高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市部分省級示范高中2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必在答題卡上填寫自己的姓名，并粘貼條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用黑色水性筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分；每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，所以，又，所以.故選：C2.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】要使函數有意義，必須，解得且，則函數的定義域為，故選：D．3.設函數則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故，又成立，故，又因為，所以，所以，因為，所以．故選：B.4.冪函數是偶函數，且在上是減函數，則的值為（）A.﹣6 B.1 C.6 D.1或﹣6【答案】B【解析】∵冪函數是偶函數，且在上是減函數，∴，且為偶數或當時，滿足條件；當時，，舍去因此：故選：B5.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為，因為，所以為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D6.若函數是上的減函數，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數是上的減函數，所以有，解得，故本題選A.7.已知函數是R上的偶函數，當時，恒成立.若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數是R上的偶函數，所以關于對稱，當時，恒成立知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以.故選：D.8.設函數，，若，則實數的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】當時，由，可得，，解得，則；當時，由，可得，解得，則.綜上所述，由，解得，當時，由，可得，，解得，則；當時，由，可得，顯然成立，則；當時，由，可得，，解得或，則.綜上所述，，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.）9.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個實數根，且，則，可得，所以A錯誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.10.已知，則下列結論正確的有（

）A.的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.+的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由，則，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，由，則，由，則當時，取得最小值，故B錯誤；對于C，由，則，當且僅當，即時，等號成立，故C正確；對于D，設，解得，由，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故D正確.故選：ACD.11.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其命名的函數，被稱為狄利克雷函數，其中為實數集，為有理數集，則以下關于狄利克雷函數的結論中，正確的是（）A.函數滿足：B.函數的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形【答案】AC【解析】由于，對于選項A，設任意，則；設任意，則，總之，對于任意實數恒成立，所以選項A正確，對于選項B，的值域為，又，所以選項B錯誤，對于選項C，當，則，當，則，所以選項C正確，對于選項D，取，此時，得到為等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：AC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數為上奇函數，當時，，則時，__________.【答案】【解析】當時，，則，因為函數為奇函數，所以，即.所以當時，.故答案為：.13.已知函數在區(qū)間上有最小值，則實數的值為______．【答案】或【解析】二次函數的對稱軸為，當時，函數在上為增函數，故最小值為即，符合題意；當時，函數在上遞減，在上遞增，故最小值為不合題意舍；當時，此時函數在為減函數，故最小值為即，符合題意；綜上，或.故答案為:或.14.已知函數是定義在上的奇函數，且，若對任意的，當時，有成立，則不等式的解集為______．【答案】【解析】令，由是定義在R上的奇函數，得，則為偶函數，由對任意的，當時，有成立，得在上單調遞減，因此函數在上單調遞增，由，得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值集合.解：（1）當時，.由,得,則或，所以或（2）有題意得,則得,所以的取值集合為16.設命題，不等式恒成立；命題，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若命題有且只有一個是真命題，求實數的取值范圍.解：（1），由題意可知，解得；（2）當為真命題時，對于二次函數，其圖象對稱軸為，在區(qū)間上有，則，故，成立等價于，即，若命題真假，結合（1）可知且，故，若命題真假，結合（1）可知且，故，綜上，.17.若函數是定義在上的奇函數.（1）求函數的解析式；（2）用定義證明：函數在上是遞減函數；（3）若，求實數的范圍.（1）解：因為函數是定義在上的奇函數，所以，即，又因為，所以解得，當時，，經檢驗，此時滿足，即函數為奇函數，符合題意，所以，所求函數的解析式為（2）證明：設，則，因為，所以，所以，即，則函數在上是遞減函數（3）解：因為，即，又因為由（2）知函數在上是遞減函數，所以，即，解得，所以，所求實數的范圍為18.隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴重，而建設高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運輸系統等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關系式：.研究表明：當隧道內的車流密度達到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/小時.（1）若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內的車流量（單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時）滿足，求隧道內車流量的最大值（精確到1輛/小時），并指出當車流量最大時的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數據：）（1）解：由題意知當（輛/千米）時，（千米/小時），代入，解得，所以，當時，，符合題意；當時，令，解得，所以.所以，若車流速度不小于40千米/小時，則車流密度的取值范圍是.（2）解：由題意得，當時，為增函數，所以，當時等號成立；當時，.當且僅當，即時等號成立.所以，隧道內車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.19.已知函數，若存在常數，使得對定義域內的任意，都有成立，則稱函數是定義域上的“利普希茲條件函數”.（1）判斷函數是否為定義域上的“利普希茲條件函數”，若是，請證明：若不是，請說明理由；（2）若函數是定義域上的“利普希茲條件函數”，求常數的最小值；（3）是否存在實數，使得是定義域上的“利普