PAGEPAGE1第七講分布列與其他學(xué)問的綜合運用【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一與函數(shù)的綜合【例1】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”．其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①依據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費；②行駛時間不超過分時，按元/分計費；超過分時，超出部分按元/分計費．已知王先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間(分)是一個隨機變量．現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布狀況如下表所示：時間（分）頻數(shù)2182010將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分．（1）寫出王先生一次租車費用（元）與用車時間（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求的分布列和期望；（3）若公司每月給1000元的車補，請估計王先生每月（按22天計算）的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由．（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）【答案】(1)(2)見解析(3)估計王先生每月的車補夠上下班租用新能源分時租賃汽車用【解析】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，.得：（2）王先生租用一次新能源分時租賃汽車，為“路段暢通”的概率可取，，，.，，的分布列為或依題意，（3）王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班，平均用車時間（分鐘），每次上下班租車的費用約為（元）一個月上下班租車費用約為，估計王先生每月的車補夠上下班租用新能源分時租賃汽車用．【舉一反三】1．為普及科學(xué)學(xué)問，提高全民科學(xué)參與度，某科技館舉辦了嬉戲科普有獎活動，設(shè)置了甲、乙兩種嬉戲方案，詳細規(guī)則如下：玩一次甲嬉戲，若綠燈閃亮，獲得70分；若黃燈閃亮，則獲得10分；若紅燈閃亮，則扣除20分（即獲得-20分），綠燈，黃燈及紅燈閃亮的概率分別為，，；玩一次乙嬉戲，若出現(xiàn)音樂，則獲得80分；若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20分（即獲得-20分），出現(xiàn)音樂的概率為.每位顧客能參與兩次甲嬉戲或兩次乙嬉戲（兩次嬉戲中甲、乙不能同時參與，只能選擇其一）且每次嬉戲互不影響.若兩次嬉戲后獲得的分數(shù)為正，則獲得獎品；若獲得的分數(shù)為負，則沒有獎品.⑴若，試問顧客選擇哪種嬉戲更簡單獲得獎品？請說明理由.⑵當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，顧客參與兩次乙嬉戲后取得的平均分更高？【答案】（1）顧客選擇乙嬉戲更簡單獲得獎品.（2）【解析】設(shè)顧客參與兩次甲嬉戲后，獲得的分數(shù)為，設(shè)顧客參與兩次乙嬉戲后，獲得的分數(shù)為.（1）當(dāng)取值為140，80，50，20時，顧客參與兩次甲嬉戲后可以獲得獎品，由條件得，，.記事務(wù)為“顧客參與兩次甲嬉戲后獲得獎品”，則.當(dāng)取值為160，60時，顧客參與兩次乙嬉戲后可以獲得獎品，由條件得，.記事務(wù)為“顧客參與兩次乙嬉戲后獲得獎品”，則，因為，所以當(dāng)時，顧客選擇乙嬉戲更簡單獲得獎品.（2）由題意可知，的可能取值為140，80，50，20，-10，-40，則隨機變量的分布列為140805020-10-40于是.由條件知，的可能取值為160，60，-40，故隨機變量的分布列為16060-40于是.為滿意題設(shè)條件只需，即，解得，故的取值范圍是.2．某商場準(zhǔn)備在今年的“五一假”期間對顧客實行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了兩種抽獎方案，方案的中獎率為，中獎可以獲得分;方案的中獎率為,中獎可以獲得分；未中獎則不得分，每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，并憑分數(shù)兌換獎品，（1）若顧客甲選擇方案抽獎，顧客乙選擇方案抽獎，記他們的累計得分為，若的概率為，求（2）若顧客甲、顧客乙兩人都選擇方案或都選擇方案進行抽獎，問:他們選擇何種方案抽獎，累計得分的均值較大?【答案】（1）（2）當(dāng)時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大；當(dāng)時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大；當(dāng)時，他們都選擇方案或都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值相等【解析】（1）由已知得，甲中獎的概率為，乙中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這人的累計得分”的事務(wù)為，則事務(wù)的對立事務(wù)為“”（2）設(shè)甲、乙都選擇方案抽獎的中獎次數(shù)為，都選擇方案抽獎的中獎次數(shù)為則這兩人選擇方案抽獎累計得分的均值為，選擇方案抽獎累計得分的均值為由已知可得：，，，若，則若，則若，則綜上所述：當(dāng)時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大當(dāng)時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大當(dāng)時，他們都選擇方案或都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值相等考向二與導(dǎo)數(shù)綜合【例2】今年3月5日，國務(wù)院總理李克強作的政府工作報告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”.