2025年專升本高等數(shù)學(xué)（二）模擬試題（實戰(zhàn)寶典）一、填空題（每空2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值至少存在一個在________處取得。2.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分存在當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在[a,b]上________。3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分可以表示為________。4.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分可以表示為________。5.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分存在當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在[a,b]上________。6.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分可以表示為________。二、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值至少存在一個在________處取得。A.a或bB.a和bC.內(nèi)部某一點(diǎn)D.以上都是2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分存在當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在[a,b]上________。A.可積B.可導(dǎo)C.有界D.連續(xù)3.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分可以表示為________。A.∫f(x)dxB.∫f(x)dx+CC.∫[a,b]f(x)dxD.∫[a,b]f(x)dx+C4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分存在當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在[a,b]上________。A.可積B.可導(dǎo)C.有界D.連續(xù)5.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的定積分可以表示為________。A.∫f(x)dxB.∫f(x)dx+CC.∫[a,b]f(x)dxD.∫[a,b]f(x)dx+C三、解答題（每題10分，共30分）1.計算定積分∫[0,1]x^2dx。2.計算定積分∫[0,π]sinxdx。3.計算定積分∫[1,2]e^xdx。四、計算題（每題10分，共30分）1.計算定積分∫[0,2π]sin(2x)dx。2.計算定積分∫[0,1]x^3dx。3.計算定積分∫[1,e]ln(x)dx。五、證明題（每題10分，共20分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則存在至少一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(f(b)+f(a))/2。2.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f'(x)在[a,b]上恒大于0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.某商品原價為100元，若售價每提高1%，則需求量減少0.5%。試求售價提高多少時，總利潤最大。2.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為50元，銷售價格為70元。若每天生產(chǎn)并銷售100件產(chǎn)品，求每天的總利潤。本次試卷答案如下：一、填空題1.內(nèi)部某一點(diǎn)2.有界3.∫[a,b]f(x)dx4.∫[a,b]f(x)dx5.連續(xù)6.∫[a,b]f(x)dx二、選擇題1.D2.D3.C4.D5.C三、解答題1.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[0,1]x^2dx=[x^3/3]_0^1=(1^3/3)-(0^3/3)=1/3。2.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[0,π]sinxdx=[-cosx]_0^π=-cos(π)-(-cos(0))=1+1=2。3.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[1,2]e^xdx=[e^x]_1^2=e^2-e。四、計算題1.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[0,2π]sin(2x)dx=[-1/2cos(2x)]_0^2π=(-1/2cos(4π))-(-1/2cos(0))=(-1/2)(1)-(-1/2)(1)=0。2.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[0,1]x^3dx=[x^4/4]_0^1=(1^4/4)-(0^4/4)=1/4。3.解析：根據(jù)定積分的定義，計算得：∫[1,e]ln(x)dx=[xln(x)-x]_1^e=(eln(e)-e)-(1ln(1)-1)=(e-e)-(0-1)=1。五、證明題1.解析：由連續(xù)函數(shù)的介值定理，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，所以f(x)在[a,b]上取遍所有值。取k=(f(b)+f(a))/2，則存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=k。2.解析：假設(shè)存在某個x1,x2∈(a,b)，且x1<x2，使得f'(x1)≤0，f'(x2)≥0。由于f'(x)在[a,b]上恒大于0，所以f'(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。這與假設(shè)矛盾，因此f'(x)在[a,b]上恒大于0，所以f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。六、應(yīng)用題1.解析：設(shè)售價提高x%，則售價為100(1+x/100)元，需求量為100(1-0.5x/100)件?？偫麧櫈槭蹆r減去成本乘以需求量，即：利潤=100(1+x/100)*100(1-0.5x/100)-100*50=10000+100x-5000-50x-0.5x^2=5000+50x-0.5x^2。對利潤函數(shù)求導(dǎo)得：d