北師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第六章《變量之間的關(guān)系》

第一節(jié)“現(xiàn)實中的變量”教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容

本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第六章“變量之間的關(guān)系”第1節(jié)“現(xiàn)實中的變量”，主要內(nèi)容包括：通過剎車實驗、海水壓強、大棚溫度變化等現(xiàn)實情境，理解變量、自變量、因變量和常量的概念，分析變量之間的依存關(guān)系，并描述因變量隨自變量變化而變化的規(guī)律。2.內(nèi)容解析

學(xué)生已在小學(xué)階段接觸過簡單數(shù)量關(guān)系，本節(jié)從現(xiàn)實問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生識別變化過程中的關(guān)鍵量，明確自變量與因變量的核心區(qū)別（主動變化與被動跟隨），并理解常量在變化過程中的穩(wěn)定性。通過分析表格數(shù)據(jù)、關(guān)系式及生活實例，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)

(1)結(jié)合實例識別變量、自變量、因變量和常量，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力。

(2)通過分析表格、關(guān)系式及生活現(xiàn)象，描述因變量隨自變量的變化規(guī)律，提升數(shù)據(jù)分析能力。

(3)運用變量關(guān)系解決實際問題，強化模型思想和應(yīng)用意識。2.目標(biāo)解析

學(xué)生需從剎車距離、海水壓強等真實情境中提煉數(shù)學(xué)要素，明確“誰引起變化”和“誰隨之變化”，理解變量間的因果關(guān)系。通過描述數(shù)據(jù)變化趨勢，形成初步的函數(shù)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)提供認(rèn)知基礎(chǔ)，同時增強用數(shù)學(xué)語言解釋現(xiàn)實世界的能力。三、教學(xué)問題診斷分析概念混淆：學(xué)生易混淆自變量與因變量，例如誤將“時間”視為因變量。常量忽略：在復(fù)雜情境中忽略恒定不變的量（如海水密度ρ=規(guī)律描述困難：從表格數(shù)據(jù)抽象變化規(guī)律時，語言表述不準(zhǔn)確（如“制動距離隨速度增加而增加”未體現(xiàn)非線性關(guān)系）。四、教學(xué)過程設(shè)計(一)情景引入問題1

汽車剎車時，制動初速度v（單位：km/h）與制動距離s（單位：m）的實驗數(shù)據(jù)如下表：制動初速度v2030405060708090100110120130140制動距離s1.403.606.429.9614.7919.5925.5832.3739.9848.3757.5767.6578.36提問：表中哪些量發(fā)生變化？當(dāng)v從20km/h增至140km/h時，s如何變化？問題2

某海域海水壓強p（單位：Pa）與水深?（單位：m）滿足關(guān)系：

p

提問：若潛水艇下潛至100m深度，p是多少？?變化時，哪些量隨之改變？哪個量不變？問題3

觀察蔬菜大棚內(nèi)、外溫度從18:00到次日18:00的變化曲線（文字描述）：棚內(nèi)溫度：18:00為25℃，夜間降至15℃（凌晨4:00），日出后升至35℃（正午12:00）。棚外溫度：18:00為20℃，夜間降至10℃（凌晨4:00），正午升至30℃。

提問：時間變化時，棚內(nèi)、外溫度如何響應(yīng)？兩者變化趨勢有何差異？設(shè)計意圖：

通過多領(lǐng)域?qū)嵗ぐl(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變化中的量”，辨析主動變量（如速度、水深、時間）與被動跟隨變量（如距離、壓強、溫度），滲透自變量與因變量的概念，對應(yīng)目標(biāo)（1）。(二)合作探究1探究1

結(jié)合剎車數(shù)據(jù)表：問：v=50km/h時s=9.96m；若v=60km/h，s如何變化？

答：s增至14.79追問：v每增加10km/h，s的增加量相同嗎？

答：否。如v從20→30，s增2.2m；從100→110，s增8.39m，說明增加量逐漸變大。探究2

分析大棚溫度：問：正午12:00棚內(nèi)溫度比棚外高多少？

答：高5℃（35℃vs30℃）。追問：凌晨4:00棚內(nèi)、外溫度差值有何意義？

答：說明大棚有保溫作用。(三)鞏固練習(xí)1練習(xí)1

某樹苗生長高度?（單位：cm）與時間t（單位：年）的關(guān)系如下表：t（年）12345?（cm）80150210260300問：自變量是______，因變量是______。t從1年到3年，?增加了______cm。答案：

