專題8立體幾何

第1節(jié)

空間幾何體的三視圖、表面積和體積第2節(jié)空間直線、平面平行與垂直的判定及其性質(zhì)第3節(jié)空間中的計算問題11.多面體的結(jié)構(gòu)特征2.正棱柱與正棱錐的結(jié)構(gòu)特征3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征4.三視圖考點42空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖1.多面體的結(jié)構(gòu)特征正棱錐：

頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，底面是正多邊形；

側(cè)棱長相等；

側(cè)面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高(稱為斜高)相等；④棱錐的高、斜高和斜足與底面中心的連線組成一個直角三角形，棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形．2.正棱柱與正棱錐的結(jié)構(gòu)特征3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征4.三視圖正棱柱:

側(cè)棱與底面垂直(直棱柱)底面是正多邊形考點42空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖1.多面體的結(jié)構(gòu)特征2.正棱柱與正棱錐的結(jié)構(gòu)特征3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征4.三視圖考點42空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖1.多面體的結(jié)構(gòu)特征定義：從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體，描繪出的平面圖形，分別稱為正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．2.正棱柱與正棱錐的結(jié)構(gòu)特征3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征4.三視圖畫圖規(guī)則：

長對正（正視圖與俯視圖一樣長）

高平齊（正視圖與側(cè)視圖一樣高）

寬相等（側(cè)視圖與俯視圖一樣寬）重疊的線只畫一條，被擋住的線(看不見的線)要畫成虛線．排列順序：先畫正(主)視圖俯視圖放在正(主)視圖的下方側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右方考點42空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖61.計算有關(guān)線段的長2.外接球、內(nèi)切球的計算問題

觀察幾何體的特征

利用一些常用定理與公式(如正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)公式等)結(jié)合題目的已知條件求解考法1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征71.計算有關(guān)線段的長2.外接球、內(nèi)切球的計算問題

認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，

確定有關(guān)“元素”間的數(shù)量關(guān)系，作出合適的截面圖

當(dāng)球內(nèi)切于正方體時，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；考法1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征81.計算有關(guān)線段的長2.外接球、內(nèi)切球的計算問題

球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題.球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖解題．設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.考法1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征910B11c121314151.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖（1）弄清結(jié)構(gòu)，明確位置（2）先畫正視圖，再畫俯視圖，最后畫側(cè)視圖（3）被遮住的輪廓線要畫成虛線【注意】若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線的位置．1.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖確定其是一個平面的投影,還是面與面的交線,或者是旋轉(zhuǎn)體的輪廓線的投影.（1）分析視圖的意義（2）利用線框分析表面的相對位置關(guān)系視圖中的一個封閉線框一般情況下表示一個面的投影.若出現(xiàn)線框套線框,則可能有一個面是凸出的、凹下的、傾斜的或者是有打通的孔,兩個線框相連,表示兩個面高低不平或者相交.（3）將幾個視圖聯(lián)系起來觀察,確定物體的形狀.（4）注意三視圖中虛線和實線的變化,從而區(qū)別不同的物體形狀.161.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖一般先通過三視圖還原出實物圖,畫出該幾何體的直觀圖,從而根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)求出幾何體的基本量.3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖171819D20B21C常見幾何體的側(cè)面積與表面積的計算公式考點43幾何體表面積的計算

1.由三視圖求相關(guān)幾何體的表面積2.根據(jù)幾何體的特征求表面積常用方法：還原空間幾何體，確定點、線、面位置關(guān)系及線段的長度，利用公式進行計算.考法3幾何體表面積的計算231.由三視圖求相關(guān)幾何體的表面積2.根據(jù)幾何體的特征求表面積（1）對于規(guī)則幾何體直接利用公式求解.對于多面體通過“裁”“展”分解為若干個平面圖形的面積之和.對于旋轉(zhuǎn)體確定底面半徑、母線長、側(cè)面展開圖的形狀與邊長利用公式求解.（2）對于不規(guī)則幾何體通過“割”或“補”轉(zhuǎn)化成常規(guī)的柱、錐、臺等，再通過求和或作差求得原幾何體的表面積.【說明】正四面體的表面積是（a是正四面體的棱長）.【注意】對于組合體的表面積，求解時要注意“表面”的構(gòu)成，計算時不要重復(fù)也不要遺漏.考法3幾何體表面積的計算2425C26C27B28C29B考點44幾何體體積的計算

1.由三視圖求相關(guān)幾何體的體積2.根據(jù)幾何體的特征求體積注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，利用公式求解．考法4幾何體體積的計算311.由三視圖求相關(guān)幾何體的體積2.根據(jù)幾何體的特征求體積關(guān)鍵：找相應(yīng)的底面面積和高途徑：利用截面和軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.方法：（1）直接法

（2）割補法

（3）等體積法【說明】正四面體的體積是（a是正四面體的棱長）.將三棱錐還原為三棱柱或長方體,將三棱柱還原為平行六面體,將臺體還原為錐體.

