初識函數(shù)入門題目及答案1.函數(shù)的定義域和值域函數(shù)的定義域是指函數(shù)中自變量的取值范圍，值域是指函數(shù)中因變量的取值范圍。對于函數(shù)f(x)=2x+3，求其定義域和值域。答案：對于函數(shù)f(x)=2x+3，由于x可以取任意實數(shù)，所以其定義域為全體實數(shù)，即(-∞,+∞)。而函數(shù)的值域也是全體實數(shù)，即(-∞,+∞)。2.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，隨著自變量的增加，函數(shù)值是增加還是減少的性質(zhì)。判斷函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性。答案：函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)遞減的，因為當(dāng)x從負(fù)無窮增大到0時，函數(shù)值從正無窮減小到0。在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增的，因為當(dāng)x從0增大到正無窮時，函數(shù)值從0增大到正無窮。3.函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)是否關(guān)于原點或y軸對稱。判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x的奇偶性。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x是一個奇函數(shù)，因為對于任意x，都有f(-x)=-f(x)。具體來說，f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)。4.函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性是指函數(shù)值在一定周期后重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。判斷函數(shù)f(x)=sin(x)的周期性。答案：函數(shù)f(x)=sin(x)是一個周期函數(shù)，其周期為2π。因為對于任意x，都有f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)。5.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)沒有間斷點的性質(zhì)。判斷函數(shù)f(x)=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上的連續(xù)性。答案：函數(shù)f(x)=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是連續(xù)的，因為在其定義域內(nèi)，函數(shù)值沒有間斷點。但是，函數(shù)在x=0處沒有定義，所以在整個實數(shù)域上是不連續(xù)的。6.函數(shù)的可導(dǎo)性函數(shù)的可導(dǎo)性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)是否可求導(dǎo)的性質(zhì)。判斷函數(shù)f(x)=|x|的可導(dǎo)性。答案：函數(shù)f(x)=|x|在其定義域內(nèi)不是處處可導(dǎo)的。在x>0和x<0的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是可導(dǎo)的，導(dǎo)數(shù)分別為1和-1。但是，在x=0處，函數(shù)不可導(dǎo)，因為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)不相等。7.函數(shù)的極值函數(shù)的極值是指函數(shù)在其定義域內(nèi)的局部最大值或最小值。求函數(shù)f(x)=x^2-4x+4在區(qū)間(-∞,+∞)上的極值。答案：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2。這是一個開口向上的拋物線，其頂點為(2,0)。因此，函數(shù)在x=2處取得極小值0，沒有極大值。8.函數(shù)的零點函數(shù)的零點是指函數(shù)值為0的自變量的值。求函數(shù)f(x)=x^2-4的零點。答案：函數(shù)f(x)=x^2-4的零點可以通過解方程x^2-4=0得到，即x^2=4，所以x=±2。因此，函數(shù)的零點為x=2和x=-2。9.函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是指函數(shù)在坐標(biāo)系中的圖形表示。畫出函數(shù)f(x)=x^2的圖像。答案：函數(shù)f(x)=x^2的圖像是一個開口向上的拋物線，頂點為(0,0)。當(dāng)x為正數(shù)或負(fù)數(shù)時，函數(shù)值隨著x的絕對值增大而增大。10.函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合是指兩個函數(shù)按照一定順序組合成一個新的函數(shù)。求函數(shù)f(x)=x^2和g(x)=√x的復(fù)合函數(shù)h(x)=f(g(x))。答案：復(fù)合函數(shù)h(x)=f(g(x))=f(√x)=(√x)^2=x。所以，h(x)=x。11.函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指一個函數(shù)的逆運算，使得原函數(shù)和反函數(shù)的復(fù)合結(jié)果為恒等函數(shù)。求函數(shù)f(x)=2x+3的反函數(shù)。答案：設(shè)y=f(x)=2x+3，解得x=(y-3)/2。所以，反函數(shù)為f^(-1)(x)=(x-3)/2。12.函數(shù)的極限函數(shù)的極限是指函數(shù)值在自變量趨向某個值時的極限值。求函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)當(dāng)x趨向1時的極限。答案：當(dāng)x趨向1時，函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)可以化簡為f(x)=(x+1)。所以，極限值為f(1)=1+1=2。13.函數(shù)的積分函數(shù)的積分是指函數(shù)在某個區(qū)間上的累積值。求函數(shù)f(x)=2x在區(qū)間[0,2]上的定積分。答案：定積分∫[0,2]2xdx=[x^2](0,2)=2^2-0^2=4。14.函數(shù)的微分函數(shù)的微分是指函數(shù)在某一點的瞬時變化率。求函數(shù)f(x)=x^3在x=1處的微分。答案：函數(shù)f(x)=x^3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2。所以，在x=1處的微分為f'(1)=31^2=3。15.函數(shù)的泰勒展開函數(shù)的泰勒