教學(xué)內(nèi)容2.1.2空間兩點間的距離教學(xué)設(shè)計20242025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊授課人某某某教材分析（1）本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是空間兩點間的距離?？臻g兩點間的距離公式是在平面兩點間距離公式基礎(chǔ)上的拓展，是解析幾何的重要內(nèi)容之一。它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，為解決空間幾何中的許多問題提供了有力的工具。（2）本節(jié)課主要介紹了空間兩點間距離公式的推導(dǎo)及其在空間幾何中的應(yīng)用。學(xué)生通過對平面兩點間距離公式的回顧和類比，經(jīng)歷從平面到空間的知識遷移過程，逐步推導(dǎo)得出空間兩點間的距離公式。在推導(dǎo)過程中，涉及到空間直角坐標(biāo)系的建立、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和連貫性。（3）通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，學(xué)生能夠掌握空間兩點間的距離公式，培養(yǎng)空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。同時，學(xué)生能進(jìn)一步體會解析幾何的思想方法，即通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行研究，從而提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。此外，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，提高對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)目標(biāo)（1）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界：通過創(chuàng)設(shè)實際情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)空間中兩點間距離問題的存在，理解研究空間兩點間距離的實際意義。能夠在具體的空間幾何問題中，準(zhǔn)確地識別出需要計算兩點間距離的情境，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和觀察能力。（2）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界：通過回顧平面兩點間距離公式的推導(dǎo)過程，類比探究空間兩點間距離公式。在推導(dǎo)過程中，運(yùn)用類比、歸納、演繹等數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和知識遷移能力。能夠運(yùn)用空間兩點間距離公式解決相關(guān)的空間幾何問題，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力。（3）會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界：通過課堂互動和練習(xí)，幫助學(xué)生用準(zhǔn)確、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述空間兩點間距離問題，并能用公式準(zhǔn)確表達(dá)空間兩點間的距離。能夠用數(shù)學(xué)語言清晰地闡述推導(dǎo)空間兩點間距離公式的思路和過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和交流能力。教學(xué)重難點（1）理解空間兩點間距離公式的推導(dǎo)過程，掌握空間兩點間的距離公式，并能運(yùn)用公式解決空間幾何中的相關(guān)問題。（2）在推導(dǎo)空間兩點間距離公式的過程中，體會類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為空間兩點間距離問題，并運(yùn)用公式進(jìn)行求解，體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。教學(xué)資源（1）多媒體設(shè)備，包括投影儀和電腦，用于展示教學(xué)課件和相關(guān)的練習(xí)題。（2）教學(xué)模型，如空間直角坐標(biāo)系模型，用于直觀展示空間點的位置和坐標(biāo)關(guān)系，幫助學(xué)生理解空間概念。（3）練習(xí)卡片，包含不同類型的空間兩點間距離問題的題目，供學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)和鞏固。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入師：同學(xué)們，在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識?，F(xiàn)在請大家思考一個問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，如何計算這兩點間的距離呢？（等待1分鐘，學(xué)生思考）學(xué)生：根據(jù)勾股定理，我們可以得到平面兩點間的距離公式\(\vertAB\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)。師：非常好！大家回答得很準(zhǔn)確。平面兩點間的距離公式在解決平面幾何問題中有著重要的應(yīng)用。那么，在現(xiàn)實生活中，我們生活的空間是三維的，比如我們要確定一個物體在空間中的位置，就需要三個坐標(biāo)?，F(xiàn)在請大家想象一下，如果在空間直角坐標(biāo)系中有兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，我們該如何計算這兩點間的距離呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——空間兩點間的距離。接下來，讓我們一起探究《空間兩點間的距離》。二、探究新知環(huán)節(jié)一：類比平面，初步探究教師：我們已經(jīng)知道了平面兩點間的距離公式，現(xiàn)在我們嘗試類比平面的情況來探究空間兩點間的距離。首先，我們回顧一下平面兩點間距離公式的推導(dǎo)過程。在平面直角坐標(biāo)系中，我們通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到了距離公式。那么在空間直角坐標(biāo)系中，我們是否也可以通過類似的方法來推導(dǎo)空間兩點間的距離公式呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考，小組討論）學(xué)生：我們可以嘗試構(gòu)造一個長方體，讓這兩點成為長方體的兩個相對頂點。教師：非常好的想法！我們就按照這個思路來進(jìn)行探究。假設(shè)在空間直角坐標(biāo)系中有兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，我們以這兩點為長方體的兩個相對頂點，構(gòu)造一個長方體，使得長方體的棱分別與坐標(biāo)軸平行。