杭州二中2024級高一第二學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)考熱身卷參考答案一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定集合，再結(jié)合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】，則，故選：B．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，其否定為：，.故選：C3．已知函數(shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦二倍角公式進(jìn)行化簡，的出函數(shù)取零點(diǎn)的兩種情況，分類討論，根據(jù)結(jié)果寫出的不等式，計(jì)算結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，得或，所以或或．可知滿足的非負(fù)根依次為，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，所以,解得．故選:A．4．已知平面向量，，若，求（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩向量垂直，它們的數(shù)量積為0的運(yùn)算，結(jié)合已知條件，即可求得向量夾角余弦值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以有，即．故選：D.5．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的圖象可得答案.【詳解】若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象如下，結(jié)合圖象可得.故選：A.6．已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知即有解，且無最大值，分為，，三種情況討論求解.【詳解】由，可知有解，且無最大值，即有解，且無最大值，當(dāng)時(shí)，有解，無最大值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，則有解，當(dāng)時(shí)，有最大值，則有最大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有解需滿足，解得，此時(shí)無最大值，無最大值，滿足題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和兩類討論，結(jié)合換底公式及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，由換底公式可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.又，所以，，所以，所以，即，解得.綜上，a的取值范圍為.故選：A.8．在中，分別為內(nèi)角所對的邊，已知.設(shè)為邊BC上一點(diǎn)，若，且，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件恒等式，求得，然后設(shè)，則，利用面積關(guān)系可以得到，從而求得；再利用面積關(guān)系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范圍，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理可得,又所以，由兩角和正弦公式可得，，又，所以，所以，即，又，所以，所以即，設(shè)，則，∵，，∴，即，化簡得，即，又，解得或（舍去），所以，又，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即面積的最小值為.故選：A二、多選題9．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．與方向相反的單位向量是C．與的夾角的余弦值為 D．在方向上的投影向量為【答案】AC【分析】對于選項(xiàng)A，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合模長公式可直接判斷；對于選項(xiàng)B，由相反的單位向量為可直接得答案；對于選項(xiàng)C，可求出，，，根據(jù)數(shù)量積的公式即可判斷出選項(xiàng)C項(xiàng)的正誤；對于選項(xiàng)D，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，與相反的單位向量為，故B錯誤；選項(xiàng)C，因，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由投影向量的定義知，在方向上的投影向量為，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.10．在如圖所示的透明的正三棱臺形容器內(nèi)注入一些水（容器厚度忽略不計(jì)），水平放置時(shí)水平面DEF與底面平行，且水平面DEF與下底面ABC的距離為，，，正三棱臺形容器的高為2，下列結(jié)論正確的有（

）A．正三棱臺形容器的體積為B．正三棱臺形容器的側(cè)面積為C．等邊三角形DEF的邊長為3D．水的體積為【答案】AC【分析】根據(jù)棱臺體積公式求解判斷A，求出側(cè)面梯形的高即可求解側(cè)面積判斷B，根據(jù)三角形相似求解等邊三角形DEF的邊長判斷C，根據(jù)棱臺體積公式求解判斷D.【詳解】由題意等邊三角形的面積為，等邊三角形的面積為，又正三棱臺形容器的高為2，所以正三棱臺形容器的體積為，故A正確；設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，三角形的中心為O，三角形的中心為，則為側(cè)面梯形的高，如圖：在截面中，，又，，所以，所以正三棱臺形容器的側(cè)面積為，故B錯誤；設(shè)等邊三角形DEF的邊長為，由∽，所以，解得，即，故C正確；等邊三角形DEF的面積為，正三棱臺的高為，所以水的體積為，故D錯誤.故選：AC11．已知，函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．的最小正周期為C．的最大值為D．在上的最小值為【答案】AC【分析】由可得A正確；根據(jù)函數(shù)的周期舉反例可判斷B的正誤，舉反例可得D錯誤；由輔助角公式可得C正確.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，,此時(shí),函數(shù)的最小正周期是，故B錯誤；對于C，，由正弦函數(shù)的值域可得最大值為，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于不確定的大小，所以最小值為不正確，故D錯誤；故選：AC三、填空題12．已知，則.【答案】5【分析】由復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及模長公式即可求解.【詳解】由，可得：，所以，所以，故答案為：513．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則．【答案】【分析】由已知可得為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.14．