教化部日前公布的《教化部2024年部門預(yù)算》中透露，2024年教化部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元.國務(wù)院學(xué)位委員會、教化部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢方法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議看法為“不合格”的學(xué)位論文，將認定為“存在問題學(xué)位論文”.有且只有1位專家評議看法為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進得復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上（含1位）專家評議看法為“不合格”的學(xué)位論文，將認定為“存在問題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為，且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”相互獨立.（1）記一篇抽檢的學(xué)位論文被認定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，求；（2）若擬定每篇抽檢論文不須要復(fù)評的評審費用為900元，須要復(fù)評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元.現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預(yù)算？并說明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案實施，不會超過預(yù)算.【解析】（1）因為一篇學(xué)位論文初評被認定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，一篇學(xué)位論文復(fù)評被認定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為，所以一篇學(xué)位論文被認定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為.（2）設(shè)每篇學(xué)位論文的評審費為元，則的可能取值為900，1500.，，所以.令,.當(dāng)時，，在單調(diào)遞增,當(dāng)時，，在單調(diào)遞減,所以的最大值為.所以實施此方案，最高費用為（萬元）.綜上，若以此方案實施，不會超過預(yù)算.【舉一反三】1．某家畜探討機構(gòu)發(fā)覺每頭成年牛感染H型疾病的概率是，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨立．（1）記頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，求當(dāng)概率取何值時，有最大值？（2）若以（1）中確定的值作為感染H型疾病的概率，設(shè)頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，求當(dāng)為何值時，有最大值？【答案】（1）當(dāng)概率時，有最大值；（2）當(dāng)時，有最大值．【解析】（1）依題意，頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是，且．則有，令，結(jié)合，解得．則當(dāng)時，；當(dāng)時，．即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)概率時，有最大值．（2）頭成年牛中恰有頭感染H型疾病的概率是（），由（1）知，所以，所以當(dāng)，即時，，，當(dāng)，即（，且）時，，于是，所以當(dāng)時，有最大值．考向三與數(shù)列綜合【例3】《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從年高考起先，高考物理、化學(xué)等六門選考科目的考生原始成果從高到低劃分為八個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為.選考科目成果計入考生總成果時，將至等級內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成果.某校級學(xué)生共人，以期末考試成果為原始成果轉(zhuǎn)換了本校的等級成果，為學(xué)生合理選科供應(yīng)依據(jù)，其中物理成果獲得等級的學(xué)生原始成果統(tǒng)計如下成果93919088878685848382人數(shù)1142433327（1）從物理成果獲得等級的學(xué)生中任取名，求恰好出名同學(xué)的等級分數(shù)不小于的概率;（2）待到本級學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機抽取學(xué)生，直到抽到名同學(xué)的物理高考成果等級為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學(xué)生個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望(注:).【答案】(1)0.29(2)見解析【解析】（1）設(shè)物理成果獲得等級的學(xué)生原始成果為，其等級成果為.由轉(zhuǎn)換公式，得.由，得.明顯原始成果滿意的同學(xué)有人，獲得等級的學(xué)生有人，恰好出名同學(xué)的等級分數(shù)不小于的概率為：.（2）由題意得，隨機抽取人，其等級成果為或的概率為.學(xué)生個數(shù)的可能取值為；，，，；其數(shù)學(xué)期望是：其中：①②應(yīng)用錯位相減法“①式-②式”得：故.【舉一反三】1．已知，，，…，等10所高校實行自主招生考試，某同學(xué)參與每所高校的考試獲得通過的概率均為.（1）假如該同學(xué)10所高校的考試都參與，恰有所通過的概率為，當(dāng)為何值時，取得最大值；（2）若，該同學(xué)參與每所高校考試所需的費用均為元，該同學(xué)確定按，，，…，依次參與考試，一旦通過某所高校的考試，就不再參與其它高校的考試，否則，接著參與其它高校的考試，求該同學(xué)參與考試所需費用的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）當(dāng)時，取得最大值；（2）見解析【解析】（1）因為該冋學(xué)通過各?？