內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在等差數(shù)列an中，，則（

）A．9 B．10 C．11 D．142．設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則（

）A．或 B．或C． D．3．某物體運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)是，已知時(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度為，則的值為（

）A． B． C． D．4．盒子中有5個(gè)大小和形狀均相同的小球，其中白球3個(gè)，紅球2個(gè)，每次摸出2個(gè)球.若摸出的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．25．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．1 B．4 C．6 D．06．已知點(diǎn)，且是拋物線的焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．85 D．978．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫?如圖所示，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面截角，得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則截角四面體各個(gè)面所在平面中，兩個(gè)平面是相交平面的概率為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)到直線的最大距離為10．已知事件滿足，則（

）A．若，則B．若與互斥，則C．若與相互獨(dú)立，則D．若，則與相互獨(dú)立11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，則下列數(shù)列一定是遞增數(shù)列的為（

）A． B． C． D．12．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的對(duì)稱中心.已知函數(shù).若有三個(gè)零點(diǎn)，且在點(diǎn)處切線的斜率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)為B．的極小值為-25C．D．三、填空題（本大題共4小題）13．已知，則.14．已知，若，則實(shí)數(shù).15．一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù).①；②當(dāng)時(shí)，；③是偶函數(shù).16．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，分別是和的內(nèi)切圓半徑，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共6小題）17．已知點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，圓心坐標(biāo)為，且過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓的分程；(2)求直線的方程.18．在數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和.19．在長(zhǎng)方體中，?分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求平面與平面的夾角余弦值.20．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某省的大學(xué)生中大約的人每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些大學(xué)生的近視率為，而每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的大學(xué)生的近視率為.(1)若從該省任意抽一名大學(xué)生，求他近視的概率；(2)已知該大學(xué)生近視，求他每天玩手機(jī)超過1小時(shí)的概率；(3)從該省大學(xué)生中任意抽取二人，表示這二人近視的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知曲線上的點(diǎn)滿足，曲線過點(diǎn)的切線與直線相交于點(diǎn).(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

