.5三元一次方程組及其解法一、三元一次方程組的概念方程組中含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程組稱為三元一次方程組。二、三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想是消元，即通過代入法或加減法，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元一次方程進行求解。具體步驟如下：1.選取一個方程，將其中的一個未知數(shù)用另外兩個未知數(shù)表示出來。2.將上一步得到的表達式代入其他方程中，消去一個未知數(shù)，得到二元一次方程組。3.解這個二元一次方程組，得到其中兩個未知數(shù)的值。4.將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的任何一個方程，求出第三個未知數(shù)的值。5.綜合以上步驟，得到三元一次方程組的解。鞏固課內(nèi)例1:解三元一次方程組——代入消元法1．三元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)加減消元法解三元一次方程組即可得出.【詳解】解令①+②得x-z=2④，③+④得2x=8，解得x=4把x=4代入①解得y=3，把x=4代入③解得z=2，∴原方程組的解為故選D.【點睛】此題主要考查三元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知消元法解三元一次方程.2．已知方程組，則a+b+c＝．【答案】2【分析】方程組三方程相加即可求出所求．【詳解】，①+②+③得：2（a+b+c）=4，則a+b+c=2，故答案為2【點睛】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．3．解方程組：

（2）【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二元一次方程組的解法即可求解；（3）根據(jù)三元一次方程組的解法即可求解.【詳解】（1）整理得②-①得2y=-2,解得y==-1,把y=-1代入①得x=2，∴原方程組的解為（2）①+②得2x-z=6④，又①+③得3x-z=-1⑤⑤-④得x=-7,把x=-7代入①得y=6，把x,y代入②得z=-20∴原方程組的解為【點睛】此題主要考查三元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟知消元法.鞏固課內(nèi)例2:解三元一次方程組——加減消元法1．如圖，前兩個天平已保持平衡，現(xiàn)要求在第三個天平的右邊只放△，要使之保持平衡，則應(yīng)放△的數(shù)量為（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】本題考查了三元一次方程的運用，根據(jù)圖示，設(shè)圓形為，三角形為，正方形為，由此列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)圓形為，三角形為，正方形為，∴，∴由①得，把③代入②，，整理得，，∴，∴應(yīng)方△的數(shù)量為6個，故選：B．2．中，當時，，當時，，當時，，則，，．【答案】3【分析】此題主要考查三元一次方程組的運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組．將，；，；當，代入列出三元一次方程組，然后進行求解．【詳解】解：將，；，；當，代入得：，解得：，故答案為：，，33．解方程組：．【答案】【分析】本題考查三元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法求解三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．利用加減消元法求解即可．【詳解】解：得，解得：得將代入④得解得：，將，代入①得，解得：，原方程組的解為．類型一、三元一次方程組的定義1．下列方程組中，是三元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三元一次方程組的定義（方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、是三元一次方程組，則此項符合題意；B、方程組中含有4個未知數(shù)，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；C、方程組中含有2個未知數(shù)，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；D、方程組的每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)不都是1，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了三元一次方程組，熟記三元一次方程組的概念是解題關(guān)鍵．2．我們知道，適合二元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做這個二元一次方程的一個解．同樣地，適合三元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做這個三元一次方程的一個解．請寫出方程的一個正整數(shù)解．【答案】或或【分析】利用“適合三元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做這個三元一次方程的一個解”即可得出答案．【詳解】解：當時，成立；當時，成立；當時，成立；故答案為：或或．【點睛】本題考查了三元一次方程組的解，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．