荚嚨母怕示鶠?，所以該同學(xué)恰好通過所高校自主招生考試的概率為當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；所以當(dāng)時，取得最大值.（2）設(shè)該同學(xué)共參與了次考試的概率為.∵，∴所以該同學(xué)參與考試所需費用的分布列如下：所以，令，①則，②由①-②得，所以，所以（元）.考向四與空間幾何綜合【例4】已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）從5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，共有種取法.其中的三角形如，這類三角形共有個.因此.（2）由題意，的可能取值為，2，.其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個；其中的三角形有兩個，和.因此，.所以隨機變量的概率分布列為：2所求數(shù)學(xué)期望.【舉一反三】1.某縣大潤發(fā)超市為了惠顧新老顧客，確定在2024年元旦來臨之際實行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設(shè)計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面對該縣某中學(xué)學(xué)生征集活動方案.該中學(xué)某班數(shù)學(xué)愛好小組供應(yīng)的方案獲得了征用.方案如下：將一個的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為，記抽獎中獎的禮金為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦當(dāng)天在超市購買物品的顧客，均可參與抽獎.記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元禮品，其他狀況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）；（II）詳見解析.【解析】（Ⅰ）64個小正方體中，三面著色的有8個，二面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，∴.（Ⅱ）的全部可能取值為0，1，2，3，4，5，6，的取值為50，30，10，0，.5030100考向五與幾何概型幾何【例5】．Monte-Carlo方法在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用．下面利用Monte-Carlo方法來估算定積分．考慮到等于由曲線，軸，直線所圍成的區(qū)域的面積，如圖，在外作一個邊長為1正方形OABC．在正方形OABC內(nèi)隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為，此即為定積分的估計值．現(xiàn)向正方形OABC中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．（1）求X的期望和方差；（2）求用以上方法估算定積分時，的估計值與實際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率．附表：1899190019012099210021010.00580.00620.00670.99330.99380.9942【答案】（1）；（2）0.9871.【解析】(1)依題意，每個點落入中的概率為，，所以.(2)依題意，所求概率為.【舉一反三】1．2014年7月18日15時，超強臺風(fēng)“威馬遜”登陸海南省.據(jù)統(tǒng)計，本次臺風(fēng)造成全省干脆經(jīng)濟損失119.52億元，適逢暑假，小明調(diào)查住在自己小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失，作出如下頻率分布直方圖：經(jīng)濟損失4000元以下經(jīng)濟損失4000元以上合計捐款超過500元30捐款低于500元6合計（1）臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款狀況如上表，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？（2）臺風(fēng)造成了小區(qū)多戶居民門窗損壞，若小區(qū)全部居民的門窗均由李師傅和張師傅兩人進行修理，李師傅每天早上在7:00到8:00之間的隨意時刻來到小區(qū)，張師傅每天早上在7:30到8:30分之間的隨意時刻來到小區(qū)，求連續(xù)3天內(nèi)，李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：臨界值表2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001參考公式：，.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）如下表：經(jīng)濟損失4000元以下經(jīng)濟損失4000元以上合計捐款超過500元30939捐款低于500元5611合計351550.所以有以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān).（2）設(shè)李師傅、張師傅到小區(qū)的時間分別為，，則可以看成平面中的點.試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，則，事務(wù)表示“李師傅比張師傅早到小區(qū)”，所構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分面積為，所以，連續(xù)3天內(nèi)，李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)記為，則，.【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．