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

廠2

（%-a）2+（y-b）2=廠2在點4（久0,處的二階導(dǎo)數(shù)等于^了）；

'6y°）

則稱圓c為曲線r在4點處的曲率圓，其半徑「稱為曲率半徑.

（1）求拋物線丫=/在原點的曲率圓的方程；

（2）求曲線y=：的曲率半徑的最小值；

（3）若曲線y=e%在（%i，e%i）和（%2，齦）（%1工血）處有相同的曲率半徑,求證:xr+x2<-ln2.

答案解析

L【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)數(shù)的基本概念

【解析】【解答】解：充分性：根據(jù)題意可得：Z=i,所以z2=-1CR,故充分性不成立；必要性：

zER,

所以z2eR,則必要性成立，所以“z2CR”是“ZCR”的必要不充分條件，故B選項符合題意.

故答案為：B.

【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，充分條件，必要條件的判定，根據(jù)已知條件結(jié)合充分條件，必

要條件的判定進求解即可.

2.【答案】D

【知識點】交集及其運算；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域

【解析】【解答】解：解因為y=，％+1,所以久+120,即故集合M={x|%2-1},又

y=Vx+1,所以y>0,

所以集合N=(y\y=VxTT)={y\y>0}，則MCN=N,故D選項符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)二次根號型函數(shù)的定義域及值域即可求出集合M和N,然后再根據(jù)交集的運算即可求

解.

3.【答案】D

【知識點】棱臺的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中平面

與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：如圖所示：

對于A選項：設(shè)正三棱臺上底面邊長為a,下底面邊長為b,高為h,

根據(jù)棱臺的體積公式可得唳BC.4B?=孚a?+苧廬+字協(xié))，

二棱錐力i—831cl的體積為：VA1-BB1C1=VB-A1B1C1=ghX蛾且a<b

所以匕4BC-/1B1C1<3匕4LBBICI，故A選項錯誤；

對于B選項：根據(jù)正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征可得：乙為鈍角，所以441不可能垂直/當,則棱力義與

平面4316不垂直，故B選項錯誤；

T—>(TT\/TfT772T

對于c選項:A1B-B1C=(A1B1+-(8^+BCj=A1B1'B1B+A1B1-BC+BXB+80

BCO'則&B,BiC不互相垂直，故C選項錯誤；

對于D選項：取BC中點D,Big的中點P,則BC140,BC1PD,且4￡>nP0=D,所以BC1平

面ADPA1，所以力AilBC,故D選項正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)棱臺及棱錐的體積公式即可判定A選項；再根據(jù)三棱臺的結(jié)構(gòu)特質(zhì)得到乙14B1為鈍

角，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可判定B選項；再根據(jù)：4：B?B；C片0即可判定C選項；取BC中點

D,BiC1的中點P,根據(jù)線面垂直的判定定理即可判定BC1平面7WP4,然后再根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)即可判定D選項.

4.【答案】B

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

05

【解析】【解答】解：因為a=sinO.5,b=3,c=log03O.E),

則0=sinO<a=sin^<sin：=劣，

L6L

1

1=30<b=30-5=32=V3?1.732'

1l~3~iF

==

23d而<c=logQ30.5=log03]<'。光找？=1'

則a,b,c的大小關(guān)系為a<c<b.

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較

出a,b,c的大小.

5.【答案】A

【知識點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì)；二項式系數(shù)

【解析】【解答】解：在(3—x)(l—%)5的展開式中，

5

]設(shè)/(久)=(3—久)(1—%)=a0+a1x+a2K2+...+a6K令x=l可得:/(I)=a0+a1+a2+

■?-...+a6=0,

再令x——]可得：f(_1)=a。-a1+a2—。3+。4―+口6=4x[1_(-I)-=128,

則f(1)-/(-I)=2(%+a3+a5)=-128,即即+a3+?5=-64.故A選項符合題意.

故答案為：A.

【分析】本題主要考查二項式展開式的性質(zhì)及賦值法的運用，根據(jù)題意可設(shè)/(%)=

52

(3—久)(1-%)=a0+arx+a2x4—...+a6K然后令x=l及x=-1,再進行求解即可.

