專題09反比例函數(shù)與一次函數(shù)的五類(lèi)模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類(lèi)型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷 2類(lèi)型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題 5類(lèi)型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 9類(lèi)型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合 12類(lèi)型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用 19壓軸能力測(cè)評(píng) 271一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類(lèi)函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)于同一個(gè)字母或者比例系數(shù)符號(hào)要求要相同或者對(duì)于各函數(shù)形式中，對(duì)應(yīng)的字母意義分析。2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識(shí)。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點(diǎn)的坐標(biāo)表示圖形面積；．（2）解題時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分列方程組解決問(wèn)題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點(diǎn)間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運(yùn)用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用類(lèi)型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類(lèi)函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)于同一個(gè)字母或者比例系數(shù)符號(hào)要求要相同或者對(duì)于各函數(shù)形式中，對(duì)應(yīng)的字母意義分析。例．一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的圖象，先由反比例函數(shù)圖象得到的正負(fù)，進(jìn)而得到直線圖象即可得到答案，熟記一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過(guò)第一三四象限，該選項(xiàng)不符合題意；B、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過(guò)第一三四象限，該選項(xiàng)符合題意；C、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過(guò)第一二四象限，該選項(xiàng)不符合題意；D、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過(guò)第一二四象限，該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練1】．函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合分析．根據(jù)每個(gè)函數(shù)圖象分析出對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍，再綜合對(duì)比即可．【詳解】解：A、由反比例函數(shù)的圖象在可一、三象限知，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限，與圖象不符，故A不符合題意；B、反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知當(dāng)，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限，與圖象相符，故B符合題意；C、由反比例函數(shù)的圖象在可一、三象限知，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限，與圖象不符，故C不符合題意；D、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知當(dāng)，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限，與圖象不符，故D不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，滿足函數(shù)y=kx-1A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由的取值確定函數(shù)所在的象限．分別根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，故不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)第一、三、四象限，函數(shù)在一、三象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)第一、二、四象限，函數(shù)在二、四象限；故符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練3】．函數(shù)和在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D

【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：在函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在第一、三象限，函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、四象限，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、三象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：D．類(lèi)型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．例．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，則不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象法確定不等式的解集即可．【詳解】解：由圖象可知，的解集為：或；故選C．【變式訓(xùn)練1】．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)和點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．或x>1C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與交點(diǎn)問(wèn)題，先求出m值，觀察圖象，在上方的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)值較大，據(jù)此得到對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍是不等式的解集，會(huì)利用函數(shù)圖象解不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】把點(diǎn)代入得：，解得，由圖象可得不等式的解集是或，故選A．【變式訓(xùn)練2】．若雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，若，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)，與點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件得到點(diǎn)，與點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得，，，，代入，求得．【詳解】解：∵雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，∴與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，，，∵，∴，∴，故選：A．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，且．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②點(diǎn)到的距離為；③方程有一個(gè)解為；④當(dāng)，．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先求出，，得，，從而得，．從而，利用面積公式計(jì)算判斷①，利用面積法求出點(diǎn)到的距離判斷②，利用數(shù)形相結(jié)合判斷③和④即可．【詳解】解：直線中，當(dāng)x=0時(shí)，，令，則，解得，∴，，∴，∴，∵軸軸，∴∵軸，∴，∴，∵．∴．∴，∴，故①錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)到的距離為為，∵軸，，∴，∵，即，∴點(diǎn)到的距離為為，故②正確；∵，，∴，∵直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，∴方程有一個(gè)解為，故③正確；∵當(dāng)時(shí)，直線在雙曲線的下方，∴當(dāng)時(shí)，，故④正確．∴正確的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選∶．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一次函數(shù)與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識(shí)。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．某藥品研究所開(kāi)發(fā)一種抗菌新藥，臨床實(shí)驗(yàn)中測(cè)得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當(dāng)時(shí)，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為（

