第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年天津市河北區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.兩個(gè)單位向量一定相等

B.若a與b不共線，則a與b都是非零向量

C.共線的單位向量必相等

D.兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同2.已知i為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)z滿足z?3i=4?i，則z的虛部為(

)A.2i B.?2 C.2 D.43.在空間中，若兩條直線a與b沒有公共點(diǎn)，則a與b(

)A.相交 B.平行

C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線4.已知向量AB=(3,?6)，且點(diǎn)B(2,?4)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

)A.(?1,2) B.(1,?2) C.(5,?10) D.(?5,10)5.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，則△AOB的面積是(

)A.22

B.4

C.26.在△ABC中，a=1，b=4，c=21，則△ABC的最大內(nèi)角為(

)A.π3 B.2π3 C.3π47.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1A.16 B.13 C.128.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則|zA.5

B.1

C.5

D.9.?ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若S?ABC=a2+b2A.有一個(gè)角是π6的等腰三角形 B.等邊三角形

C.三邊均不相等的直角三角形 D.10.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D，AB垂直于平面BCD.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=20m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB=(

)A.2063m

B.103m二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是______．12.已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a=43，b=12，B=60°，則A=______．13.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為20π，則該四棱柱的高為______．14.已知a，b是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，若向量λa+b在a上的投影向量為2a，則實(shí)數(shù)λ=15.在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA?DC=1,BA?三、解答題：本題共4小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知復(fù)數(shù)z=(m2?5m+6)+(m2?3m)i，其中m∈R．

(Ⅰ)若z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

(Ⅱ)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

(Ⅲ17.(本小題11分)

已知向量a=(?3,1)，b=(1,?2)，m=a+kb，其中k∈R．

(Ⅰ)求a?b及向量a，b夾角的余弦值；

(Ⅱ)若向量m與向量2a?b垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

(Ⅲ18.(本小題12分)

如圖，在△OAB中，|OA|=4,|OB|=2，P為AB邊上一點(diǎn)，且BP=2PA．

(1)設(shè)OP=xOA+yOB，求實(shí)數(shù)x、19.(本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b=27(1)求a的值；(2)求sinA(3)求sin(B?2A)的值

參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.B

7.A

8.A

9.D

10.C

11.?2+i

12.30°

13.314.5215.1；1+16.解：復(fù)數(shù)z=(m2?5m+6)+(m2?3m)i，其中m∈R．

(Ⅰ)若z是實(shí)數(shù)，則m2?3m=0，解得m=0或m=3；

(Ⅱ)若z是純虛數(shù)，則m2?5m+6=0m2?3m≠0，解得m=2；

(Ⅲ)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m2?5m+6>0m2?3m<0，解得0<m<2，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,2)．

17.解：(Ⅰ)由已知可得，a?b=?3?2=?5，

又|a|=10，|b|=5，

所以cos?a,b?=a?b|a||b|=?510×5=?22；

(Ⅱ)由已知可得，2a?b=2(?3,1)?(1,?2)=(?7,4)，m=a+kb=(?3,1)+(k,?2k)=(k?3,?2k+1)，

又向量m與2a?b垂直，

所以m?(2a?b)=0，

即?7(k?3)+4(?2k+1)=?15k+25=0，

解得k=53；

(Ⅲ)由已知可得，kb+c=k(1,?2)+(1,?1)=(k+1,?