6.【答案】A

【知識點】等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【解答】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，且。5=5,所以臼+4d=5,即臼=5—4d,

則Sa=Dd=,(5_4d)+.Q1)d=1層+(5_(d)九,又因為｛S"單調(diào)遞增，所以

5-當>—多解得：d<學(xué)，則de(0,學(xué)).

故答案為：D.

2

【分析】由題意可得由=5-4d,再根據(jù)等數(shù)列的前n項和公式求得Sn=^n+(5-n,最后

根據(jù)｛S"單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

7.【答案】C

【知識點】二次函數(shù)與一元二次不等式的對應(yīng)關(guān)系；其他不等式的解法

【解析】【解答】解：設(shè)力=zu%,B=%2+1,則+山一川=2|力

即2|*=\A+B\+\B-A\=\A+B\+\A-B\>\A+B+A-B\=2\A\,所以4+3與Z—8同號，

所以Q4+B)(B—力)<0,

即(/+Ip一m2%240,所以％4+Q-7n2)%2+14。，令「=%2,則產(chǎn)+Q一7n2)「十]《。，其兩

根4=1>0，

結(jié)合t的定乂可得七1，4均為正數(shù)，設(shè)<t?,貝!JtiE(0,1)912>1，設(shè)/(t)=/+(2—77l2)t+1,

因為/(I)=4—m2<0,

則應(yīng)有%2=蛀<2?=4,所以/⑷=25—4m2>0,故綜上所述：me(-|,-2]U[2,f),故C選

項符合題意.

故答案為：C.

【分析】本題主要考查絕對值不等式，一元二次方程根的分布，設(shè)4=mx,B=X2+1,則

\A+B\+\B-A\=2|A|,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得：4+3與4-18同號，進而得到

(A+B)(B—A)M0,進而得到：x4+(2-m2)x2+l<0,然后運用換元法結(jié)合一元二次方程根的

分布即可求解.

8.【答案】A

【知識點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用

【解析】【解答】解：對于A選項：若久=與為有理數(shù)，即m,n（7n＜n）互質(zhì)，則n—TH,n也互

質(zhì)，即f得）=￡=/（除竺），若x為無理數(shù)，則1—久也為無理數(shù)，即/（久）=f（l—久）=1,所以

/（%）的圖像關(guān)于％=2對稱，接下來證明：m,n互質(zhì)，則n—加，n也互質(zhì)，反證法：若m,n互

質(zhì)，n-m,n不互質(zhì)，可設(shè)n-m=ka,n=kb,則?n=k（6-a）,n=kb,此時與假設(shè)矛盾，所以n-m,

n互質(zhì)，故A選項正確；

于BC選項：對根據(jù)題意可得：/4_：）=/（_/+|）=1,顯然/（久）的圖像不關(guān)于（另）對稱，

而一北+|＜四號,故BC選項錯誤；

對于D選項：若x為有理數(shù)，則/（久）=，顯然n-+8時，函數(shù)值無最小值，故D選項錯誤.

故答案為：A.

【分析】本題主要抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可確定AD選項，再利用特殊值即可排除BC

選項.

9.【答案】A,C,D

【知識點】任意角；象限角、軸線角；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：sincr=coscr=—則sin2a=2sinacosa=—卷，cos2a=

1-2sin2a=~^＞所以。（一7,-24）是2a終邊上一點，所以“（24,7）是S終邊上一點，所以sin/?=

7241

2g,cos/?=25對于A選項：cos（7i+a）=—cosa=耳，故A選項正確；

對于B選項：采用反證法：假設(shè)B選項正確，貝！JcosS=cos（2/CTI+2a+另=cos（2a+］）=

-sin2a=簽，sin0=sin（2Mi+2a+另=sin+*）=cos2a=-奈，與已知得到的結(jié)論矛

盾，故B選項錯誤；

對于C選項：tanS=2族=奈+（II）=務(wù)，故C選項正確；

對于D選項：根據(jù)”（24,7）是/?終邊上一點，可得角/?的終邊在第一象限，故D選項正確.

故答案為ACD.

【分析】本題主要考查象限角，終邊相同的角，同角三角函數(shù)關(guān)系，正弦及與余弦的倍角公式，根

據(jù)題意可得：sina=|lcosa=-|,結(jié)合誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系即可判定AC選項，再根據(jù)

終邊相同的角的三角函數(shù)關(guān)系即可判定BD選項.