3．已知三角形的周長為30，三邊長分別是a、b、c，且，，求三角形的三邊長．【答案】8，9，13【分析】本題考查三元一次方程組，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組，然后利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：∵三角形的周長為30，三邊長分別是a、b、c，∴，∴，①②得：④，把③代入④得：⑤，①②得：⑥，⑥3得：⑦，⑤⑦得：，把代入③得：，把，代入①得：，∴方程組的解為：，∴三角形的三邊長分別為8，9，13．類型二、三元一次方程組的解1．三元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，得，，得，解得，把代入①，得，把代入③，得，則方程組的解為故選：D．2．已知方程組的解滿足方程，則．【答案】【分析】解出已知方程組中x，y的值代入方程即可．【詳解】解：∵，解得：，代入方程，得，解得：，故答案為：【點睛】本題的實質(zhì)是考查三元一次方程組的解法．需要對三元一次方程組的定義有一個深刻的理解．方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．3．解方程組【答案】【分析】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．方程組后兩個方程消元后，與第一個方程聯(lián)立求出與的值，進而求出的值，即可確定出方程組的解．【詳解】解：，得：，由③，代入得：，解得：，將代入③得：，將，代入①得：，則方程組的解為．類型一、三元一次方程組的應(yīng)用——和差問題1．三角形幻方是鍛煉思維的有趣數(shù)學問題，例：把數(shù)字1、2、3、…、9分別填入如圖所示的9個圓圈內(nèi)，要求和的每條邊上三個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都等于18，則的和是（

）A．6 B．15 C．18 D．24【答案】B【分析】把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為a；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為b；其余三個圈所填的數(shù)位之和為c．列出關(guān)于a，b，c的方程，進行求解即可．【詳解】解：把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為a；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為b；其余三個圈所填的數(shù)位之和為c．顯然有…①，圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數(shù)的和為18，所以有②，②﹣①，得③，把，，每一邊上三個圈中的數(shù)的和相加，則可得④，聯(lián)立③，④，解得，，則．故選：B．【點睛】此題考查了三元一次方程組和二元一次方程組，讀懂題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2．對任意一個三位正整數(shù)m，如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，則稱這個三位正整數(shù)m為“美好數(shù)”．最大的三位“美好數(shù)”是．若一個三位“美好數(shù)”前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與這個“美好數(shù)”個位數(shù)字的4倍的和為111，滿足條件的三位“美好數(shù)”有．【答案】或【分析】題目主要考查有理數(shù)的表示、方程組求解，理解題意，列出方程組化簡求值是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，最大的三位美好數(shù)的百位數(shù)字一定是9，十位數(shù)字為8，再根據(jù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，得到個位數(shù)字為1，即可，設(shè)三位“美好數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，根據(jù)一個三位“美好數(shù)”前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與這個“美好數(shù)”個位數(shù)字的4倍的和為111，結(jié)合美好數(shù)的定義，列出方程組求解即可．【詳解】解：∵最大的三位“美好數(shù)”∴百位數(shù)字一定是9，十位數(shù)字為9，∵各個數(shù)位上的數(shù)字之和為18，∴個位數(shù)字為0，∴最大的三位“美好數(shù)”是；設(shè)三位“美好數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則：，由題意，得：，整理，得，∴，∴，∴，∴，∴，當時，，；當時，，；∴符合條件的三位“美好數(shù)”有或；故答案為：，或．3．三角形的周長為18cm，第一條邊與第二條邊的長度的和等于第三條邊長的2倍，而它們長度的差等于第三條邊長的，求這個三角形各邊的長．【答案】這個三角形的三邊長分別為7cm、5cm、6cm．【分析】設(shè)這個三角形的三邊長分別為a、b、c．根據(jù)題意列出方程組并解答．【詳解】設(shè)這個三角形的三邊長分別為a、b、c．依題意得：，解得，．答：這個三角形的三邊長分別為7cm、5cm、6cm．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用．在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設(shè)三個未知數(shù)，但同時應(yīng)注意，設(shè)幾個未知數(shù)，就要找到幾個等量關(guān)系列幾個方程．類型二、已知三元一次方程組的解求參1．三個整數(shù)a，b，c滿足，則a的值為（