某工廠預(yù)購買軟件服務(wù)，有如下兩種方案：方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠元，對于供應(yīng)的軟件服務(wù)每次元；方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠元，若每日軟件服務(wù)不超過次，不另外收費，若超過次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費標(biāo)準(zhǔn)為元．（1）設(shè)日收費為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；（2）該工廠對過去天的軟件服務(wù)的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由．【答案】(1)方案一中:,方案二：.(2)從節(jié)約成本的角度考慮，選擇方案一.【解析】（1）由題可知，方案一中的日收費與的函數(shù)關(guān)系式為方案二中的日收費與的函數(shù)關(guān)系式為.（2）設(shè)方案一種的日收費為，由條形圖可得的分布列為1902002102202300.10.40.10.20.2所以（元）方案二中的日收費為，由條形圖可得的分布列為2002202400.60.20.2（元）所以從節(jié)約成本的角度考慮，選擇方案一.2．某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），己知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元.現(xiàn)統(tǒng)計甲、乙兩市場以往100個銷售周期該蔬菜的市場需求量的頻數(shù)分布，如下表:以市場需求量的頻率代替需求量的概率.設(shè)批發(fā)商在下個銷售周期購進噸該蔬菜，在甲、乙兩市場同時銷售，以（單位：噸）表示下個銷售周期兩市場的需求量，(單位：元）表示下個銷售周期兩市場的銷售總利潤.(Ⅰ)當(dāng)時，求與的函數(shù)解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的槪率；(Ⅱ)以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，推斷與應(yīng)選用哪—個.【答案】(Ⅰ)解析式見解析；槪率為0.71；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)，；當(dāng)，，所以與的函數(shù)解析式為.由題意可知，一個銷售周期內(nèi)甲市場需求量為8,9,10的概率分別為0.3,0.4,0.3；乙市場需求量為8，9，10的概率分別為0.2，0.5，0.3.設(shè)銷售的利潤不少于8900元的事務(wù)記為.當(dāng)，，當(dāng)，，解得，所以．由題意可知，；；所以.(Ⅱ)由題意得，，，，．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．因為，所以應(yīng)選．3．某工廠的機器上存在一種易損元件，這種元件發(fā)生損壞時，須要剛好修理.現(xiàn)有甲、乙兩名工人同時從事這項工作，下表記錄了某月1日到10日甲、乙兩名工人分別修理這種元件的件數(shù).日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲修理的元件數(shù)3546463784乙修理的元件數(shù)4745545547（1）從這天中，隨機選取一天，求甲修理的元件數(shù)不少于5件的概率；（2）試比較這10天中甲修理的元件數(shù)的方差與乙修理的元件數(shù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）；（3）由于甲、乙的任務(wù)量大，擬增加工人，為使增加工人后平均每人每天修理的元件不超過3件，請利用上表數(shù)據(jù)估計最少須要增加幾名工人.【答案】（1）；（2）；（3）為使增加工人后平均每人每天修理的元件不超過3件，至少應(yīng)增加2名工人.【解析】（1）設(shè)A表示事務(wù)“從這10天中，隨機選取一天，甲修理元件數(shù)不少于5”．依據(jù)題意，．（2）．（3）設(shè)增加工人后有n名工人．因為每天修理的元件的平均數(shù)為：．所以這n名工人每天修理的元件的平均數(shù)為．令．解得．所以n的最小值為4．為使增加工人后平均每人每天修理的元件不超過3件，至少應(yīng)增加2名工人．4．設(shè)袋子中裝有個紅球，個黃球，個籃球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個籃球得3分．（Ⅰ）當(dāng)，，時，從該袋子中任取（有放回，且每球取到的機會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；（Ⅱ）從該袋中任?。壳蛉〉降臋C會均等）1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)．若，，求．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意得取2，3，4，5，6．故，，，，．所以的分布列為23456（Ⅱ）由題意知的分布列為123所以，．解得，，故5．某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個蛋糕成本3元，且以8元的價格出售，若當(dāng)天賣不完，剩下的則無償捐獻給飼料加工廠。依據(jù)以往100天的資料統(tǒng)計，得到如下需求量表。該蛋糕店一天制作了這款蛋糕個，以（單位：個，，）表示當(dāng)天的市場需求量，（單位：元）表示當(dāng)天出售這款蛋糕獲得的利潤.需求量/個天數(shù)1525302010（1）當(dāng)時，若時獲得的利潤為，時獲得的利潤為，試比較和的大??；（2）當(dāng)時，依據(jù)上表，從利潤不少于570元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取6天.（i）求此時利潤關(guān)于市場需求量的函數(shù)解析式，并求這6天中利潤為650元的天數(shù)；（ii）再從這6天中抽取3天做進一步分析，設(shè)這3天中利潤為650元的天數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1).(2)（i）3;（ii）見解析.