）

A．4小時(shí) B．6小時(shí) C．8小時(shí) D．10小時(shí)【答案】B【分析】分別求出線段與曲線的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)值為4時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值，即可求得此時(shí)持續(xù)時(shí)間．【詳解】解：時(shí)，設(shè)線段的解析式為，由于線段過(guò)點(diǎn)，則有，解得：，即線段解析式為；當(dāng)時(shí)，設(shè)，把點(diǎn)代入中，得，即，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；∴血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為（小時(shí)）；故選：B．【點(diǎn)睛】本題是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，考查了求函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量值，其中待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．【變式訓(xùn)練1】．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開(kāi)始限產(chǎn)并進(jìn)行治污改造，其月利潤(rùn)萬(wàn)元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．月份的利潤(rùn)為萬(wàn)元B．治污改造完成后每月利潤(rùn)比前一個(gè)月增加萬(wàn)元C．月份該廠利潤(rùn)達(dá)到萬(wàn)元D．治污改造完成前后共有個(gè)月的利潤(rùn)低于萬(wàn)元【答案】D【分析】利用已知點(diǎn)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為：，∵當(dāng)時(shí)，，月份的利潤(rùn)為萬(wàn)元，正確，不合題意；B、治污改造完成后，從月到月，利潤(rùn)從萬(wàn)到萬(wàn)，故每月利潤(rùn)比前一個(gè)月增加萬(wàn)元，正確，不合題意；C、設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴治污改造完成后的第個(gè)月，即月份該廠利潤(rùn)達(dá)到萬(wàn)元，正確，不合題意．D、當(dāng)時(shí)，，解得：，∴只有月，月，月共個(gè)月的利潤(rùn)低于萬(wàn)元，不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．某藥品研究所開(kāi)發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，首次用于臨床人體試驗(yàn)，測(cè)得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時(shí)間小時(shí)之間函數(shù)關(guān)系如圖所示（當(dāng)時(shí)，與成反比例）．血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式，再利用y＝6分別得出x的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，設(shè)直線解析式為：y＝kx，將（4，8）代入得：8＝4k，解得：k＝2，故直線解析式為：y＝2x，當(dāng)4≤x≤10時(shí)，設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y＝，將（4，8）代入得：8＝，解得：a＝32，故反比例函數(shù)解析式為：y＝；因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤4），下降階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝（4≤x≤10）．當(dāng)y＝6，則6＝2x，解得：x＝3，當(dāng)y＝6，則6＝，解得：x＝，∵?3＝（小時(shí)），∴血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時(shí)間小時(shí)故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．小亮為了求不等式>x+2的解集，繪制了如圖所示的反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+2的圖像，觀察圖像可得該不等式的解集為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．【詳解】解：觀察函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＜-3或0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像的上方，∴不等式>x+2的解集為x＜-3或0＜x＜1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．類(lèi)型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識(shí)。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是第一象限反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)連接，若的面積為，求點(diǎn)P坐標(biāo)：(3)過(guò)點(diǎn)P作直線平行于交反比例函數(shù)于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得?若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)坐標(biāo)為，或(3)，或，【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)中的幾何意義，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積，兩點(diǎn)間距離公式等，運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程思想是解題關(guān)鍵．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得的值，聯(lián)立方程組可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用三角形面積建立方程即可求得答案；（3）設(shè)直線的解析式為，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立可得，則，，進(jìn)而可得，根據(jù)，建立方程求解可得，即直線的解析式為，聯(lián)立方程組即可求得答案．【詳解】（1）把代入，得，，代入，得，，反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立方程組得：，解得：，，；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，當(dāng)時(shí)，如圖1，則，，，，，，即，解得：（舍去），，，；當(dāng)時(shí)，如圖2，則，，，，，，即，解得：，（舍去），；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或；（3）存在點(diǎn)使得，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，得，整理得：，則，，又，，則，，，，，，、均在第一象限，，，直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：，，，或，．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C．(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、，求的面積；(3)直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為；反比例函數(shù)表達(dá)式為(2)4(3)或【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、三角形面積等；解題時(shí)著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入反函數(shù)表達(dá)式，再求解B的坐標(biāo)，再求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）先求解D的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)的面積即可以解決問(wèn)題；（3）根據(jù)圖象即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：將代入，得，∴反比例的解析式為；把代入，∴，∴，將，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為，（2）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，∴的面積；（3）解：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集是或．