秘籍08不等式歸類概率預(yù)測☆☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測結(jié)合余弦定理、幾何等考察最值和范圍問題不等式占據(jù)半個數(shù)學(xué)，肯定是重點，但是直接對基本不等式的考察很少，大多數(shù)會結(jié)合其他知識點考察最值或者范圍的問題，所以需要對基本不等式熟練的運用，以及相關(guān)的不等式問題也需要掌握，類似與放縮的思想?！绢}型一】同構(gòu)式比較大?。ǘ噙x）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，且，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由題設(shè)，由，則，且，所以，則，故，A錯誤；由，故，B正確；由，僅當，即時等號成立，所以等號取不到，則，而，但不一定有，故不一定成立，C錯誤；由，其中等號成立條件為，即時等號成立，所以等號取不到，則，D正確.故選：BD2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，則.，因為，，所以，，所以，綜上，.故選：C.3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：令，則．易得在上單調(diào)遞增，所以當時，，而，因為，所以．而，即，所以．故選：A（多選）1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當，即時，取到等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即時，取到等號，故B正確；對于C，，當且僅當，即時，取到等號，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，即時，取到等號，故D錯誤．故選：ABC.（多選）2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┫铝胁坏仁匠闪⒌氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】對于選項A，因為，所以，，所以，故選項A錯誤；對于選項B，設(shè)，則，又因為，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即：，又因為，所以.故選項B正確；對于選項C，，因為，所以，所以，即：.故選項C正確；對于選項D，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以.故選項D正確.故選：BCD.3．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵，，∴，所以.∵∴比較與的大小，即比較與的大小.令，則.令，則.所以在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.又因為，所以，即.所以，即.綜上所述，.故選：B.【題型二】公式應(yīng)用及限制條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.1.下列不等式的證明過程正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且，則【答案】D【詳解】對于A選項，當時，，所以A選項錯誤.對于B選項，如時，，所以B選項錯誤.對于C選項，由于，則，，所以C選項錯誤.對于D選項，根據(jù)基本不等式成立的條件可知D選項正確.故選：D2.給出下列條件：①；②；③，；④，.其中能使成立的條件有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】由基本不等式可知，要使得成立，則，所以，、同號，所以①③④均可以.故選：C.3.若a＞0，b＞0，且a≠b，則（

）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜【答案】B【詳解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故選：B1．（2022·云南·建水實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）若存在，使得成立是假命題，則實數(shù)可能取值是（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【詳解】由題意得：任意的，成立是真命題，故在上恒成立，由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，故，故選：A2．（2022·上海·高三學(xué)業(yè)考試）已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是（

）A．2 B．C． D．4【答案】D【詳解】∵x>1，y>1，∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，∴，當且僅當lgx＝lgy＝2，即x＝y(tǒng)＝100時等號成立．故選：D.（多選）3．（2022·江蘇泰州·高一期中）已知，則a，b滿足的關(guān)系有（）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】由，則，A：，正確；B：由A知：且，所以，即，故正確，C：由A、B知：，而，故錯誤，D：由上，，故正確.故選：ABD.【題型三】構(gòu)造“公式型”1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.(3)基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式鏈：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；1.設(shè)，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【詳解】，，，當且僅當，即時取等號故選：A2.已知且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】∵且，∴.當且僅當即時取等號，此時取得最小值小3.故選:A.3.若x>1，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得，，當且僅當，即取等號，的最小值為，故選：A.1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當，時，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，,∴，當且僅當時，即時等號成立，因此，函數(shù),的最大值為,故選：C．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考開學(xué)考試）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【詳解】設(shè)，，由于，在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當且僅當時等號成立．則面積的最大值為6．故選：A.【題型四】“1”的代換1.若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以，的最小值為.故選：B2.已知且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．【答案】D【詳解】∵，且，∴，當且僅當時取等號，∴，由恒成立可得，解得：，故選：D.3.