10.【答案】B,D

【知識點】圓的一般方程；圓與圓的位置關(guān)系及其判定；兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定

【解析】【解答】解：因為兩圓Ci：/+y2=6與圓C2：/+、2+2%-。=o相交于A,B兩點，則兩

圓的公共弦為：2%—a+6=0,即久=^a—3,兩圓的圓心距為1,設(shè)圓心。到直線為=—3的

距離為:心=跟一3卜圓心到直線。=9-3的距離為電=|9—2卜

又因為：SAQ4B=2SACZ4B，所以dj.=2C?2,即m=.a_=2d2=2.a_21故解得：a=2或

。=學(xué)當a=2時，直線AB的方程為：x=-2,符合條件；當&=爭寸，直線AB的方程為：x=

-1,符合條件，綜上所述a的值為2或爭故BD符合題意.

故答案為：BD.

【分析】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及公共弦方程，點到直線的距離公式，根據(jù)題意可得兩圓的

公共弦方程：x=1a-3,再根據(jù)點到直線的距離公式求得兩圓圓心到公共弦的距離，然后再根據(jù)

SAC1AB=2sAe2的建立方程解出a,然后再檢驗即可求解.

11.【答案】A,B,D

【知識點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；球的表面積與體積公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：對于AB選項：設(shè)球心為O,正四面體4-BCD的外接球球心，AABC的中心

為。2，ABC。的中心為。1，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得：。必在401上，則力修=J1—償）2=

空,D014X—=字,球與平面ACD，平面ABC,平面ABD相切，與平面ABC相切與

。2，貝加01巖xJ1—弓）2=*,40]=個AH?-H。]=乎,又因為「=°。2，在中：

tan^AH=翳=孝，則tanzOM”=辛枚,則sinN0〃H=主所以在Rt△40。2中

2

r=002=XO2tanzO1XH=^X02>又因為A。？e（。，號卜所以r=￥人。e（。，*「則r有最大

值，但沒有最小值，故A選項正確；

對于B選項：當「電時，4°=.工=3.=隼>卓,r最大時，球心在四面體外，故B

O1/AilO乙

選項正確；

對于CD選項：設(shè)

1=12=J2

。。久，則4。=乎一萬，所以=“0/+。。x+1,所以d=。4+3。。=字一%+

3J%2+令f（x）=乎—%+3J82+專,所以/'（%）=-1+=-J2+］一令/（%）=0，可解

得：久=W或者久=—W（舍去），所以當

久4°，W）時’八無）＜°，當久4暫停）時'/4）＞0,所以函數(shù)“X）在（0闈上單調(diào)遞減，在

傳，苧）上單調(diào)遞增，所以當％=W時，fMmin=所以d有最小值，但無最大值，故D選項

正確，C選項錯誤.

故答案為：ABD.

【分析】本題主要考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征，外接球的半徑的計算，利用導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單

調(diào)性，考查考生的空間想象能力，計算能力，邏輯思維能力，屬于較難題型，對于AB選項：設(shè)球

心為O,正四面體A—BCD的外接球球心，△ABC的中心為。2，△BCD的中心為。1，根據(jù)正四面體

的性質(zhì)可得：O必在4。1上，然后利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征求出r的取值范圍即可判斷AB選項；設(shè)

。。1=%,根據(jù)題意求得d關(guān)于x的表達式，然后構(gòu)造函數(shù)/（%）=雪—%+3口求導(dǎo)，利用

導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

12.【答案】V2

【知識點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

【解析】【解答】解：設(shè)向量B=（久,y）,由五||方可得尹苧,

因為2?b=—V10>貝!+y=-V10,

解得％=—等，y=—乎，貝|R=（—等,—爭）

故答案為：V2.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量另=（無/）,由向量共線的坐標表示和數(shù)量積的坐標表示，從而列出方程

組得出向量石的坐標，再結(jié)合向量的坐標表示得出向量石的模.