）A．3 B．0 C． D．【答案】C【分析】本題考查解三元一次方程組，將三個式子相加求出的值，進而求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選C．2．若三元一次方程，當，時，，則的值為．【答案】1【分析】本題考查了三元一次方程，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能得出關(guān)于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到關(guān)于的一元一次方程，解之即可．【詳解】把，，，代入三元一次方程得：，解得：，故答案為．3．已知與互余，與互補，與的和等于周角的，求的度數(shù)．【答案】【分析】主要考查了余角和補角的概念以及運用．互為余角的兩角的和為，互為補角的兩角之和為，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的數(shù)量關(guān)系列出方程組，從而計算出結(jié)果．【詳解】解：由題意，得，三式相加，得，故，的度數(shù)為．類型三、三元一次方程組的應(yīng)用——比例問題1．響應(yīng)國家號召，某區(qū)推進新型農(nóng)村建設(shè)，強村富民．村民復興家準備將一塊良田分成三個區(qū)域來種植三種暢銷型農(nóng)作物．爸爸計劃好三個區(qū)域的占地面積后，復興主動承擔起實地劃分的任務(wù)．劃分完畢后，爸爸發(fā)現(xiàn)粗心的復興將A區(qū)的面積劃分給了B區(qū)，而原B區(qū)的面積錯劃分給了A區(qū)，C區(qū)面積未出錯，造成現(xiàn)B區(qū)的面積占兩區(qū)面積和的比例達到了．為了協(xié)調(diào)三個區(qū)域的面積占比，爸爸只好將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的區(qū)和區(qū)．爸爸劃分完后，A、B、C三個區(qū)域的面積比變?yōu)?，那么爸爸從區(qū)劃分給區(qū)的面積與區(qū)劃分前的總面積的比值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，三元依次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．設(shè)三個區(qū)域原來的面積分別為，先求出復興劃分后，區(qū)的面積與區(qū)的面積，從而可得，再設(shè)區(qū)劃分給區(qū)的面積為，則區(qū)劃分給區(qū)的面積為，根據(jù)爸爸劃分完后，、、三個區(qū)域的面積比變?yōu)榭傻茫瑩?jù)此化簡即可得．【詳解】解：設(shè)三個區(qū)域原來的面積分別為，由題意得：復興劃分后，區(qū)的面積為，區(qū)的面積為，∵復興劃分后，造成現(xiàn)區(qū)的面積占兩區(qū)面積和的比例達到了，，即，∴復興劃分后，區(qū)的面積為，區(qū)的面積為，設(shè)爸爸將區(qū)劃分給區(qū)的面積為，則區(qū)劃分給區(qū)的面積為，∵爸爸劃分完后，、、三個區(qū)域的面積比變?yōu)椋?，①，②，由①得：，將代入②得：，，則爸爸從區(qū)劃分給區(qū)的面積與區(qū)劃分前的總面積的比值為，故選：B．2．重慶某大學對重慶某村實施“技術(shù)助農(nóng)”．該村種植有A、B、C三種經(jīng)濟作物，助農(nóng)前，A，B，C三種作物畝數(shù)比例為2：5：3；助農(nóng)后，三種經(jīng)濟作物的畝數(shù)都得以增加，其中B作物增加的畝數(shù)占總增加畝數(shù)的．助農(nóng)前，C作物的畝產(chǎn)量是B作物畝產(chǎn)量的2.5倍，A，B兩種作物的畝產(chǎn)量之和恰好是C作物的畝產(chǎn)量；助農(nóng)后，A，B兩種作物的畝產(chǎn)量分別增加了和，A，B兩種作物的畝產(chǎn)量之和恰好仍是C作物的畝產(chǎn)量．若助農(nóng)后，B作物的產(chǎn)量比助農(nóng)前A，B產(chǎn)量之和多，而C作物的產(chǎn)量比助農(nóng)前A，B，C三種作物產(chǎn)量的總和還多5%，則助農(nóng)前后A作物的產(chǎn)量之比為．【答案】90：271【分析】設(shè)助農(nóng)前，A，B，C三種作物畝數(shù)分別為：2a，5a，3a，B作物畝產(chǎn)量為b，則C作物的畝產(chǎn)量是2.5b，A作物的畝產(chǎn)量為1.5b．可得助農(nóng)后，A作物的畝產(chǎn)量為2b，B作物的畝產(chǎn)量為b，C作物的畝產(chǎn)量為b．設(shè)助農(nóng)后增加的總畝數(shù)為x，C作物增加的畝數(shù)為y，則B作物增加的畝數(shù)為x，A作物增加的畝數(shù)為（x﹣x﹣y），列出方程組，可得到助農(nóng)前A作物的產(chǎn)量為，助農(nóng)后A作物的產(chǎn)量為ab，即可求解．【詳解】解：設(shè)助農(nóng)前，A，B，C三種作物畝數(shù)分別為：2a，5a，3a，B作物畝產(chǎn)量為b，則C作物的畝產(chǎn)量是2.5b，A作物的畝產(chǎn)量為2.5b﹣b＝1.5b．