已知正實數(shù)、滿足，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為正實數(shù)、滿足，所以，，當且僅當，即時，等號成立，故選：D1．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【詳解】因為，所以，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為6.故選：B.2．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍________．【答案】【詳解】解析：由題，則，∴，解得:．故答案為：.3．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．【答案】【詳解】，，，，即，由，，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：【題型五】“積”與“和”混合型1.形如求型，2.形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：1.若，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，且，則，即，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，整理得，即，因為，所以，所以，解得.故選：D2.已知a，b是正實數(shù)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】等式的兩邊同除以可得：當且僅當，即時，取等號，此時選項D正確，選項ABC錯誤.故選：D.3.若正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，因為，，所以，當且僅當時等號成立，所以，即，所以，解得：，所以，當且僅當即時等號成立，的最小值為.故選：D.（多選）1．（2023春·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┮阎龜?shù)、，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為. B．的最大值為.C．的最小值為. D．的最小值為.【答案】ABD【詳解】對于A，因為，所以，則，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最大值為1，故A正確；對于B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，則，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，令，，則，，，，所以，當且僅當且，即，即時，等號成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.2．（浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】【詳解】，僅當時等號成立．所以目標式最大值為.故答案為：3．（2023春·河北滄州·高一滄縣中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某公園內(nèi)有一個邊長為的正方形區(qū)域，點處有一個路燈，，，現(xiàn)過點建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點和點，若對五邊形區(qū)域進行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為________．【答案】【詳解】設(shè)，，（，），∵，，∴，∴的面積為，的面積為，∵的面積，∴，即∵，，∴由基本不等式得，解得，即，當且僅當，即，時，等號成立，∴的面積的最小值為，∴五邊形面積的最大值．故答案為：.【題型六】多次均值1.已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【詳解】因，則，當且僅當且，即時取“=”，所以當時，取最小值.故選：B2.已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，，所以CD選項錯誤.當時，，，所以B選項錯誤.，即當且僅當或時等號成立.則，，解得.故選：A3.若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為a，b均為正實數(shù)，則，當且僅當，且，即時取等號，則的最大值為．故選：A．1.是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為a，b均為正實數(shù)，則，當且僅當，且取等，即取等號，即則的最大值為，故選：A．2.已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為______.【答案】【詳解】因為，即，所以，上述兩個不等式均是當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：．3.設(shè)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】因為，所以，所以（當且僅當時取等號），所以，所以，（當且僅當，即時取等號）.故答案為：D【題型七】權(quán)方和不等式權(quán)方和不等式：設(shè)證明：1.已知實數(shù)m,n∈(0,+∞)且m+n=1，則43m+n【答案】94【詳解】令3m+n=x，m+3n=y，∴x+y=4，∴43m+n+當且僅當x=2y,x+y=4，即x=83,y=43m+n+1m+3n的最小值為權(quán)方和：2.已知，則的最小值為（）A． B． C． D．【詳解】由題意知，可得：，則，當且僅當時，等號成立，則的最小值為。故選：A．權(quán)方和：.當且僅當時，即時取等號1.若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7解：∵正數(shù)滿足，∴，解得，∴，當且僅當時，等號成立，∴的最大值為．故選：B．權(quán)方和：2.已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【答案】8試題分析：因為，所以，所以，即，令，則，而，所以，即，故應(yīng)填．權(quán)方和：【題型八】基本不等式的恒成立問題（多選）1．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a，b都是正實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，當且僅當，即時，等號成立，A正確；B選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，當且僅當，即時，等號成立，B錯誤；C選項，，故恒成立，C正確；D選項，a是正實數(shù)，故，其中，故，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.故選：AC（多選）2．（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【詳解】由，且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，又因為不等式恒成立，所以，結(jié)合選項，可得選項B、C、D符合題意.故選：BCD.（多選）3．（2023·湖南·模擬預(yù)測）以下說法正確的是（