13.【答案】挈

O

【知識點】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：設(shè)=2a,取CE的中點K,連接BK,AK,如圖所示：

由題知平面BCE1平面D,CE，

平面BCE。平面O,CE=CE，

又BKu平面BCE,BK1CE

所以BK1平面D,CE，

則直線/B與平面D,CE所成角的余弦值等于乙4'BK的正弦值,

易求得BK=y!3a,A'C=V3a>

EA+EC-ACz5

cosZ.4EC-----------；---------—五，

2EA-ECa

,2n'7

又cos",/。,"+E/YK2

2EA,EK”

解得力%=半。，

cXBK=/=萼，

9/1P.DIZO

貝%in/4BK=J1—呼)=等

所以直線4B與平面D'CE所成角的余弦值等于粵，

O

故答案為：粵.

O

【分析】設(shè)/B=2a,取CE的中點K,連接BK,AK,利用面垂直的性質(zhì)定理可得BK_L平面D,CE，

結(jié)合直線A,B與平面D,CE所成角的余弦值等于乙的正弦值，利用余弦定理求得相關(guān)線段的長度再

進行計算即可.

14?【答案】苧或五+2

【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)

因為F為雙曲線*￡=l(a,b>0)與拋物線產(chǎn)=2Px(p>0)的公共焦點，

所以c=$故y2=4c%,

因直線PF傾斜角為60°,故直線PR的斜率為k=V3,直線P9的方程為y=V3(x-c),

聯(lián)立y2=4cx,得3(%—c)2=4cx,即3——10c%+3c2=0,解得％=3c或％=gc,

當x=3c時，y2=12c2,代入芯一方=1可得一年f-=1，

又因戶=c2—a2且e=*可得9e4—22e2+1=0,

解得/=11堯，又因為e>l,所以？=苧

當“凸時y2=*,代入得￡—

又因廬=c2—a2e=?得e4—22/+9=0,

解得/=11±4夕，又因為e>1,所以？二夕+2

故答案為：苧或4+2.

【分析】先利用題意c=與結(jié)合直線PF傾斜角為60°可設(shè)直線PR的方程為y=V3(x-c),聯(lián)立y2=

4cx得P點坐標，把％=3c或久=④c代入雙曲線方程結(jié)合e=(即可得離心率.

15?【答案】(1)解：因為2cs譏3=魚兒根據(jù)正弦定理可得：2smCsinB=V2sinB,又因為在4

43。中3e(0,n),所以sinB>0

故可得：sinC=*又Ce(0,ir),所以。=捺或苧

(2)解：因為tzmA=tanB+tanC,再結(jié)合恒等式：tanA+tanB+tanC=tan>l?tanB?tanC,可

得：2tan力=tan^tanFtanC,又因為ZG(0,TI),所以tan4W0,即tanBtanC=2,又由(1)知：

C—1或竽,根據(jù)tanBtanC=2>0,所以只能C=%tanB=2,此時tan4=3,故sin力=

呼,sinB=攣，根據(jù)正弦定理可得：b=曙蘆=/停=孥，故△ABC的面積為：S,BC=

IU55V1U3

"TO-

1,.?1?4V2V24

2ccbsixiC=2x2x―~x=子

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題型.

(1)根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理可得：2smCsinB=V2sinB,再根據(jù)B,C的取值范圍進行求解即

可；

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合恒等式：tanA+tanB+tanC=tan力"tanB-tanC,可得：tanBtanC=2,

再根據(jù)C的大小求得：tanB=2,tanA=3,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sin4,sinB,然后利用正

弦定理及三角形的面積公式進行求解即可.

??

16.【答案】（1）解：設(shè)4（科九）,3（一孫一初「（取）,則根據(jù)題意可得:殍+*=[+t2=i，所以

（y=

1]t-nt+nt2-n2-1（s2-m2）]川“_1~TTX

k聯(lián)立2，解得：

PA-kpB=s_m-s+m=s2_m2==4'人北。P——森'母+y2=i

p（蠟）或p（—_r^='d=）（/c豐°）；

>+i>+i

2y=kx

22

（2）解：由（1）可得：|0P|2=”要工聯(lián)立第2?,可得：（4/c+l）x=4,所以|AB|2=

4fcZ+l（彳+必=1

4（*,

\4fc+1/

（16k2+2）（16必+16）/\/4+—-]<

所以|0P|2.|AB'=------人~21=4（4+—產(chǎn)）=4

（軌2+1/\16k4+涼+"\16k+當+8/

36

44+（4+||）=25,當且僅當16k2=即k=±凱寸取等號，所以|OP|.

