第六章

平行四邊形6.2平行四邊形的判定第2課時(shí)

利用對(duì)角線判定平行四邊形1．平行四邊形的判定定理1是如何陳述的？2．平行四邊形的判定定理2是如何陳述的？3．若想證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，你已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪些方法？4．平行四邊形的對(duì)角線有什么性質(zhì)？

復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．現(xiàn)兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)木條，你能否適當(dāng)?shù)臄[放這兩根細(xì)木條，使得連接四個(gè)頂點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形嗎？試一試．結(jié)論：如圖，將兩根木條AC，BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，四邊形ABCD是平行四邊形．ADCBO

探究新知2．你能證明你所擺出的四邊形是平行四邊形嗎？已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．ODCBA

探究新知證明：在△AOB和△COD中．∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴∠OAB＝∠OCD，∴AB//CD．同理可證AD//CB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．ODCBA

探究新知3．以上活動(dòng)事實(shí)，你能用文字語(yǔ)言表達(dá)嗎？結(jié)論：平行四邊形的判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．歸納新知例1如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．ADCBEF

例

題證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC．又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．ADCBEFO例2如圖，□AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，分別與AE，CF交于B，D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．FDCABEO

例

題證明：∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE＝OF，OA＝OC，AE//CF．∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO．∴△FDO≌△EBO．∴OD＝OB．又∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．FDCABEO判定四邊形是平行四邊形的方法：（1）利用邊①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（2）利用對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．課堂小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)

對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形1.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，下列條件一定能

判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（

B

）A.

AD∥BC，AB＝CDB.

AO＝OC，BO＝ODC.

AD＝CB，AB∥CDD.

∠A＝∠B，∠C＝∠DB隨堂練習(xí)2.小玲在做平行四邊形框架時(shí)，采用如下方法：將兩根木條AC，

BD的中點(diǎn)重疊并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形.這種做

法的依據(jù)是

?.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

3.如圖，已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O.

若AC＝

10，BD＝6，則當(dāng)AO＝

，DO＝

時(shí)，四邊形ABCD是平行

四邊形.5

3

4.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是

OB，OD的中點(diǎn).求證：四邊形AECF是平行四邊形.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO.

∵E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形.5.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AO＝

CO，∠ABD＝∠CDB.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵∠ABD＝∠CDB，∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO，∴BO＝DO.

又∵AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形.

6.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OC，添加下列條件后仍無(wú)法判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

A

）A.

AB＝CDB.

AB∥CDC.

OB＝ODD.

∠ADB＝∠CBDA7.已知△ABC（如圖1），按圖2、圖3所示的尺規(guī)作圖痕跡，不需借

助三角形全等就能推出四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是（

B

）A.

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形B.

對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D.

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B8.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝12，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，

∠ADB＝90°，OD＝OB＝5，AC＝26，則四邊形ABCD的面積

為

?.120

9.（教材P145習(xí)題T3變式）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交

于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，點(diǎn)G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝

DG.

求證：GF∥EH.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.

又∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.

同理可得OG＝OH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴GF∥EH.

10.如圖，在?ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，分別交

AD，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，AF.

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO.

∵O為AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC.

∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形.（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的長(zhǎng).（2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC.

∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝6.∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴CF＝AE＝8，∴BF＝CF－BC＝8－6＝2.

11.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)為BD

上的兩點(diǎn)，連接AE，AF，CE，CF.

[問(wèn)題探究]（1）若BE＝DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形.解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC.

∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.[拓展提升]（2）如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DB和BD的延長(zhǎng)線上，且滿足BE＝DF，那

么（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）成立.理由如下：∵BE＝DF，OB＝OD，∴BE＋OB＝DF＋OD，即OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四邊形