第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年全國普通高校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)是(

)A.8 B.9 C.12 D.182.已知z=1+i，則1z?1=(

)A.?i B.i C.?1 D.13.已知集合A={?4,0,1,2,8}，B={x|x3=x}，則A∩B=A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{3,8} D.{0,1}4.不等式x?4x?1≥2的解集是(

)A.{x|?2≤x≤1} B.{x|x≤?2} C.{x|?2≤x<1} D.{x|x>1}5.在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，則A.45° B.60° C.120°6.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，A在C上，過A作C準線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為y=?2x+2，則|AF|=A.3 B.4 C.5 D.67.記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=6，S5A.?20 B.?15 C.?10 D.?58.已知0<α<π，cosα2=5A.210 B.25 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，q為an的公比，且q>0，若S3=7，A.q=12 B.a5=1910.已知f(x)是定義在R上奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=(x2?3)eA.f(0)=0

B.當x<0時，f(x)=?(x2?3)e?xD.x=?1是f(x)極大值點11.雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2A.∠A1MA2=π6

B.|MA1|=2|MA2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)a=(x,1)，b=(x?1,2x)，a?(a?13.若x=2是函數(shù)f(x)=(x?1)(x?2)(x?a)極值點，則f(0)=

14.一底面半徑為4cm，高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為

(單位：cm)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=12，

(1)求φ；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(x?16.(本小題15分)已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標準方程;(2)過點(0,?2)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為2，求|AB|．17.(本小題15分)如圖，四邊形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，F(xiàn)為CD中點，E在AB上，EF//AD，AB=3AD，CD=2AD;將四邊形EFDA沿EF翻折至四邊形EFD′A′，使得面EFD′A′與面EFCB(1)證明：A′B//平面CD′F;(2)求平面BCD′與平面EFD′A′所成二面角的正弦值．18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)?x+1(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設(shè)x1，x2分別為f(x)在區(qū)間(0,+∞)的極值點和零點，

(ⅰ)設(shè)函數(shù)g(t)=f(x1+t)?f(x1?t)，證明：g(t)在區(qū)間(0,19.(本小題17分)甲、乙兩人進行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負者得0分.設(shè)每個球甲勝概率為p(12<?p<?1)，乙勝概率為q，p+q=1，且各球勝負獨立，對正整數(shù)k≥2，記pk為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，q(1)求p3，p4(2)若p4?(3)證明：對任意正整數(shù)m，p2m+1?q參考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.D

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.213.?4

14.2.515.解：(1)f(0)=cosφ=12，因為0≤φ<π，所以φ=π3．

(2)由(1)得f(x)=cos(2x+π3).

g(x)=cos(2x+π3)+cos2x=12cos2x?32sin2x+cos2x

=3(32cos2x?12sin2x)=3cos(2x+π16.解：(1)橢圓的長軸長為4，因此2a=4，解得a=2．

離心率e=22，由e=ca可得c=a?e=2?22=2．

根據(jù)c2=a2?b2，解得b2=2，因此b=2．

橢圓的方程為：x24+y22=1．

(2)由題意可知直線l的斜率一定存在，

則可設(shè)直線l的方程為y=kx?2，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2．

17.(1)證明：∵AB//CD,?AE//DF，由翻折的幾何性質(zhì)可知：A′E//D′F．

∵A′E?平面CD′F，D′F?平面CD′F，

∴A′E//平面CD′F．

∵BE//CF，BE?平面CD′F，CF?平面CD′F，

∴BE//平面CD′F．

又∵A′E?平面A′EB，BE?平面A′EB，A′E∩BE=E，

∴平面A′EB//平面CD′F．

又∵A′B?平面A′EB，

∴A′B//平面CD′F，得證．

(2)解：由翻折的幾何性質(zhì)可知，AD//EF，A′E⊥EF．

又∵AB⊥AD，∴AB⊥EF．

∴∠A′EB是平面EFD′A′和平面EFCB所成二面角的平面角．

∴∠A′EB=60°.

以點E為坐標原點，EB,EF，過點E且垂直平面ABCD向上方向，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系．

設(shè)AD=1，則CD=2，AB=3．

∴?B(2,0,0),?C(1,1,0),?D′(12,1,32),?E(0,0,0),?F(0,1,0).

∴BC=(?1,1,0),?CD′=(?12,0,32),?EF=(0,1,0),?ED′=(12,1,32).

設(shè)平面BCD′和平面EFD′A′的法向量分別為n1=(x118.解：(1)由題得f′(x)=x2(1x+1?3k)，

當0<x<13k?1時，f′(x)>0，f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，

當x>13k?1時，f′(x)<0，f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減，

f(13k?1)>f(0)=0，f(12k)<0，存在唯一x3∈(13k?1,12k)使得f(x3)=0．

(2)(i)由(1)知x1=13k?1，x2=x3，

g′(t)=(x119.解：(1)不妨令Xn表示打完n個球甲的得分，

則乙的得分即為n?Xn(每個球總得有人得分，不是甲就是乙)，

又Xn∽B(n,p)，由甲比乙至少多2分，

即可知pk=P(Xn?(n?Xn)≥2)=P(2Xn?n≥2)=P(Xn≥1+n2)，

則p3=P(X3≥52)=P(X3=3)=p3，

p4=P(X4≥3)=P(X4=3)+P(X4=4