【解析】（1）時，元；時，元，∴；（2）（i）當(dāng)時，利潤，當(dāng)時，即，即，又，所以利潤不少于570元時，需求量，共有60天，按分層抽樣抽取，則這6天中利潤為650元的天數(shù)為.（ii）由題意可知，其中，，，.故的分布列為0123∴.6．甲、乙兩家物流公司都須要進行貨物中轉(zhuǎn)，由于業(yè)務(wù)量擴大，現(xiàn)向社會聘請貨車司機，其日工資方案如下：甲公司，底薪80元，司機毎中轉(zhuǎn)一車貨物另計4元：乙公司無底薪，中轉(zhuǎn)40車貨物以內(nèi)（含40車）的部分司機每車計6元，超出40車的部分司機每車計7元．假設(shè)同一物流公司的司機一填中轉(zhuǎn)車數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名貨車司機，并分別記錄其50天的中轉(zhuǎn)車數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205（1）現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車數(shù)中隨機抽取3天的中轉(zhuǎn)車數(shù)，求這3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司貨車司機日工資為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；②小王準(zhǔn)備到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘，假如僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為小王作出選擇，并說明理由．【答案】（1）；（2）①見解析，②若從日工資的角度考慮，小王應(yīng)當(dāng)選擇乙公司【解析】（1）設(shè)“這三天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不小于40”的事務(wù)為A，則P（A）==．（2）①設(shè)乙公司貨車司機中轉(zhuǎn)貨車數(shù)為t，則X=，則X的全部取值分別為228，234，240，247，254，其分布列為：日工資

228

234

240

247

254概率P

∴E（X）=228×+234×+240×+247×+254×=241.8．②設(shè)甲公司貨車司機日工資為Y，日中轉(zhuǎn)車數(shù)為μ，則Y=4μ+80，則Y的全部可能取值為232，236，240，244，248，則分布列為：日工資

232

236

240

244

248概率P

E（Y）=+248×=238.8．由E（X）＞E（Y），知：若從日工資的角度考慮，小王應(yīng)當(dāng)選擇乙公司．7．某食品公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的零售食品，從產(chǎn)品中抽取200件作為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖可認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值聽從正態(tài)分布，試計算這批產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值落在上的件數(shù)；（3）設(shè)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為，質(zhì)量指標(biāo)值為，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值滿意函數(shù)關(guān)系式，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的右端點代替，試計算生產(chǎn)該食品的平均成本.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】（1）0.033；（2）68；（3）84.52【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.（2）由于，則，，所以，于是，.又因為，所以，于是.故這批產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值落在上的件數(shù)大約為.（3）由頻率分布直方圖和題設(shè)條件可得產(chǎn)品的成本分組及其頻率分布表如下：組號1234567分組頻率0.020.090.220.330.240.080.02依據(jù)題意，生產(chǎn)該食品的平均成本：.8．某社區(qū)舉辦北京奧運學(xué)問宣揚活動，現(xiàn)場的“抽卡有獎嬉戲”特殊引人注目，嬉戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形態(tài)大小相同的精致卡片，卡片上分別印有“奧運福娃”或“奧運會徽”，要求4人一組參與嬉戲，參與嬉戲的4人從盒子中輪番抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2張“奧運福娃”卡才能得到獎并終止嬉戲。（1）嬉戲起先之前，一位中學(xué)生問：盒子中有幾張“奧運會徽”卡？主持人說：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運會徽”卡的概率為，請你回答有幾張“奧運會徽”卡呢？（2）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4人參與嬉戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人獲獎終止嬉戲時總共抽取卡片的次數(shù)，求的概率分布及的數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮浚?）3；（2）見解析【解析】（1）設(shè)盒子中有“會徽卡”n張，依題意有，,解得n=3，即盒中有“會徽卡”3張.（2）因為表示某人一次抽得2張“福娃卡”終止時，全部人共抽取了卡片的次數(shù)，所以的全部可能取值為1，2，3，4，；；；；概率分布表為：1234P的數(shù)學(xué)期望為.9．