1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用

1.體會(huì)定積分在解決幾何問題中的作用.2.會(huì)通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.1.幾個(gè)典型的平面圖形面積的計(jì)算剖析:(1)求由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a<b)及y=0所圍成的平面圖形的面積S.2.求曲邊多邊形的面積的環(huán)節(jié)有哪些?剖析:(1)畫出圖形,擬定圖形范疇.即借助幾何知識將所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)曲邊梯形的面積問題.(2)擬定積分上、下限.即通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo),擬定積分上、下限.(3)擬定被積函數(shù),要特別注意分清被積函數(shù)的上、下位置.(4)寫出平面圖形面積的定積分體現(xiàn)式,運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,從而求出平面圖形的面積.題型一題型二題型三題型四不分割型圖形面積的求解【例1】求由拋物線y=x2-4與直線y=-x+2所圍成圖形的面積.分析:在平面直角坐標(biāo)系中作圖→求拋物線與直線的交點(diǎn)→運(yùn)用定積分求面積題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思求不分割型圖形面積的普通環(huán)節(jié)以下:同時(shí),要注意區(qū)別定積分與運(yùn)用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積:定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱?而平面圖形的面積總是正的.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則它與x軸所圍成的圖形的面積為(

)答案:B題型一題型二題型三題型四分割型圖形面積的求解分析:可先求出曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),擬定積分區(qū)間,然后分段運(yùn)用公式求解.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形,在不同的區(qū)間段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化,通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo),能夠?qū)⒎e分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化區(qū)段,然后根據(jù)圖象對各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和,在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】

求曲線y=x2,直線y=x,y=3x圍成的圖形的面積S.題型一題型二題型三題型四綜合應(yīng)用【例3】如圖,在曲線C:y=x2,x∈[0,1]上取點(diǎn)P(t,t2),過點(diǎn)P作x軸的平行線l.曲線C與直線x=0,x=1及直線l圍成的圖形涉及兩部分,面積分別記為S1,S2.(1)求t的值,使S1=S2;(2)求t的值,使S=S1+S2最小.分析:應(yīng)先根據(jù)題意及用定積分求曲邊多邊形面積的辦法得出用t表達(dá)的兩圖形的面積S1,S2的體現(xiàn)式,再根據(jù)各小題的條件求解.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思涉及不規(guī)則平面圖形的面積問題,都可考慮采用定積分來解決,在解決這類問題時(shí),要注意兩點(diǎn):(1)運(yùn)用定積分對的地表達(dá)各有關(guān)量間的關(guān)系;(2)定積分的對的計(jì)算.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析

易錯(cuò)點(diǎn):被積函數(shù)上下限不對應(yīng)而致錯(cuò)【例4】

求由拋物線y2=8x(y≥0)與直線x+y-6=0及y=0所圍成圖形的面積S.題型一題型二題型三題型四錯(cuò)因分析:應(yīng)用定積分?jǐn)M定平面圖形