∵助農(nóng)后，A，B兩種作物的畝產(chǎn)量分別增加了和，A，B兩種作物的畝產(chǎn)量之和恰好仍是C作物的畝產(chǎn)量，∴助農(nóng)后，A作物的畝產(chǎn)量為：1.5b（1+）＝2b，B作物的畝產(chǎn)量為：b（1+）＝b，C作物的畝產(chǎn)量為：1.5b（1+）+b（1+）＝b．設(shè)助農(nóng)后增加的總畝數(shù)為x，C作物增加的畝數(shù)為y，則B作物增加的畝數(shù)為x，A作物增加的畝數(shù)為（x﹣x﹣y），∴解得：∴助農(nóng)前A作物的產(chǎn)量為：2a×b＝，助農(nóng)后A作物的產(chǎn)量為：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝ab．∴助農(nóng)前后A作物的產(chǎn)量之比為：90：271．【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，列代數(shù)式，依據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．3．甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若從甲、乙、丙三個杯子中各取出重量相等的奶茶，將它們混合后就成為含牛奶的奶茶；若從甲、乙兩個杯子中按重量之比為來取，混合后就成為含牛奶的奶茶；若從乙、丙中按重量之比為來取，混合后就成為含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比．【答案】甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分數(shù)分別為、、．【分析】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用；題設(shè)中有三種混合方式，但每種混合方式從各個容器中取出的牛奶的重量都是未知的，我們可以引進輔助未知數(shù)，將這些量分別用字母表示，可根據(jù)純牛奶的質(zhì)量來得到相應(yīng)等量關(guān)系：甲的濃度質(zhì)量乙的濃度質(zhì)量丙的濃度質(zhì)量；甲的濃度質(zhì)量乙的濃度質(zhì)量；乙的濃度質(zhì)量丙的濃度質(zhì)量，把無關(guān)未知量消去，解三元一次方程組即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分數(shù)分別為、、第一次混合從甲、乙、丙三個容器中各取出克牛奶，則有，從甲和乙中按重量之比為來取牛奶時，設(shè)從甲中取牛奶克，從乙中取牛奶克，則有，從乙和丙中按重量之比為來取牛奶時，設(shè)從乙中取牛奶克，從丙中取牛奶克，則有，將上面三式消去輔助未知數(shù)得：，解得，答：甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分數(shù)分別為、、．類型一、三元一次方程組的應(yīng)用——《九章算術(shù)》問題1．《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如，對于方程組，將其中數(shù)字排成長方形形式，然后執(zhí)行如下步驟（如圖）；第一步，將第二行的數(shù)乘以3，然后不斷地減第一行，直到第二行第一個數(shù)變?yōu)?；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．其本質(zhì)就是在消元．那么其中的a，b的值分別是（

）A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0【答案】A【分析】根據(jù)題意逐步求解三元一次方程即可【詳解】解：由，得，由，得，由，得，∴，由，得，由，得，∴，故選：A．【點睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干信息將方程組中的數(shù)字與圖一一對應(yīng)．2．《九章算術(shù)》中記載：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗，問上、中、下禾實一秉各幾何？”譯文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得實39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得實34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得實26斗，問上、中、下每一束得實各是多少斗？”設(shè)上禾、中禾、下禾每一束得實各為、、斗，可列方程為；【答案】【分析】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出三元一次方程組即可．【詳解】解：設(shè)上禾每束得實x斗、中禾每束得實y斗、下禾每束得實z斗，依題意有：【點睛】考查了三元一次方程組的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出數(shù)量關(guān)系列出方程組．3．我國古代很早就開始對一次方程組進行研究，其中不少成果被收入《九章算術(shù)》中．《九章算術(shù)》“方程”章的第一個問題譯成現(xiàn)代漢語是這樣的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得糧食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得糧食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得糧食26斗．求上、中、下三等谷每束各可得糧食幾斗．(1)設(shè)每束上等谷、中等谷、下等谷各可得糧食分別為斗，斗，斗，根據(jù)題意可列方程組為：__________．