隨著國內(nèi)電商的不斷發(fā)展，快遞業(yè)也進入了高速發(fā)展時期，依據(jù)國務(wù)院的發(fā)展戰(zhàn)略布局，以及國家郵政管理總局對快遞業(yè)的宏觀調(diào)控，SF快遞收取快遞費的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1kg的包袱收費10元；重量超過1kg的包袱，在收費10元的基礎(chǔ)上，每超過1kg（不足1kg，按1kg計算）需再收5元.某縣SF分代辦點將最近承攬的100件包袱的重量統(tǒng)計如下：重量（單位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]件數(shù)43301584對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500件數(shù)50150250350450天數(shù)663016以上數(shù)據(jù)已做近似處理，將頻率視為概率.（1）計算該代辦點將來5天內(nèi)不少于2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計該代辦點對每件包袱收取的快遞費的平均值；②依據(jù)以往的閱歷，該代辦點將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費用.目前該代辦點前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資110元.代辦點正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后代辦點每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？【答案】（1）（2）①15，②代辦點不應(yīng)將前臺工作人員裁員1人【解析】（1）由題意，可得樣本中包袱件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率，故可估計概率為，明顯將來5天中，包袱件數(shù)在101~300之間的天數(shù)聽從二項分布，即，故所求概率為.（2）①樣本中快遞費用及包袱件數(shù)如下表：包袱重量（單位：kg）12345快遞費（單位：元）1015202530包袱件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為，故估計該代辦點對每件快遞收取的費用的平均值為15元.②代辦點不應(yīng)將前臺工作人員裁員1人，理由如下：依據(jù)題意及（2）①，攪件數(shù)每增加1，代辦點快遞收入增加15（元），若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，代辦點每日攬件數(shù)狀況如下：包袱件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500包袱件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.1EY故代辦點平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，代辦點每日攬件數(shù)狀況如下：包袱件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500包袱件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.1EY則代辦點平均每日利潤的期望值為（元），故代辦點不應(yīng)將前臺工作人員裁員1人.10．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每虧損300元，依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了的該農(nóng)產(chǎn)品，以（單位：）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）依據(jù)直方圖估計下一個銷售季度市場需求量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若，則取，且的概率等于需求量落入的頻率，）求利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；；；（2）詳見解析.【解析】（1）,，，（2），利潤的分布列為4800056000600000.10.20.7（元）.11．某居民區(qū)有一個銀行網(wǎng)點（以下簡稱“網(wǎng)點”），網(wǎng)點開設(shè)了若干個服務(wù)窗口，每個窗口可以辦理的業(yè)務(wù)都相同，每工作日起先辦理業(yè)務(wù)的時間是8點30分，8點30分之前為等待時段.假設(shè)每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率都相等，且每位儲戶是否在該時段到網(wǎng)點相互獨立.依據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計了各工作日在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)的平均值；（2）假設(shè)網(wǎng)點共有1000名儲戶，將頻率視作概率，若不考慮新增儲戶的狀況，解決以下問題：①試求每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率；②儲戶都是依據(jù)進入網(wǎng)點的先后依次，在等候人數(shù)最少的服務(wù)窗口排隊辦理業(yè)務(wù).記“每工作日上午8點30分時網(wǎng)點每個服務(wù)窗口的排隊人數(shù)（包括正在辦理業(yè)務(wù)的儲戶）都不超過3”為事務(wù)，要使事務(wù)的概率不小于0.75，則網(wǎng)點至少需開設(shè)多少個服務(wù)窗口？參考數(shù)據(jù)：；；；.【答案】（1）10（2）①0.01②4【解析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖，各組的頻率依次為：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，故所求的平均值為：.即每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)的平均值為10.（2）①設(shè)在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)為，每位儲戶到網(wǎng)點辦理業(yè)務(wù)的概率為，則，所以的數(shù)學(xué)期望，將頻率視作概率，依據(jù)（1）的結(jié)論，所以，解得.