（教師在黑板上畫出空間直角坐標(biāo)系和長方體的示意圖，幫助學(xué)生理解）環(huán)節(jié)二：推導(dǎo)公式教師：現(xiàn)在我們來分析這個長方體。設(shè)長方體的三條棱長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。那么\(a=\vertx_2x_1\vert\)，\(b=\verty_2y_1\vert\)，\(c=\vertz_2z_1\vert\)。我們要求的空間兩點\(P_1\)，\(P_2\)間的距離就是長方體的體對角線的長度。根據(jù)長方體體對角線的性質(zhì)，我們可以先求出底面長方形的對角線長度。在底面長方形中，兩條鄰邊的長度分別為\(\vertx_2x_1\vert\)和\(\verty_2y_1\vert\)，根據(jù)勾股定理，底面長方形的對角線長度\(d_1=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)。然后，再看由底面長方形的對角線和長方體的高構(gòu)成的直角三角形，這個直角三角形的斜邊就是長方體的體對角線，也就是空間兩點\(P_1\)，\(P_2\)間的距離\(\vertP_1P_2\vert\)。根據(jù)勾股定理，我們可以得到：\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{d_1^2+c^2}=\sqrt{(\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2})^2+(z_2z_1)^2}=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)（教師在黑板上詳細(xì)推導(dǎo)過程，邊推導(dǎo)邊講解）教師：這樣，我們就得到了空間兩點間的距離公式：對于空間兩點\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)，\(P_2(x_2,y_2,z_2)\)，它們之間的距離\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。環(huán)節(jié)三：特殊情況討論教師：接下來，我們討論一下空間兩點間距離公式的特殊情況。當(dāng)其中一點為坐標(biāo)原點\(O(0,0,0)\)，另一點為\(P(x,y,z)\)時，根據(jù)空間兩點間的距離公式，\(\vertOP\vert=\sqrt{(x0)^2+(y0)^2+(z0)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)。這就是空間中一點到原點的距離公式。（引導(dǎo)學(xué)生思考并理解特殊情況）學(xué)生：我明白了，這就相當(dāng)于把原點的坐標(biāo)代入到一般的空間兩點間距離公式中。教師：非常好！通過這種特殊情況的討論，我們可以更深入地理解空間兩點間距離公式的本質(zhì)。三、鞏固練習(xí)練習(xí)一：基礎(chǔ)應(yīng)用教師：現(xiàn)在我們來做一些練習(xí)題，鞏固一下所學(xué)的知識。已知空間兩點\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，求\(A\)，\(B\)兩點間的距離。（學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)）學(xué)生：根據(jù)空間兩點間的距離公式\(\vertAB\vert=\sqrt{(41)^2+(52)^2+(63)^2}=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}\)。教師：非常好！大家計算得很準(zhǔn)確。在計算過程中，要注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，按照公式準(zhǔn)確計算。練習(xí)二：變形應(yīng)用教師：接下來，已知點\(P(x,0,0)\)到點\(A(1,2,3)\)的距離為\(\sqrt{14}\)，求\(x\)的值。（引導(dǎo)學(xué)生分析題目，列出方程）學(xué)生：根據(jù)空間兩點間的距離公式可得\(\sqrt{(x1)^2+(02)^2+(03)^2}=\sqrt{14}\)。教師：很好！那接下來如何求解這個方程呢？（學(xué)生繼續(xù)求解，教師指導(dǎo)）學(xué)生：對方程兩邊同時平方可得\((x1)^2+4+9=14\)，即\((x1)^2=1\)，解得\(x=2\)或\(x=0\)。教師：非常棒！在求解這類問題時，我們先根據(jù)距離公式列出方程，然后通過解方程求出未知數(shù)的值。練習(xí)三：綜合應(yīng)用教師：已知空間三點\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，判斷\(\triangleABC\)的形狀。（引導(dǎo)學(xué)生思考，小組討論）學(xué)生：我們可以先求出三角形三邊的長度，然后根據(jù)三邊長度的關(guān)系來判斷三角形的形狀。教師：非常好的思路！那請大家計算一下三邊的長度。（學(xué)生計算，教師巡視）學(xué)生：根據(jù)空間兩點間的距離公式可得\(\vertAB\vert=\sqrt{(01)^2+(10)^2+(00)^2}=\sqrt{2}\)，\(\vertAC\vert=\sqrt{(01)^2+(00)^2+(10)^2}=\sqrt{2}\)，\(\vertBC\vert=\sqrt{(00)^2+(01)^2+(10)^2}=\sqrt{2}\)。教師：很好！三邊長度都相等，那么\(\triangleABC\)是什么三角形呢？學(xué)生：等邊三角形。教師：非常正確！通過這個練習(xí)，我們可以看到空間兩點間距離公式在判斷空間幾何圖形形狀方面的應(yīng)用。四、課堂小結(jié)教師：通過今天的課程，我們學(xué)習(xí)了空間兩點間的距離。我們從平面兩點間的距離公式出發(fā)，通過類比和推導(dǎo)，得到了空間兩點間的距離公式\(\vertP_1P_2\vert=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2z_1)^2}\)。在推導(dǎo)過程中，我們運(yùn)用了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解決。同時，我們通過做練習(xí)題，掌握了空間兩點間距離公式的應(yīng)用，包括基礎(chǔ)計算、變形求解和綜合應(yīng)用等。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中，能夠熟練運(yùn)用空間兩點間的距離公式解決相關(guān)的空間幾何問題?，F(xiàn)在，請大家回顧一下今天所學(xué)的內(nèi)容，誰能總結(jié)一下？學(xué)生：今天我們學(xué)習(xí)了空間兩點間的距離公式，通過類比平面兩點間距離公式推導(dǎo)出來的，還做了一些練習(xí)題來鞏固公式的應(yīng)用。教師：總結(jié)得很好！希望大家能夠在課后繼續(xù)復(fù)習(xí)和鞏固所學(xué)的知識，多做一些相關(guān)的練習(xí)題，加深對空間兩點間距離公式的理解和應(yīng)用。作業(yè)設(shè)計（1）書面作業(yè)：教材課后練習(xí)題中關(guān)于空間兩點間距離的題目，要求學(xué)