(2)下面的算籌圖代表了古代解決這個問題的方法．用算籌列出方程組，它省略了各未知數(shù)，只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項．請你參考前兩行，補全第三行的算籌圖．(3)利用現(xiàn)代高等代數(shù)的符號可以將（1）中方程組的系數(shù)排成一個表，這種由數(shù)排成的表叫做矩陣．容易看出，這個矩陣與上面的算籌圖是一致的，只是用阿拉伯數(shù)字替代了算籌．已知矩陣有如下的初等變換：①用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行；②將一行的k倍加到另一行上；③交換矩陣中兩行的位置．初等變換可以幫助我們解多元一次方程組．例如，用矩陣的初等變換解二元一次方程組的步驟如下：第一步：將此方程組的系數(shù)寫成矩陣：；第二步：，故此方程組的解為．請你仿照上述方法，補全用矩陣的初等變換解三元一次方程組的步驟．第一步：將此方程組的系數(shù)寫成矩陣：______________．第二步：故此方程組的解為_____________．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程即可；（2）根據(jù)“只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項”，即可得到答案；（3）根據(jù)矩陣的變換：①用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行；②將一行的k倍加到另一行上；③交換矩陣中兩行的位置．即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：補全算籌圖如下：（3）解：第一步：將此方程組的系數(shù)寫成矩陣：．第二步：，故此方程組的解為．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．類型二、三元一次方程組的應(yīng)用——整體思想問題1．我們在解二元一次方程組時，可將第一個方程代入第二個方程消去y，得到，從而求解．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．數(shù)形結(jié)合思想 B．分類討論思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．整體思想【答案】C【分析】本題主要考查對解二元一次方程組解法的理解，掌握轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解二元一次方程組的方法即可求解．【詳解】解：將第一個方程代入算二個方程消去得，是代入消元法解二元一次方程組，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，故選：C．2．(整體代換)有甲、乙、丙三種貨物．如果買甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元；如果買甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元．現(xiàn)在買甲、乙、丙各1件，需要花元．【答案】1.05【分析】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)購買甲、乙、丙各1件分別需要x，y，z元，根據(jù)題意，列出三元一次方程組進行求解即可．【詳解】解：設(shè)購買甲、乙、丙各1件分別需要x，y，z元，由題意，得：，，得：；即：買甲、乙、丙各1件，需要花1.05元；故答案為：1.05．3．先閱讀下列材料，再完成任務(wù)：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得，由①+②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則______，______；(2)若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足．則m的取值范圍是______；(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買1支鉛筆、1塊橡皮、1本日記本共需多少元？【答案】(1)，5(2)；(3)購買1支鉛筆、1塊橡皮、1本日記本共需6元．【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式，三元一次方程組的應(yīng)用．（1）利用加減法和即可得出結(jié)論；（2）先將方程組中的兩個方程相加化簡可得，再代入可得一個關(guān)于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得；（3）根據(jù)購買20支鉛筆、3塊橡皮、2本筆記本，共需要32元，若購買39支鉛筆、5塊橡皮、3本筆記本共需58元列出方程組．【詳解】（1）解：，由可得，由可得，∴．故答案為：，5；（2）解：，兩個方程相加得：，即，由題意得：，解得，故答案為：；（3）解：購買1支鉛筆需元，1塊橡皮需元，1本日記本共需元，由題意得：，得：，答：購買1支鉛筆、1塊橡皮、1本日記本共需6元．1．已知方程組，則的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用解方程中的整體思想，進行計算即可解答．．【詳解】解：，得：，∴．故選：A．【點睛】本題考查解三元一次方程組．理解和掌握解方程過程中的整體思想是解題的關(guān)鍵．2．某校購買體育器材，第一次購買籃球7個，排球5個，足球3個，共花費450元，第二次又購買同樣的籃球3個，排球2個，足球1個，共花費175元，則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費（

