高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州十校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，只有B正確．故選：B．2.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命題的否定為.故選：B3.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，所以，又，所以，故選：C4.已知定義在上的函數(shù)表示為：x0y102設(shè)，的值域?yàn)镸，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闈M足，所以，由表中數(shù)據(jù)可知：的取值僅有三個(gè)值：，所以的值域?yàn)?故選：B.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫(xiě)出三個(gè)集合：，，，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋?lái)正確描述“”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件.則“”表示的數(shù)字是（）A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3【答案】A【解析】由“甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)”可得表示的數(shù)字可能為1,2,3,4，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，又，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；所以“”表示的數(shù)字是1或2，故選：A.7.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，得到，顯然，由圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得到，解得，所以，滿足要求，得到.故選：A.8.已知?jiǎng)t下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知表示中的最小值，表示中的最大值．對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，分別取中的一個(gè)最小值與一個(gè)最大值，所以，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，則，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以．綜上所述，，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，取，則，而，此時(shí)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以；?dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以．綜上所述，，故D正確．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知全集，，，，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.不同真子集個(gè)數(shù)為8【答案】BC【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，說(shuō)明，綜上，畫(huà)出維恩圖如下：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，的不同真子集個(gè)數(shù)為7，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列說(shuō)法不正確的是（）A.已知，若，則組成集合為B.不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充分不必要條件是C.的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.不等式解集為，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，又，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，組成集合為，A說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，可得對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，由對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，解得，綜上所述：不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是，所以不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充分不必要條件是，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，解得，故的定義域?yàn)椋珻說(shuō)法不正確；D選項(xiàng)，不等式解集為，則且為方程的兩個(gè)根，故，則，故，D說(shuō)法不正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椴缓銥?，且，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在定義域內(nèi)單調(diào)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，令，則，故A正確；對(duì)于BCD，當(dāng)且時(shí)，，得恒成立，令函數(shù)，則，所以，所以為常函數(shù)，且，令，則，易得是奇函數(shù)，故C正確；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________．【答案】【解析】依題意，所以.故答案為：13.已知定義在上的函數(shù)（為常數(shù)），若，則_______.【答案】【解析】設(shè)，則，即，且定義域?yàn)镽，∴是奇函數(shù)，所以，，兩式相加得，所以，.故答案為：.14.若正實(shí)數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】由已知可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以不等式有解即不等式有解，即，解得或，所以的取值范圍，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）從①“”是“”的充分不必要條件；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.問(wèn)題：若_______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，∴，又，∴；（2）選①，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，若，則，解得；若，則且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，綜上，或，即的取值范圍為選②，因?yàn)?，所以，下同選①.選③，因?yàn)椋?，下同選①.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求冪函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）∵冪函數(shù)為偶函數(shù)∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合條件；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不符合條件；∴函數(shù)的解析式是.（2）由（1）知，，則由，得，即，令，依題意，對(duì)任意，恒成立，∴∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.17已知二次函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即?）由，可得不等式，即當(dāng)，即時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或18.在園林博覽會(huì)上，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入100元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).解：（1）∵，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由不等式性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?150>1130，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)年產(chǎn)量為20萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1150萬(wàn)元19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；（3）求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意可知，故，又由可得，解得；所以，此時(shí)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故是定義在上的奇函數(shù)，滿足題意，所以.（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：取任意，且，則；因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，即，因此在上單調(diào)遞增.（3）由（1）（2）可知，是在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以由可得，因此需滿足，解得，即；故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.若函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱(chēng)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若圖象上兩個(gè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且、的中點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的最小值．參考公式：，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．解：（1）當(dāng)，時(shí)，,由,解得或,所以所求的不動(dòng)點(diǎn)為-1或3.（2）令則①,由題意，方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根，所以,即恒成立，則，故（3）設(shè),,又AB的中點(diǎn)在該直線上，所以,而應(yīng)是方程①的兩個(gè)根，所以即,,,福建省福州十校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，只有B正確．故選：B．2.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命題的否定為.故選：B3.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，所以，又，所以，故選：C4.已知定義在上的函數(shù)表示為：x0y102設(shè)，的值域?yàn)镸，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闈M足，所以，由表中數(shù)據(jù)可知：的取值僅有三個(gè)值：，所以的值域?yàn)?故選：B.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫(xiě)出三個(gè)集合：，，，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋?lái)正確描述“”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件.則“”表示的數(shù)字是（）A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3【答案】A【解析】由“甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)”可得表示的數(shù)字可能為1,2,3,4，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，又，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；所以“”表示的數(shù)字是1或2，故選：A.7.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，得到，顯然，由圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得到，解得，所以，滿足要求，得到.故選：A.8.已知?jiǎng)t下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知表示中的最小值，表示中的最大值．對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋謩e取中的一個(gè)最小值與一個(gè)最大值，所以，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，則，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以．綜上所述，，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，取，則，而，此時(shí)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以；?dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以．綜上所述，，故D正確．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知全集，，，，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.不同真子集個(gè)數(shù)為8【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，說(shuō)明，綜上，畫(huà)出維恩圖如下：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，的不同真子集個(gè)數(shù)為7，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列說(shuō)法不正確的是（）A.已知，若，則組成集合為B.不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充分不必要條件是C.的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.不等式解集為，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，又，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，組成集合為，A說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，可得對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，由對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，解得，綜上所述：不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是，所以不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立的充分不必要條件是，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，解得，故的定義域?yàn)椋珻說(shuō)法不正確；D選項(xiàng)，不等式解集為，則且為方程的兩個(gè)根，故，則，故，D說(shuō)法不正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椴缓銥?，且，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在定義域內(nèi)單調(diào)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，令，則，故A正確；對(duì)于BCD，當(dāng)且時(shí)，，得恒成立，令函數(shù)，則，所以，所以為常函數(shù)，且，令，則，易得是奇函數(shù)，故C正確；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________．【答案】【解析】依題意，所以.故答案為：13.已知定義在上的函數(shù)（為常數(shù)），若，則_______.【答案】【解析】設(shè)，則，即，且定義域?yàn)镽，∴是奇函數(shù)，所以，，兩式相加得，所以，.故答案為：.14.若正實(shí)數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】由已知可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以不等式有解即不等式有解，即，解得或，所以的取值范圍，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）從①“”是“”的充分不必要條件；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.問(wèn)題：若_______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，∴，又，∴；（2）選①，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，若，則，解得；若，則且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，綜上，或，即的取值范圍為選②，因?yàn)椋?，下同選①.選③，因?yàn)?，所以，下同選①.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求冪函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）∵冪函數(shù)為偶函數(shù)∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合條件；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不符合條件；∴函數(shù)的解析式是.（2）由（1）知，，則由，得，即，令，依題意，對(duì)任意，恒成立，∴∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.17已知二次函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即?）由，可得不等式，即當(dāng)，即時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或18.在園林博覽會(huì)上，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入100元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)