【變式訓(xùn)練2】．如圖，點(diǎn)B、是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線與x軸交于點(diǎn)A，軸，垂足為D，CD與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6．(1)求k、b的值；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)2【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)以及待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式：（1）代入點(diǎn)C坐標(biāo)求得反比例函數(shù)的關(guān)系式，再計(jì)算點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求解即可；（2）分別求出點(diǎn)A、D和E的坐標(biāo)，由三角形的面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn)，將代入得：，則；（2）解：∵，軸，∴點(diǎn)，由（1）可得，直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴．【變式訓(xùn)練3】．某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段（即：當(dāng)時(shí)，大棚內(nèi)的溫度是時(shí)間的反比例函數(shù)），已知點(diǎn)A坐標(biāo)為．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，求大棚內(nèi)的溫度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；(3)若大櫥內(nèi)的溫度低于時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害，問(wèn)這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害？【答案】(1)AB解析式為：(2)恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為(3)恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉，蔬菜才能避免受到傷害【分析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象求出當(dāng)時(shí)，y的值即可得出答案；（3）先求出反比例函數(shù)解析式，然后代入臨界值求出x，最后求出答案即可．【詳解】（1）解：設(shè)線段解析式為，∵線段過(guò)點(diǎn)，代入得，解得，∴解析式為：；（2）解：∵解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為；（3）解：設(shè)雙曲線解析式為：，∵，∴，

∴雙曲線解析式為：，把代入中，解得：，∴，∴恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉，蔬菜才能避免受到傷害．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，注意臨界點(diǎn)的應(yīng)用．類(lèi)型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點(diǎn)的坐標(biāo)表示圖形面積；．（2）解題時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分列方程組解決問(wèn)題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點(diǎn)間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運(yùn)用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)與點(diǎn)．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集；(3)若動(dòng)點(diǎn)是第二象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，連接，，，，若的面積等于的面積的三分之一，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象即可求得；（3）先求得的面積，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，用表示出的面積，從而列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)與點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）觀察圖象可知，不等式的解集為或；（3）在直線中，令，則，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，如圖，連接，，，，，點(diǎn)到直線的距離為，的面積等于的面積的三分之一，的面積，整理得：或，解得：或，又或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積．本題屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練1】．已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2．(1)______；當(dāng)，x取值范圍是______．(2)若A點(diǎn)坐標(biāo)為，則B點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；（用a，b表示）(3)將正比例函數(shù)圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，分別交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，D．交y軸于點(diǎn)E．連接，，求的面積．【答案】(1)4，或(2)(3)【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用圖象根據(jù)條件確定自變量取值范圍，屬于中考?？碱}型．（1）把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式；根據(jù)圖象反比例函數(shù)的圖象在正比例函數(shù)圖象的上方，即可寫(xiě)出x的取值范圍．（2）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)B作軸交于點(diǎn)I，由條件可求得D、C的坐標(biāo)，用的面積減去的面積即可求出．【詳解】（1）解：A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，，即，，即，∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，由圖像可知，時(shí)，或；故答案為：4，或；（2）解：∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A點(diǎn)坐標(biāo)為，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；（3）解：由題意可得，，，聯(lián)立得，即，解得，，過(guò)點(diǎn)B作軸交于點(diǎn)I，則，，的高為6，底為3，的高為1，底為3，．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸，x軸分別相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求證：；(3)若點(diǎn)P是位于點(diǎn)C上方的y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P，A兩點(diǎn)的直線與該反比例函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)E，連接．