）A．100元 B．105元 C．110元 D．125元【答案】A【分析】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用．設(shè)籃球的單價為元，排球的單價為元，足球的單價為元，依題意得，，然后作答即可．【詳解】解：設(shè)籃球的單價為元，排球的單價為元，足球的單價為元，依題意得，，由得：，由得：，則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費元，故選：A．3．某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【答案】C【分析】本題主要考查了三元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購三種圖書需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．【詳解】解：設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中，且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，，整理得，，①當時，，∴∵且均為整數(shù)，∴當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；②當時，，∴∵，且均為整數(shù)，∴當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；綜上，此次共有6種采購方案，故選：C．4．已知＝0，則xyz＝．【答案】6【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出x、y、z的值，代入所求的代數(shù)式計算即可．【詳解】=0，，，．故答案為：6．【點睛】此題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：若幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)均為零．熟練運用非負數(shù)的性質(zhì)，并將問題轉(zhuǎn)化為方程組是解此題的關(guān)鍵．5．有7個完全相同的小球，3個完全相同的盒子，他們都不加以區(qū)別，若將這7個小球分別放入這3個盒子中，允許有盒子空著不放，則不同放法有種．【答案】8【分析】首先假設(shè)出三個盒子里的球數(shù)，得出，，得出一個盒子的球數(shù)后，再進行分析推理．本題考查的是三元一次方程的應(yīng)用，加法原理與乘法原理，根據(jù)題意得出的值，再根據(jù)的值進行分析是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)放在三個盒子里的球數(shù)分別為、、，球無區(qū)別，盒子無區(qū)別，故可令，依題意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五個值．①時，，則只取3、2，相應(yīng)取1、2，故有2種放法；②時，，則只取3、2，相應(yīng)取0、1，故有2種放法；③時，，則只取2、1，相應(yīng)取1、0，故有2種放法；④時，，則只取1，相應(yīng)取0，故有1種放法；⑤時，，則只取0，相應(yīng)取0，故有1種放法．綜上所求，故有8種不同放法．故答案為：8．6．信息安全保障越來越受到人們重視，很多信息需要加密處理，有一種加密、解密的工作原理為：發(fā)送方由明文通過加密規(guī)則加密成密文，接收方由密文通過解密成明文．已知某加密規(guī)則為：明文互為相反數(shù)，其對應(yīng)密文為．若接收方收到密文為2和，則的值為．【答案】【分析】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，讀懂加密規(guī)則是解題關(guān)鍵．根據(jù)加密規(guī)則可得或，且明文互為相反數(shù)，從而可得，，則，解方程即可得．【詳解】解：由題意得：或，且明文互為相反數(shù)，∴，，即，∴，解得，故答案為：．7．解方程組：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用加減消元和代入消元法解方程即可；（2）利用加減消元和代入消元法解方程即可；（3）利用代入消元法解方程即可；（4）利用加減消元法解方程即可．【詳解】（1）解：，①②得：④，把③代入④得：，解得：，把代入③得：，把，代入①得：，解得：，原方程組的解為：；（2）解：得：，∴，由②得：④，將④代入①得：，解得：，將，代入④得：，∴原方程組的解為：；（3）解：，由①得④，由②得⑤，把④、⑤代入③得：，解得，把代入④得，把代入⑤得，∴；（4）解：，得，，得，解方程組，解得，把代入①，得，所以原方程組的解為．【點睛】本題考查解三元一次方程組，熟練掌握代入消元法和加減消元法是解題的關(guān)鍵．8．【教材呈現(xiàn)】華東師大版7.2二元一次方程組的解法例1：解方程組解：由①得③將③代入②得解得將代入③，得所以小明同學受到上述解法的啟示，認為可以采用同樣的思想解決三元一次方程組，因此他做了如下嘗試：(1)如圖是一個正方體的平面展開圖，如果正方體相對的兩個面上的式子的值相等，則可以列出方程組______．(2)求解出上述、、的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了正方體的展開圖，解三元一次方程組；（1）根據(jù)相對的兩個面上的式子的值相等列方程組即可；（2）利用代入消元法求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）由①得，將②和④代入③得，解得