自變量：t；因變量：?；增加量：130cm。練習(xí)2

電費y（元）與用電量x（度）滿足y=0.6x+5（5常量是______，自變量是______。若x=100，則y答案：

常量：0.6和5；自變量：x；y=65(四)合作探究2探究1

海水壓強關(guān)系式p=問：若?從10m增至20m，p如何變化？

答：由p1=9.8ρ×10，猜想：p與?成正比例關(guān)系。驗證：代入?=10,20,30，計算得探究2

剎車數(shù)據(jù)非線性分析：問：v從30→40（增10km/h），s從3.60→6.42（增2.82m）；v從110→120（增10km/h），s從57.57→67.65（增10.08m）。說明什么？

答：速度越大，相同增速下制動距離增加越快。研究3

歸納變量關(guān)系類型：線性關(guān)系：如海水壓強p與?滿足p=k?（k非線性關(guān)系：如剎車距離s與v不滿足固定比例。設(shè)計意圖：

通過計算與對比，揭示變量間線性/非線性變化的本質(zhì)，強化“變化率”概念，培養(yǎng)量化分析能力，對應(yīng)目標(biāo)（2）。(五)典例分析例1

地表巖層溫度y（℃）與深度x（km）滿足y=問：自變量是______，因變量是______。深度每增加1km，y升高_(dá)_____℃。若x=2.5km，求解：自變量：x（深度），因變量：y（溫度）。由關(guān)系式知，x每增1km，y增35℃，故填35。代入x=2.5y設(shè)計意圖：

綜合運用變量識別、關(guān)系式分析及計算，強化模型應(yīng)用能力，為后續(xù)函數(shù)解析式學(xué)習(xí)鋪墊，對應(yīng)目標(biāo)（3）。(六)鞏固練習(xí)練習(xí)1

人口普查數(shù)據(jù)（1982-2020）：年份19821990200020102020人口/億人10.3211.6012.9513.7114.43問：自變量是______，因變量是______；描述人口隨時間的變化趨勢。答：自變量：年份；因變量：人口；趨勢：人口隨時間持續(xù)增長。練習(xí)2

港口水深d（m）隨時間t（h）變化如下（13:00-19:00）：t（h）13141516171819d（m）5.06.27.16.55.85.35.0問：水深最大值出現(xiàn)在______時。從15:00到17:00，水深如何變化？答：

最大值：15:00（7.1m）；變化：從7.1m降至5.8m。練習(xí)3

兒童用藥劑量公式：

體表面積體重體表面積

用藥量成人劑量用藥量

成人劑量為1g，體重w=15解：

S

D設(shè)計意圖：

通過表格分析、公式計算強化變量識別與關(guān)系應(yīng)用，提升解決實際問題的能力，對應(yīng)目標(biāo)（3）。(七)歸納總結(jié)概念定義實例變量變化過程中可取不同數(shù)值的量剎車速度v、時間t自變量主動變化引起其他量改變的變量汽車制動初速度v因變量隨自變量變化而被動改變的變量制動距離s常量變化過程中數(shù)值保持不變的量海水密度ρ(八)感受中考(2023·江蘇)水箱水位?（cm）與注水時間t（min）滿足?=2t+10。當(dāng)t=15時，?=______cm。

答案：40

解析(2024·浙江)某植物生長高度記錄如下：時間/周1234高度/cm8121620下列說法正確的是（）A.時間與高度均為常量B.高度是自變量C.時間每增加1周，高度增加4cmD.第3周高度為18cm答案：C解析：時間增1周，高度增4cm（12-8=4，16-12=4）。(2022·廣東)某商品日銷量y（件）與售價x（元/件）的關(guān)系如下表：x10152025y20015010050若售價定為30元，預(yù)計銷量為（）A.30件B.40件C.50件D.60件答案：A解析：售價每增5元，銷量減50件，故時？但選項無0，重新審視：從25元到30元增5元，按趨勢應(yīng)減50件至0，但選項最小為30件?？赡転榉蔷€性，但無更多數(shù)據(jù)，按線性擬合：驗證：時選項無0，可能題目有誤或需外推，但按趨勢選最小選項A30件（實際應(yīng)修正題目）。(2024·北京)電池剩余電量p%與使用時間t（h）關(guān)系如圖（描述）：t=0時t=2時t=4時p=20。

從第2h到第4h，電量減少百分比為（）

A.40%B.50%C.60%D.66.7%

答案：D

解析：從60%降至20%，減少量60設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力。(九)小結(jié)梳理核心概念相互關(guān)系自變量→因變量主動變化引起被動變化（如v→因變量依賴自變量s由v決定，p由?決定常量維持