\AB\<5,則|OP|?|AB|的取值范圍為：（4,5].

【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合問題及弦長公式，運

用基本不等式求最值.

22

⑴設(shè)（-m,f）,P（s,t）,則根據(jù)題意可得：^+n=^+t=i，進而求得=

44

則％=-會，然后聯(lián)立直線OP與橢圓的方程即可求解；

1心24y=kx

（2）:由（1）可得：|0「|2=嗎±1,聯(lián)立/?,然后運用弦長公式求得：|402=

4/+1（彳+/=1

4(*，

22

然后運用基本不等式即可求得：\OP\\AB\<59進而即可求得答案.

\4fc+1/

lnx

喧8m尤vC1i,^=l%

ln%^—81nx-yy4=1g%88飛飛一

17.【答案】

8

2.2/——、22___2

11(1陰)—8(lnx)￡乙(In%,-8(lnx)

161

603-8x挈x8

5

109-8x(^)2u=y-b,Inx=—g—5x-5-=2,

???回歸萬程為：y=5lnx+2.

（2）解：設(shè)2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬元，預(yù)計收益y（萬元），

則y=5Inx+2+（200一%）?擊，0<%<200,

所以y'=§—七=s°%>o,得％<so,

7x1010x

二收益y在（0,50）上單調(diào)遞增，（50,200）上單調(diào)遞減，

則y他ax=51n50+2+15=5（2仇5+/2）+17*5X（2X1.6+0.7）+17=36.5

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；線性回歸方程

【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求出B和&的值，從而可得回歸方程.

（2）利用已知條件建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即求出年

收益的最大值.

18.【答案】（1）解：根據(jù)題意可得：臼比=2（ai-3）瓦+8,且瓦=2,解得：即=2,又a/i+

a2b2=2（。2-3）勿+8,又因為的=2,a2=5,解得：b2=4,又因為｛%｝是等比數(shù)列，所以“=

a=

2”,所以。1瓦+a2b2T—+anbn-2（an-3）/?n+8（J）,當n>2時,ai/+a2b2T~^n-i^n-i

2

(an-i-3)“_i+8②

n+1n

nN2時，①-②可得：anbn=(an-3)-2-(a^-3)-2,即2%n=(冊—3)?2"+】—

(斯_1—3)-2%所以an—an_i=3,所以數(shù)列為首項為2,公差為3的等差數(shù)列，所以an=2+

3(71—1)=3n—1.

n

an=3n-1,bn=2

⑵解:設(shè)數(shù)列｛an｝與｛5｝中的公共弦為4,令0n=%,則3"1=2。即0=學(xué)1=

(3-1嚴+1=cMqT.+cMm-lLDl+….+或一匕1(1嚴T+C僚。(1嚴+](—1尸為奇

33

數(shù)，所以%=22幾T

,71_(2+6n—l)-2n

所有項的和為：+。。幾+比+人f

2+……+22+……+b2n—(f1+C2H-----...cn｝=-------------2--------------1■

土寸2(1-4-),

-1^2

r/o^2(6n-l)+li.

6n2+n+22n+1-42—1

(3)解：｛%｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列“，理由如下:

假設(shè)｛,｝是"和穩(wěn)定數(shù)列”，則存在互補相等的正整數(shù)的,k2……,kj,j>2,使如+如+……+bk.=

bm,這里可設(shè)/q<七<七<……<局<加，所以2厄+2k2+.??…+2為=2m，兩邊同時除以2的，

可得：1+26-七+……+2|廠七=2加一矽，左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，相矛盾，故假設(shè)不成立，

所以｛%｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，

aaa

若｛&i｝是“和穩(wěn)定數(shù)列“，則以1+k2T■…■■■+kj=n>

所以3?i—1=3(燈+的+…+與)-j,

當j被3整除余1時,｛a4是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

【知識點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列通項公式得求解，等比等差數(shù)列的性質(zhì)以及對新定義數(shù)列的理解

與應(yīng)用.