已知正整數(shù)，歐拉函數(shù)表示、、、、中與互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，.若小明從、、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，小紅從、、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為.【答案】/【分析】求出當(dāng)，時(shí)，、的值，列舉出滿足的數(shù)組，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可得，，，，，，，，，，因?yàn)椋?，滿足的數(shù)組有：、、、，故所求概率為.故答案為：.四、解答題15．某地舉辦了“防電信詐騙”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第80百分位數(shù)；(2)已知落在區(qū)間的樣本平均成績是57，方差是7，落在區(qū)間的樣本平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組樣本成績合并后的平均數(shù)和方差.參考公式：若總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則.【答案】(1)，第80百分位數(shù)為86(2)，總方差.【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)定義利用頻率分布直方圖計(jì)算可得結(jié)果；（2）代入由樣本方差計(jì)算總體方差的公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，解得；成績在的頻率為0.65，成績在的頻率為0.9，故第80百分位數(shù)在之間，則，解得，故第80百分位數(shù)為86；（2）由頻率分布直方圖知，這100份答卷分?jǐn)?shù)在的份數(shù)為，分?jǐn)?shù)在的份數(shù)為，所以，總方差.16．設(shè)的內(nèi)角所對邊分別為，若．(1)求的值;(2)若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)周長取最小值時(shí)，求的面積．【答案】(1)2(2)【分析】（1）變形得到，由正弦定理得到，得到答案；（2）由題意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出當(dāng)時(shí)，周長最小，進(jìn)而由三角形面積求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理，得，即．?）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，周長最小，此時(shí)，所以，所以的面積為．17．已知函數(shù)，.(1)解關(guān)于的不等式；(2)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式，分類討論的取值范圍，求出不等式的解集.（2）先將參數(shù)分離，要對不含參數(shù)部分構(gòu)造二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求的取值范圍.【詳解】（1）由，得，即.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，解集為；當(dāng)，即時(shí)，由，得，兩邊同取以為底的對數(shù)，得.綜上，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為.（2）由，得，即，兩邊同除以，得.設(shè)，令，，則.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以的值域?yàn)?，因?yàn)?，，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍為.18．已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到，進(jìn)而得到線面平行；（2）為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，求出三邊長，利用余弦定理得到異面直線的夾角余弦值；（3）證明出線面垂直，等體積法求出三棱錐的體積.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，則，平面，平面，平面；（2）由（1）知，，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，正四棱柱中，，由勾股定理得，，在中，，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為；（3）因?yàn)檎叫?，所以，，又在正四棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所?或19．若存在，，使得恰為函數(shù)的全部零點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則稱為“分圓函數(shù)”．(1)分別判斷下列函數(shù)是否為“分圓函數(shù)”；（結(jié)論不要求證明）①；②．(2)求證：對任意a∈R，均為“分圓函數(shù)”；(3)若為“分圓函數(shù)”，求的值．【答案】(1)①是；②不是(2)證明見解析(3)或；【分析】（1）根據(jù)“分圓函數(shù)”定義，解出兩函數(shù)零點(diǎn)即可作出判斷；（2）利用換元法并結(jié)合韋達(dá)定理可知的全部零點(diǎn)為，，可得結(jié)論；（3）法1：利用換元法并結(jié)合韋達(dá)定理，利用周期性得出其在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，分類討論得出符合題意的的取值即可；法2：將表達(dá)式變形可得，結(jié)合余弦函數(shù)周期性并對函數(shù)在不同周期內(nèi)的零點(diǎn)進(jìn)行分析，討論的取值是否符合題意即可得到結(jié)果.【詳解】（1）①是；令，解得；即可得，所以的零點(diǎn)的解集為；所以存在使得為“分圓函數(shù)”．②不是；令，即，解得或；顯然這兩部分解無法用同一個(gè)表達(dá)式來表示，所以不是“分圓函數(shù)”．（2）令，，故其必有兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理：，令，則因此的全部零點(diǎn)為，；故對任意a∈R，均為“分圓函數(shù)”（3）法1：令，易知，故其必有兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理可得因?yàn)樵谏现炼嘤袃蓚€(gè)解，在上至多有兩個(gè)解；所以在上至多有4個(gè)解，則當(dāng)時(shí)：由于，則且，不合題當(dāng)時(shí)：必有或（i）若，則，此時(shí)，的全部零點(diǎn)為，故合題意；（ii）若，則，此時(shí)，的全部零點(diǎn)為，故合題意；當(dāng)時(shí)：若，則則，均為的根而，故因此此時(shí)，的全部零點(diǎn)為，故合題意；綜上或；法2：易知為