參考答案1．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中，，所以，即，故選B.2．【答案】A【分析】依題意可得，即可得，即可判斷.【詳解】因?yàn)槭侵本€的方向向量，是平面的法向量，所以，所以，所以或.故選A.3．【答案】C【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)闀r(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度為，所以.故選C.4．【答案】A【分析】由題意可知的可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出期望.【詳解】由題意可知的可能取值為0，1，2，則，，，所以.故選A.5．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，即可求出對(duì)應(yīng)展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選.6．【答案】D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過作于，則，將問題轉(zhuǎn)化為求，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在拋物線內(nèi)，過作于，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，則最小值為.故選D.7．【答案】B【分析】依題意可得，將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，，，，．，，，即的長(zhǎng)為.故選B．8．【答案】D【分析】根據(jù)截角四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合古典概型以及對(duì)立事件分析求解.【詳解】由題意可知：截角四面體有8個(gè)面，其中4對(duì)相對(duì)的面平行，在考慮順序的前提下，從這8個(gè)面子任選2個(gè)面，共有種不同選法，記“兩個(gè)平面是相交平面”為事件A，則為兩個(gè)平面是平行平面，共有種不同選法，則，所以.故選D.9．【答案】BD【分析】A.由判斷；B.由時(shí)，直線方程為判斷；C.由時(shí)，直線方程為判斷；D.由點(diǎn)到定點(diǎn)的距離判斷.【詳解】對(duì)于A，直線，所以直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.當(dāng)時(shí)，直線方程為，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線不經(jīng)過第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖所示：設(shè)，由圖象知：，點(diǎn)到直線的最大距離為，故D正確；故選BD.10．【答案】ABC【分析】對(duì)于A，由事件的包含關(guān)系分析判斷，對(duì)于B，由互斥事件與和事件的關(guān)系分析判斷，對(duì)于C，由獨(dú)立事件的定義分析判斷，對(duì)于D，由已知條件求出，再根據(jù)獨(dú)立事件的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)榕c互斥，，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，利用數(shù)列單調(diào)性的概念逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以不一定為正?shí)數(shù)，所以數(shù)列不一定為遞增數(shù)列，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋圆灰欢檎龑?shí)數(shù)，所以數(shù)列不一定為遞增數(shù)列，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以D正確.故選AD.12．【答案】BCD【分析】求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，可判定A、B正確；求，，令f″x=0，可得，證明，結(jié)合倒序相加法，可判定C正確.求，，，即可求出，，，化簡(jiǎn)，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得：，令f'x>0，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，的極大值點(diǎn)為，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，所以的極小值為-252，故B正確；由，可得，令f″x=0，可得又由，所以點(diǎn)12,1是函數(shù)的的對(duì)稱中心，所以，令，可得，則，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，則，，因?yàn)椋裕?，，故D正確故選BCD.13．【答案】1【分析】利用賦值法，令代入可求得答案.【詳解】令，則，所以.故答案為：1.14．【答案】4【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，根?jù)對(duì)稱性可得：，所以，故答案為：4.15．【答案】（答案不唯一）【分析】取，逐項(xiàng)驗(yàn)證①②③，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)且在0,+∞上為減函數(shù)，可取，對(duì)于①，，滿足條件；對(duì)于②，由于，所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，滿足條件；對(duì)于③，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，故函?shù)為偶函數(shù)；綜上所述，函數(shù)滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.16．【答案】【分析】設(shè)和的內(nèi)切圓的圓心分別為，首先根據(jù)雙曲線和切線的性質(zhì)可證得軸，然后根據(jù)三角形相似關(guān)系求出的關(guān)系，再根據(jù)題意求出的取值范圍，從而可求出的范圍，進(jìn)而可求出范圍.【詳解】由，得，則，設(shè)圓與分別切于點(diǎn)，連接，由圓的切線的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義可知，即，設(shè)，則，得，所以，因?yàn)檩S，所以的橫坐標(biāo)也為，同理可證得的橫坐標(biāo)也為，所以軸，且三點(diǎn)共線，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知分別為的角平分線，所以，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)殡p曲線的漸近線為，所以其傾斜角分別為和，因?yàn)橹本€交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以直線的傾斜角的范圍為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，令，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，，，所以，所以，即的取值范圍是?故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，考查焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的性和圓的切線的性質(zhì)得到焦點(diǎn)三角形的圓心的橫坐標(biāo)與雙曲線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.17．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意求出，從而可求出圓的方程；（2）根據(jù)已知條件求出圓心C到直線的距離，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的半徑為，則，則圓C的方程為：；（2）因?yàn)閳AC的半徑為1，所以當(dāng)直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為時(shí)，圓心C到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)圓心C到直線的距離為，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即①.則，解得，代入①得：綜上，直線的方程為或.18．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件證明即可；（2）由（1）可求得，則，然后利用分組求和法與錯(cuò)位相減法可求出【詳解】（1）.則是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，，∴，設(shè)的前項(xiàng)和令①，②，①②得，，∵，.19．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)空間向量，即可證明；（2）利用二次函數(shù)求出三棱錐體積最大值時(shí)點(diǎn)的位置，利用空間向量求出平面的法向量，結(jié)合法向量即可求得面面角的余弦值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則.則所以，（2）由題可得：，當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積最大，當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)與重合，，，，，設(shè)面的法向量.，則，即，令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?設(shè)平面與平面的夾角為所以所以平面與平面的夾角余弦值為.20．【答案】(1)；(2)；(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望0.8.【分析】（1）用A表示事件“該省大學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)”，用B表示事件“該省大學(xué)生近視”，然后根據(jù)已知條件利用全概率公式求解即可；（2）根據(jù)條件概率公式直接求解；（3）由題意可得的所有可能取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）用A表示事件“該省大學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)”，用B表示事件“該省大學(xué)生近視”，則，；（2）由（1）可知，該省近視的大學(xué)生中玩手機(jī)超過1小時(shí)的概率為所以該省近視的大學(xué)生中玩手機(jī)超過1小時(shí)的概率為；（3）設(shè)抽取人的二人中近視的人數(shù)為的所有可能取值為，的分布列為0120.360.480.1621．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)仳?yàn)樵诤愠闪ⅲ瑯?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】（1）由，得，對(duì)求導(dǎo)得，，在處的切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，在恒成立，令，則，令，則，恒成立當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.22．【答案】(1)；(2)過定點(diǎn)，.【分析】（1）根據(jù)橢圓