應(yīng)用思想方法解相交線與平行線問題的八種技巧第五章相交線與平行線

例典例剖析如圖所示，若∠BCD＝∠B＋∠D，判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由．解題秘方：欲得出AB與DE的位置關(guān)系，從已知條件中無法直接得出結(jié)論，需用構(gòu)建基本圖形法作輔助線將原圖演變成“三線八角”或“三線平行”等涉及平行的基本圖形，再根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行說明．解：AB∥DE.理由如下：在∠DCB的內(nèi)部作射線CF，使∠DCF＝∠D，如圖所示，則DE∥FC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．因?yàn)椤螧CD＝∠B＋∠D，∠BCD＝∠DCF＋∠FCB，所以∠FCB＝∠B，所以FC∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)，所以AB∥DE(平行于同一條直線的兩條直線互相平行)．技巧1基本圖形(添加輔助線)法分類訓(xùn)練1．如圖，AB∥CD，探究∠APC與∠PAB、∠PCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解】∠APC＝∠PAB＋∠PCD.理由：如圖，過點(diǎn)P作PE∥AB.因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥AB∥CD.所以∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE.因?yàn)椤螦PC＝∠APE＋∠CPE，所以∠APC＝∠PAB＋∠PCD.【點(diǎn)方法】本題通過添加輔助線構(gòu)造“三線八角”的基本圖形，然后利用平行線的性質(zhì)解決問題．2．若平行線EF、MN與相交線AB、CD相交成如圖所示的圖形，則共得出同旁內(nèi)角多少對？技巧2分離圖形法【解】如圖，將給出的圖形分離為8個(gè)“三線八角”的基本圖形，由每個(gè)基本圖形都有2對同旁內(nèi)角，可知共有16對同旁內(nèi)角．3．【2023·崇左僑中中學(xué)月考】如圖，由點(diǎn)O引出六條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD.若∠EOF＝170°，求∠COD的度數(shù)．技巧3方程思想【解】因?yàn)镺A⊥OB，所以∠AOB＝90°.設(shè)∠COD＝α.

因?yàn)镺F平分∠BOC，OE平分∠AOD，所以∠BOC＝2∠COF，∠AOD＝2∠EOD.因?yàn)椤螮OF＝α＋∠COF＋∠EOD＝170°，α＋∠BOC＋∠AOD＋90°＝α＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°，所以170°＋∠COF＋∠EOD＋90°＝360°，所以∠COF＋∠EOD＝100°，所以α＋100°＝170°，所以α＝70°，即∠COD＝70°.4．如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.試說明BD∥CE.【解】因?yàn)椤?＝∠2，所以AD∥BE，所以∠D＝∠DBE.因?yàn)椤?＝∠D，所以∠3＝∠DBE，所以BD∥CE.技巧4轉(zhuǎn)化思想5．如圖，直線AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.試說明AB∥CD，MP∥NQ.技巧5數(shù)形結(jié)合思想【解】由對頂角相等，得∠CNF＝∠END.因?yàn)椤螩NF＋∠BMN＝180°，所以∠END＋∠BMN＝180°.所以AB∥CD.所以∠EMB＝∠END.又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠END＋∠2＝∠EMB＋∠1，即∠ENQ＝∠EMP.所以MP∥NQ.6．如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點(diǎn)C，交l2于點(diǎn)D，P是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．技巧6分類討論思想【解】當(dāng)點(diǎn)P在C、D之間時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥AC，如圖①所示，易知PE∥BD.因?yàn)镻E∥AC,所以∠APE＝∠1.因?yàn)镻E∥BD，所以∠BPE＝∠3.因?yàn)椤?＝∠APE＋∠BPE，所以∠2＝∠1＋∠3.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖②所示，∠1＝0°.因?yàn)閘1∥l2，所以∠2＝∠3.因?yàn)椤?＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖③所示，∠3＝0°.因?yàn)閘1∥l2，所以∠2＝∠1.因?yàn)椤?＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系為∠2＝∠1＋∠3.7．為了實(shí)地測量某塔外墻底部的底角(圖中∠ABC)的大小，張揚(yáng)同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案：方案1：如圖，作AB的延長線BD，量出∠CBD的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)；方案2：如圖，作AB的延長線BD，CB的延長線BE，量出∠DBE的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)．同學(xué)們，你能解釋他這樣做的道理嗎？技巧7建模思想【解】方案1利用了鄰補(bǔ)角的定義，因?yàn)椤螩BD＋

∠ABC＝180°，即∠ABC＝180°－∠CBD，所以只要量出∠CBD的度數(shù)，便可求出∠ABC的度數(shù)；方案2利用了對頂角的性質(zhì)，因?yàn)椤螪BE＝∠ABC，所以只要量出∠DBE的度數(shù)，便可知道∠ABC的度數(shù)．【點(diǎn)方法】本題運(yùn)用了建模思想，通過構(gòu)建鄰補(bǔ)角或?qū)斀悄Ｐ停瑢?shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題求解．8．如圖所示，AC為一條直線，O是AC上一點(diǎn)，OE、OF分