即每位儲戶在等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的概率為0.01.②由①知，，則.設(shè)網(wǎng)點共開設(shè)了個服務(wù)窗口，則事務(wù)即“每工作日等待時段到網(wǎng)點等待辦理業(yè)務(wù)的儲戶人數(shù)不超過”，其概率為，所以滿意的最小正整數(shù)，即為所求.因為，，所以，即為的最小值.所以依據(jù)要求，網(wǎng)點至少需開設(shè)4個服務(wù)窗口.12．某快餐連鎖店聘請外賣騎手，該快餐連鎖店供應(yīng)了兩種日工資方案：方案(a)規(guī)定每日底薪50元，快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元；方案(b)規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成，從第45單起先，每完成一單提成5元，該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案（a）的概率為，選擇方案（b）的概率為．若甲、乙、丙三名騎手分別到該快餐連鎖店應(yīng)聘，三人選擇日工資方案相互獨立，求至少有兩名騎手選擇方案(a)的概率；（3）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由．（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)（Ⅲ）見解析【解析】(Ⅰ)設(shè)事務(wù)為“隨機選取一天，這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單”依題意，連鎖店的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單的頻率分別為：因為所以估計為.(Ⅱ)設(shè)事務(wù)為“甲、乙、丙三名騎手中至少有兩名騎手選擇方案（1）”設(shè)事務(wù)為“甲乙丙三名騎手中恰有人選擇方案（1）”，則，所以三名騎手中至少有兩名騎手選擇方案（1）的概率為（Ⅲ）設(shè)騎手每日完成快遞業(yè)務(wù)量為件方案（1）的日工資，方案（2）的日工資所以隨機變量的分布列為；同理隨機變量的分布列為因為，所以建議騎手應(yīng)選擇方案（1）13．某項探討性課題由一個團隊完成，團隊由一個主持人和若干個助手組成，助手分固定和臨時兩種，每個固定助手的工資為3000元/月，當(dāng)固定助手人手不夠時，須要聘請臨時助手，每個臨時助手的工資為4000元/月，現(xiàn)在搜集并整理了以往的20個團隊須要的助手數(shù)；得到如圖柱狀圖．記n為供應(yīng)應(yīng)一個團隊的固定助手數(shù)（供應(yīng)的每個固定助手均按3000元/月的標(biāo)準(zhǔn)支付工資）．x為一個團隊須要的助手數(shù)，y為支付給一個團隊的助手的月工資總額（單位：元）（Ⅰ）當(dāng)n=4時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）假設(shè)這20個團隊中的每一個團隊都供應(yīng)4個固定助手或都供應(yīng)5個固定助手，分別計算這20個團隊每月支付給助手的工資總額，以此作為決策依據(jù)，推斷每一個團隊供應(yīng)4個固定助手劃算還是供應(yīng)5個固定助手劃算；（Ⅲ）以這20個團隊須要助手數(shù)的頻率代替一個團隊須要助手數(shù)的概率，若40個團隊中須要5個以下（不包括5個）助手數(shù)的團隊個數(shù)記為X，求E（X）．【答案】（Ⅰ）y=；（Ⅱ）供應(yīng)4個；（Ⅲ）12【解析】（Ⅰ）當(dāng)n=4時，x≤4時，y=4×3000=12000，4＜x≤6時，y=12000+4000（x-4）=4000x-4000，∴當(dāng)n=4時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=．（單位：元）（Ⅱ）由題意得每個團隊須要的助手個數(shù)X分別為3，4，5，6，P（X=3）=，P（X=4）==0.2，P（X=5）=，P（X=6）==0.4，當(dāng)每一個團隊供應(yīng)4個固定助手時，這20個團隊每月支付給助手的工資總額：Y1=20[（0.1+0.2）×12000+0.3×（4000×5-4000）+0.4×（4000×6-4000）]=328000（元），當(dāng)每一個團隊供應(yīng)5個固定助手時，這20個團隊每月支付給助手的工資總額：Y2=20[（0.1+0.2+0.3）×15000+0.4×（15000+4000）]=332000（元），∵Y1＜Y2，∴每一個團隊供應(yīng)5個固定助手劃算．（Ⅲ）40個團隊中須要5個以下（不包括5個）助手數(shù)的團隊個數(shù)記為X，E（X）=40[（P（X=3）+P（X=4）]=40（0.1+0.2）=12．14．某機器生產(chǎn)商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保修理方案：方案一：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費修理次，超過次每次收取修理費元;方案二：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費修理次，超過次每次收取修理費元.某工廠準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)修理的次數(shù)，統(tǒng)計得下表：修理次數(shù)0123機器臺數(shù)20104030以上臺機器修理次數(shù)的頻率代替一臺機器修理次數(shù)發(fā)生的概率，記表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需修理的次數(shù).求的分布列；以所需延保金與修理費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】（1）全部可能的取值為，，，，，，的分布列為（2）選擇延保方案一，所需費用元的分布列為：(元)選擇延保方案二，所需費用元的分布列為：(元)當(dāng)，即時，選擇方案二當(dāng)，即時，選擇方案一，方案二均可當(dāng)，即時，選擇方案一15．