PAGEPAGE32.4正態(tài)分布課時過關(guān)·實力提升基礎(chǔ)鞏固1下面給出了關(guān)于正態(tài)曲線的敘述:①曲線在x軸上方且與x軸不相交;②當x>μ時,隨著x的增加曲線漸漸下降;當x<μ時,隨著x的增加曲線漸漸上升;③當μ肯定時,σ越小,總體分布越分散;σ越大,總體分布越集中;④曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且當x=μ時,位于最高點.其中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:當μ肯定時,σ越小,曲線越“瘦高”,即總體分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,總體分布越分散.只有③錯誤,①②④正確.答案:C2設(shè)隨機變量X~N(1,22),則D1A.4 B.2 C.解析:∵X~N(1,22),∴D(X)=4.∴答案:D3設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,σA.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2解析:μ是均值,σ2是方差,μ是密度曲線的對稱軸的位置,圖象越“瘦高”,數(shù)據(jù)越集中,σ2越小.答案:A4已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6827,則P(X>4)=()A.0.15855 B.0.15885 C.0.15865 D.0.15875解析:∵隨機變量X~N(3,1),∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x=3對稱,∴P(X>4)=12[1-P(2≤X≤4)]=1答案:C5已知某批材料的個體強度X聽從正態(tài)分布N(200,182).現(xiàn)從中任取一件,則取得的這件材料的強度高于182但不高于218的概率為()A.0.9973 B.0.6827C.0.8413 D.0.8159解析:由題意知μ=200,σ=18,μ-σ=182,μ+σ=218,由P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827知,應(yīng)選B.答案:B6如圖是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關(guān)系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3解析:當μ=0,σ=1時,正態(tài)曲線f(x)=12πe-x22.在x=0時,取最大值12π,故σ2=1.由正態(tài)曲線的性質(zhì),當μ肯定時,曲線的形態(tài)由σ確定.σ越小,曲線越“瘦高”;σ越大,曲線越“答案:D7已知ξ~N(0,82),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,則P(ξ>2)等于()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4解析:因為P(ξ>2)+P(0≤ξ≤2)+P(-2≤ξ≤0)+P(ξ<-2)=1,P(ξ>2)=P(ξ<-2),P(0≤ξ≤2)=P(-2≤ξ≤0),所以P(ξ>2)=12[1-2P答案:A8設(shè)隨機變量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=1解析:由題意P(ξ<1)=12,則故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=1-p-答案:19設(shè)隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),則c的值為.

解析:由正態(tài)曲線的性質(zhì)知,c+1與c-1關(guān)于ξ=2對稱,則(c+1答案:210已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間(0.2,+∞)的概率為0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線φμ,σ(x)在x=時達到最高點.

解析:由已知P(X>0.2)=P(X≤0.2)=0.5,則正態(tài)曲線關(guān)于x=0.2對稱.由正態(tài)曲線性質(zhì)得正態(tài)曲線在x=μ=0.2時達到最高點.答案:0.2實力提升1某廠生產(chǎn)的零件直徑ξ~N(10,0.22),今從該廠上午和下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個,測得其外直徑分別為9.9cm和9.3cm,則可認為()A.上午生產(chǎn)狀況未見異樣現(xiàn)象,下午生產(chǎn)狀況出現(xiàn)了異樣現(xiàn)象B.上午生產(chǎn)狀況出現(xiàn)了異樣,而下午生產(chǎn)狀況正常C.上午和下午生產(chǎn)狀況均是正常D.上午和下午生產(chǎn)狀況均出現(xiàn)了異樣現(xiàn)象解析:3σ原則:(10-3×0.2,10+3×0.2),即(9.4,10.6),9.9∈(9.4,10.6),9.3?(9.4,10.6),所以,上午生產(chǎn)狀況未見異樣,下午生產(chǎn)狀況出現(xiàn)了異樣.答案:A2設(shè)X1~N(0,1),X2~N(1,1),X3~N(0,9).下列答案正確的是()A.P(|X1|<1)=P(|X2|<1)=P(|X3|<1)B.P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<1)C.P(|X1|<1)=P(|X2|<1)=P(|X3|<3)D.P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<3)解析:由X1~N(0,1)知,μ1=0,σ1=1,則P(|X1|<1)=P(|X1-μ1|<σ1)=0.6827.由X2~N(1,1)知,μ2=1,σ2=1,則P(|X2-1|<1)=P(|X2-μ2|<σ2)=0.6827.由X3~N(0,9)知,μ3=0,σ3=3,則P(|X3|<3)=P(|X3-μ3|<σ3)=0.6827.故P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<3).答案:D3設(shè)隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(ξ>m)=a,則P(ξ>6-m)=()A.a B.1-2a C.2a D.1-a解析:由直線ξ=m與直線ξ=6-m關(guān)于直線ξ=3對稱,得P(ξ>m)=P(ξ<6-m)=a,則P(ξ>6-m)=1-a.答案:D4某種零件的尺寸X(單位:cm)聽從正態(tài)分布N(3,1),則不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的.

解析:屬于區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ),即區(qū)間(1,5)的取值概率約為95.45%,故不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)1-95.45%=4.55%.答案:4.55%5在某項測量中,測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

解析:測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),正態(tài)曲線的對稱軸為x=1,ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,可知,隨機變量ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率與ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率相同,也為0.4,這樣隨機變量ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.答案:0.86若隨機變量ξ~N(10,σ2),若ξ在(5,10)內(nèi)的概率等于a,a∈(0,0.5),則ξ在(-∞,15)內(nèi)的概率等于.

解析:由題意可知P(10<ξ<15)=a,則P(-∞<ξ≤5)=12(1-2答案:17某人乘車從A地到B地,所需時間X(單位:min)聽從正態(tài)分布N(30,100),求此人在40min至50min到達目的地的概率.解:由題意知μ=30,σ=10.因為P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(20<X≤40)=0.6827,所以,此人在20min至40min到達目的地的概率為0.6827.又因為P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(10<X≤50)=0.9545,所以,此人在10min至50min到達目的地的概率為0.9545.那么,此人在10min至20min或40min至50min到達目的地的概率為0.9545-0.6827=0.2718;由于正態(tài)曲線關(guān)于x=30對稱,因此,此人在40min至50min到達目的地的概率為0.2718÷2=0.1359.8在某次數(shù)學考試中,考生的成果ξ聽從一個正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率;(2)若這次考試共有2000名考生,試估計考試成果位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的考生大約有多少人.解:因為ξ~N(90,100),所以μ=90,σ(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率是0.9545,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.因為正態(tài)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)取值的概率是0.6827,所以考試成果ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.6827.又一共有2000名考生,所以考試成果在(80,100)間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).★9已知某地農(nóng)夫工年均收入ξ聽從正態(tài)分布,其密度函數(shù)圖象如圖.(1)寫出此地農(nóng)夫工年均收入的概率密度曲線的函數(shù)解析式;(2)求此地農(nóng)夫工年均收入在8000~8500之間的人數(shù)百分比.解:設(shè)農(nóng)夫工年均收入ξ~N(μ,σ2),結(jié)合題中圖象可知,μ=8