當(dāng)，且的面積為18時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)，反比例函數(shù)解析式為(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求得a，即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)式中求得m，即可求得反比例函數(shù)解析式；（2）由一次函數(shù)解析式可求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，分別計(jì)算即可證明；（3）由已知及（2）的結(jié)論得C點(diǎn)是的中點(diǎn)，則可求得k的值，進(jìn)而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；連接，易得；設(shè)點(diǎn)，則可求得直線解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由建立方程即可求得t的值，最后求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，得：，即A點(diǎn)坐標(biāo)為；把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)式中，得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）證明：在一次函數(shù)解析式中，令，得；令，得；點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，即，消去y整理得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∴C點(diǎn)是的中點(diǎn)，且C、D為線段的三等分點(diǎn)，由A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)得：，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；如圖，連接，∵C、D為線段的三等分點(diǎn)，，∴；設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線解析式為，把A、E兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得：，解得：，即直線解析式為，令，得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，等底等高三角形面積相等等知識(shí)，有一定的綜合性．第（3）小題中把的面積轉(zhuǎn)化為求出的面積是解此問(wèn)的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．已知點(diǎn)、點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)Q分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S，求S；(3)一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P、Q，求一次函數(shù)的表達(dá)式，并根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)，或．【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集是解本題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)可得答案；（2）先求解Q的坐標(biāo)，再利用矩形面積公式可得答案；（3）利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可，再利用函數(shù)圖象可得的解集．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴，點(diǎn)Q分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S，∴；（3）∵一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴直線為，由圖象可得：的解集為：或．1．一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（寫(xiě)出的取值范圍）【答案】或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，不等式的解集等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)的取值范圍，即為不等式的解集．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，在直線左側(cè)以及軸和直線之間時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，當(dāng)或時(shí)，，故答案為：或．2．已知一次函數(shù)與（，是常數(shù)，且，）的圖象如圖所示，它們的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則分式方程的解是；．【答案】1【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，即可得到分式方程的解．【詳解】解：一次函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，分式方程的解是，，故答案為：，．3．如圖，直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)的另一直線交雙曲線于第三象限內(nèi)的點(diǎn)B，則不等式的解集是．【答案】或【分析】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．先求出，從而求出得到B-4,-1即可求解．【詳解】解：∵直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2把代入解析式，解得：則把代入得：在中，令，則則B∴不等式的解集是或故答案為：或．4．如圖，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)B，，則k的值為．【答案】5【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，確定點(diǎn)C坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．先求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【詳解】∵直線與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴時(shí)，，故，∴，故答案為：5．5．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點(diǎn)．若，則的值為．【答案】48【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、兩點(diǎn)之間的距離公式、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，即，解得或（舍去），∴，將點(diǎn)代入得：，故答案為：48．6．將的圖象先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到的新雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，另一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則．【答案】-【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”得平移后解析式，與一次函數(shù)聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出與的關(guān)系式，套入所求代數(shù)式即可得出結(jié)果．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，本題的關(guān)鍵是利用了根與系數(shù)的關(guān)系得出、的關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)題意，平移后反比例函數(shù)解析式為：，和一次函數(shù)聯(lián)立得：，整理得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，有一根是，則，，當(dāng)時(shí)，，，．故答案為：-27．飲水機(jī)接通電源會(huì)自動(dòng)加熱，加熱時(shí)水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫與時(shí)間成反比例函數(shù)關(guān)系，水溫降至?xí)r，飲水機(jī)重復(fù)上述程序開(kāi)始加熱，加熱時(shí)水溫與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．水溫從開(kāi)始加熱至，然后下降至這一過(guò)程中，水溫不低于的時(shí)間為．

【答案】12【分析】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)的應(yīng)用．首先求得兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后將代入兩個(gè)函數(shù)求得兩個(gè)時(shí)間相減即可確定答案．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入，得，解得，，設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：，將代入，得，，中，令，解得；反比例函數(shù)中，令，解得：，（min），水溫不低于的時(shí)間為min．故答案為：．8．規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與y軸相交于點(diǎn)，與雙曲線相交于點(diǎn)，線段、及、兩點(diǎn)之間的曲線所圍成的區(qū)域記作．（1）；（2）若區(qū)域（不包括邊界）內(nèi)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于等于，則的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系中整點(diǎn)的定義，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）根