一個經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從云南鮮花基地空運固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費分贈給其次天購花顧客，假如不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應(yīng)商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預(yù)料四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，請依據(jù)（Ⅰ）中頻率分布直方圖（同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率）：（1）寫出四月后20天每天百合花需求量的分布列；（2）若百合花進貨價格與售價均不變，微店從四月十一日起，每天從云南固定空運支百合花，當(dāng)為多少時，四月后20天每天百合花銷售利潤（單位：元）的期望值最大？【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（1）見解析（2）每天空運245支百合，四月后20天每天百合銷售利潤的期望值最大【解析】（I）四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255，平均數(shù)頻率分布直方圖補充如下：（II）（1）由（I）頻率分布直方圖知，分布列為245255265P0.10.30.40.2（2）①，，，，②，，，，③，，，，時，（元）.故每天空運245支百合，四月后20天每天百合銷售利潤的期望值最大.16．“工資條里顯紅利,個稅新政人民心”.隨著2024年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2024年1月1日實施的個稅新政主要內(nèi)容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點－專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括住房、子女教化和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下：舊個稅稅率表(個稅起征點3500元)新個稅稅率表(個稅起征點5000元)繳稅級數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點稅率(%)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點-專項附加扣除稅率(%)1不超過1500元部分3不超過3000元部分32超過1500元至4500元部分10超過3000元至12000元部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元部分30超過35000元至55000元部分30···············隨機抽取某市1000名同一收入層級的從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計分析,預(yù)估他們2024年的人均月收入24000元.統(tǒng)計資料還表明,他們均符合住房專項扣除；同時,他們每人至多只有一個符合子女教化扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教化扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教化扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教化扣除、即符合子女教化扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1；此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1000元/月,子女教化每孩1000元/月,贍養(yǎng)老人2000元/月等。假設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除,將預(yù)估的該市該收入層級的從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.依據(jù)樣本估計總體的思想,解決如下問題：（1）設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者2024年月繳個稅為元,求的分布列和期望；（2）依據(jù)新舊個稅方案,估計從2024年1月起先，經(jīng)過多少個月,該市該收入層級的從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2024年的月收入？【答案】（1）見解析（2）經(jīng)過12個月，該收入層級的從業(yè)者少繳交的個稅的總和就超過2024年的月收入【解析】（1）既不符合子女教化扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個稅；只符合子女教化扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個稅；只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教化扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個稅；既符合子女教化扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個稅；所以的可能值為2190，1990，1790，1590,依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是2:1:1:1，所以，，，.,所以的分布列為2190199017901590所以..（2）因為在舊政策下該收入層級的從業(yè)者2024年每月應(yīng)納稅所得額為，其月繳個稅為,因為在新政策下該收入層級的從業(yè)者2024年月繳個稅為1950，所以該收入層級的從業(yè)者每月少繳交的個稅為.,設(shè)經(jīng)過個月，該收入層級的從業(yè)者少繳交的個稅的總和就超過24000，則，因為，所以,所以經(jīng)過12個月，該收入層級的從業(yè)者少繳交的個稅的總和就超過2024年的月收入.17．