）A．命題的否定是：B．若，則實數(shù)C．已知，“”是的充要條件D．“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【詳解】對于A,命題的否定是：,故A正確，對于B,，則對恒成立，故，由于，故，因此B錯誤，對于C，，若，則，若，此時，若，則，因此對任意的，都有，充分性成立，若，如果，則由，如果，則由，若，顯然滿足，此時，如果，不滿足，綜合可知：，所以必要性成立，故“”是的充要條件，故C正確，對于D，的對稱中心為,所以不一定為0，，則,此時，故是的對稱中心，故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的必要不充分條件，故D正確，故選：ACD1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【詳解】因為，所以，，當且僅當，即時，等號成立．因不等式恒成立，只需，因此，故實數(shù)的最大值為25．故選：D2．（2016·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┤舨坏仁綄τ谌我庹龑崝?shù)x、y成立，則k的范圍為______．【答案】【詳解】易知，，．令，分式上下同除y，則，則即可，令，則．可轉(zhuǎn)化為：，于是，．∴，即時，不等式恒成立（當時等號成立）．故答案為：3．（2023·山西大同·大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【詳解】由得．又，當且僅當，即當時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：【題型九】不等式的應(yīng)用1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費3萬元購進了一套先進設(shè)備，該設(shè)備每年管理費用為0.1萬元，已知使用年的維修總費用為萬元，則該設(shè)備年平均費用最少時的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費用，∵，則，當且僅當，即時，等號成立，所以該設(shè)備年平均費用最少時的年限為9.故選：C.2．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為___________．【答案】52π【詳解】設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則，正六棱柱的體積，當且僅當，即時，等號成立，此時正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點，其半徑為，∴外接球的表面積為．故答案為：．3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由正弦定理及得，，即．再由正弦定理可得．由余弦定理得，,即，故；（2）由及，可得．由得，所以．在中，所以．所以．當且僅當，即時等號成立．故面積的最大值為1．（2023·河南·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積，則邊a的最小值為_______．【答案】2【分析】由正弦定理化簡已知條件可推得，.根據(jù)，可求得，.由面積公式可求得，根據(jù)余弦定理可得出，由基本不等式，即可得出，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，，.由已知可得，，所以.又，所以，所以.因為，所以，.因為的面積，所以.由余弦定理可得，，當且僅當時，等號成立.所以，，的最小值為.故答案為：.．2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓，點是橢圓C在第一象限上的一個動點，點，，分別是點關(guān)于y軸、原點和x軸的對稱點，當四邊形的面積最大時，線段，經(jīng)過橢圓C的右焦點.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知過點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓C的上頂點為B，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，則，，，所以四邊形是矩形.因為在橢圓C上，則，所以，即，所以四邊形的面積，僅當，即時四邊形的面積取得最大值2ab.因為此時線段經(jīng)過橢圓C的右焦點，所以，即，所以.（2）由（1）知：，b=c，，可設(shè)橢圓C的方程為，設(shè)過點的直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去y并整理，得.設(shè)，，則，又到直線l的距離，所以.令，，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故的最大值為.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，且點在直線上，，是數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，是否存在最大的整數(shù)p，使得對于任意的，均有？若存在，求出p的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，4【詳解】（1）由題意知，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，故.（2）存在，由（1）知：，所以，，所以數(shù)列是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列，則，所以，當且僅當，即時等號成立.所以，解得，因此，當時最大整數(shù)p的值為4.高考模擬練習(xí)1．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】過點作的垂線，垂足為，如圖所示因為，所以.設(shè)，則，，所以．當時等號成立．當時，的最大值是.故選：D.2．（2023·河南·統(tǒng)考二模）已知底面邊長為1的正三棱柱既有外接球也有內(nèi)切球,圓錐SO是三棱柱的外接圓錐,且三棱柱的一個底面在該圓錐的底面上,則該外接圓錐的軸截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖1,由三棱柱既有外接球又有內(nèi)切球,可知三棱柱的高等于內(nèi)切球直徑,而內(nèi)切球半徑等于底面內(nèi)切圓半徑,即.如圖2,三角形是圓錐的軸截面,四邊形是三棱柱的外接圓柱的軸截面,為中點,則,設(shè),則由得,整理得,所以軸截面的面積當且僅當時等號成立,即軸截面的面積最小值為:,故選:C.3．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且為與中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵當時，則，可得；當時，則，可得；∴當時，，故原題意等價于對恒成立，整理得，∵，則，可得，故原題意等價于對恒成立，構(gòu)建，可知開口向上，對稱軸，可得，或，或，解得，所以a的取值范圍為.故選：A.4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若，，，滿足，但，，不成立，A選項錯誤；，，則有，即，B選項正確；，當時，不成立，C選項錯誤；當時，，則D選項錯誤.故選：B（多選）5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知a，b，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．【答案】BC【詳解】對于A項，例如，，，滿足，，但不滿足，故A項不成立；對于B項，因為,，，所以冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故B項正確；對于C項，因為，，，所以，當且僅當時等號成立，故C項正