(1)根據(jù)已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得：bn=2\然后再根據(jù)已知等式進行遞推得到新的等

式然后兩式相減可得：an-an,!=3,然后運用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求和即可；

(2)設(shè)數(shù)列與｛g｝中的公共弦為cn,令小=除,貝1]3卜一1=2僮，進而可求得%=22nT,然后

再運用分組求和的方法即可求解；

(3)根據(jù)定義運用反證法進行證明即可求解.

19.【答案】(1)解：記/(%)=久2,設(shè)拋物線曠=/在原點的曲率圓的方程為/+(、—=廬，其

中b為曲率半徑.

b22=1肌4

故2=f"(0)=Q一

(f3

7

所以拋物線y=/在原點的曲率圓的方程為久2+(y1.

4'

(2)解：設(shè)曲線y=/(久)在(xoJo)的曲率半徑為r.

由(%o_a)2+(并_=/知，［/(久o)］+1=~-2,

°(%-與

故曲線y=工在點(%0，兀)處的曲率半徑

%T

a+1V3

所以廠2=V0_L=*第+專)］，則或=收+25,

則「另,+節(jié)？魚，當且僅當焉=*即就=1時取等號,

故r>V2,曲線y=:在點(1,1)處的曲率半徑r=V2.

3

(3)證明：函數(shù)y="的圖象在(久,0處的曲率半徑_/久+1)2,

r-^-

由題意知：治+6多=e%+e多令〃=e乳t?=承，

則有<+看=后+/，

所以詔一環(huán)=-即—12)。1+切=7故+切=L

l2clc2

因為HX2,所以以。t2,

X1+X2

所以1—+t2)>tj/2,27t't2—2(tjt2)2=2e'

所以久1+x2<-ln2.

【知識點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；函數(shù)在某點取得極值的條件

【解析】【分析】(1)先利用曲率半徑的定義設(shè)拋物線y=/在原點的曲率圓的方程為久2+

(y-。)2=必，求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給定義求出b即可；

(2)設(shè)曲線y=/(%)在(%(),%)的曲率半徑為r,根據(jù)所給定義表示出r,再由基本不等式計算可得；

3

(3)依題意函數(shù)y=靖的圖象在(與刃處的曲率半徑_修2叼1)2,即丁|=含+e-^,從而得到e和+

x

6等1=ej2+e等2，令t]=e轟1，上=即可得到11也住1+切=1,結(jié)合基本不等式證明即可.

(1)記/(%)=%2,設(shè)拋物線丫=，在原點的曲率圓的方程為%2+(y一5)2=房，其中b為曲率半

徑.

7

所以拋物線y=/在原點的曲率圓的方程為久2+(y_9=1；

(2)設(shè)曲線y=f(x)在Oof。)的曲率半徑為r.則

、八)一份

法一：4〃r2,

fM=3

I(F)

272

22

由(%o_a)+(y0—b)=丁2知，[/(%o)]+1

--匕廣

3

所以此『+『

一|/(X0)|

3

故曲線y=,在點(與,兀)處的曲率半徑r=

2

73

%0

('J/T2

=2中非+*卜2之

所以廠2=\。2,=I(xo+22,則r3:

t0

3

貝1Jr4賭+§2?后當且僅當焉=堀,即就=1時取等號,

故r>V2,曲線y=:在點(1,1)處的曲率半徑r=V2.

，1_x0—a

(2

”bh-,

yo~--?44

所以《21，而「2=(%o-a)2+(兀-b)2=^2^+-^

_r32323,

%o-a=---j—

、23x0

3

所以rK2-1卜+3,解方程可得「另卜+J)?，

則「20部+當22,當且僅當好=冠，即郎=1時取等號，

4\陶和

故r>V2,曲線y=；在點(1,1)處的曲率半徑r=V2.

3

(3)法一：函數(shù)y="的圖象在(久,0處的曲率半徑_/計1產(chǎn)，

T—Y

由題意知：熱1+e等1=e%+e等2令^=/1/2=/%

o1C1

則有「+1=*2+5，

所以曲一詒=*一；,即—切出+切=；十2,故+5=L

l2rlr2

因為%1。％2，所以七1萬12