求體積時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)牡酌?/p>

求點到面的距離,關(guān)鍵是構(gòu)造三棱錐考法4幾何體體積的計算3233C34A35C36公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.公理2的三個推論：推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.1.平面的基本性質(zhì)及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關(guān)系空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.考點45點、線、面的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關(guān)系考點45點、線、面的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關(guān)系(2)空間中直線和平面的位置關(guān)系考點45點、線、面的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關(guān)系(3)空間中兩個平面的位置關(guān)系考點45點、線、面的位置關(guān)系判斷方法（1）結(jié)合選項通過論證或排除法求解.（2）注意性質(zhì)定理的使用前提和條件；注意符合條件的圖形是否不止一個.（3）借助幾何圖形，尤其是長方體、錐體等特殊幾何體，來判斷位置關(guān)系.（4）判斷一個選項的說法是正確的，需要對所有可能的情況進行推理；只要存在反例，那么這個說法就是不正確的.對點、線、面的位置關(guān)系的判斷,常采用窮舉法,即對各種關(guān)系都進行考慮,要充分發(fā)揮模型的直觀性作用，也要非常明確點、線、面之間的各種位置關(guān)系.考法1點、線、面的位置關(guān)系4142D4344【解析】對于A，垂直于同一個平面的兩個平面可以相交或平行，A不正確；對于B，平行于同一平面的兩直線可以相交、異面或平行，B不正確；對于C，在α內(nèi)存在平行于β的直線，C不正確.D45A【解析】直線CE在正方體的下底面所在平面內(nèi),與正方體的上底面所在平面平行,與正方體的左右兩個側(cè)面、前后兩個側(cè)面所在平面都相交,故m=4.取CD的中點G，連接EG,FG,顯然易證平面EFG與正方體的左右兩個側(cè)面所在平面平行,所以直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面所在平面平行.易知△EFG的底邊EG上的高線與正方體的前后兩個側(cè)面所在平面平行,故直線EF一定與正方體的前后兩個側(cè)面所在平面相交.另外,直線EF顯然與正方體的上下兩個底面所在平面相交.綜上,直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4，故n=4.所以m+n=8.故選A.46【易錯警示】通過圖象直觀觀察,容易誤判直線EF與正方體的前后兩個側(cè)面所在平面平行；或者誤判直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面所在平面相交.1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質(zhì)

1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質(zhì)

1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質(zhì)

50證明直線與平面平行的常用方法1.利用直線與平面平行的判定定理（主要方法）【關(guān)鍵】找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線.可先直觀判斷題中是否存在這樣的直線.若不存在,則需作出直線,?？紤]:①三角形的中位線（即給出中點時,常通過取某邊的中點作出中位線）;②平行四邊形的對邊平行;③面面平行的性質(zhì).考法2線面平行的判定與性質(zhì)51證明直線與平面平行的常用方法考法2線面平行的判定與性質(zhì)52證明直線與平面平行的常用方法3.利用空間向量證明線面平行（1）證明直線的方向向量與平面的某一個法向量垂直；(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.【注意】向量法證明問題時，要注意直線不在目標(biāo)平面內(nèi).考法2線面平行的判定與性質(zhì)53541.證明平面與平面平行的常用方法2.空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

考法3面面平行的判定與性質(zhì)551.證明平面與平面平行的常用方法2.空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

這是立體幾何中證明平行關(guān)系常用的思路,三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶考法3面面平行的判定與性質(zhì)561.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)2.兩個平面垂直考點47線面、面面垂直的判定與性質(zhì)

1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)2.兩個平面垂直(2)兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(1)定義：兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.考點47線面、面面垂直的判定與性質(zhì)

59（1）判定定理（常用方法）：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.判定定理中的兩條相交直線必須保證“在平面內(nèi)相交”這一條件.（2）性質(zhì)：①應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)（常用方法）：若兩平面垂直,則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面，是證明線面垂直的主要方法；②（客觀題常用）若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質(zhì)與線線垂直考法4線面垂直的判定與性質(zhì)60（3）利用空間向量（常用方法）：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或者利用線面垂直的判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(利用空間向量證明線線垂直問題，證明兩直線所在的方向向量互相垂直或數(shù)量積為0).（4）（客觀題常用）若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,則它必垂直于另一個平面.（5）（客觀題常用）若兩相交平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質(zhì)與線線垂直考法4線面垂直的判定與性質(zhì)1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質(zhì)與線線垂直證明相交直線垂直常用的方法：等腰三角三線合一，矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角為90°,菱形的對角線互相垂直，兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計算滿足勾股定理)或直角梯形的性質(zhì)等.證明異面直線垂直，往往先證線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得到.已知線面垂直,則直線與平面內(nèi)任一直線垂直的性質(zhì)又為證明線線垂直提供了依據(jù).注意重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理.

注意題中隱含的垂直關(guān)系.證明方法：

通過計算.根據(jù)已知的垂直關(guān)系.核心：線線垂直考法4線面垂直的判定與性質(zhì)616263（1）（不常用）利用面面垂直的定義.（3）（客觀題常用）若兩個平行平面中的一個平面垂直于第三個平面,則另一個平面也垂直于第三個平面.(4)（常用方法）利用空間向量：證明兩個平面的法向量垂直，或者利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.1.證明面面垂直的思路2.空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.（2）（常用方法）可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行.考法5面面垂直的判定與性質(zhì)641.證明面面垂直的思路2.空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化考法5面面垂直的判定與性質(zhì)65651.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：知道結(jié)論,求條件解題策略：先假設(shè)結(jié)論成立,然后以該結(jié)論作為一個已知條件,再結(jié)合題目的其他已知條件,逆推（即從后往前推）,一步一步推出所要求的條件.注意推理的可逆性，不要認(rèn)為所有的條件都是充要條件.綜合點1與平行、垂直有關(guān)的開放性問題661.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：要判斷某一對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立，解題策略：假定存在，然后進行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.假設(shè)存在，設(shè)出參數(shù)，將已知條件合理轉(zhuǎn)化并求解.若能求出符合要求的參數(shù)的值，則存在所求的點或線；否則不存在.“存在”就是有，證明有或者舉出一例；“不存在”就是沒有，常用反證法加以論證.“是否存在”的問題，結(jié)論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由.這類問題常用“肯定順推”.綜合點1與平行、垂直有關(guān)的開放性問題671.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：知道一個命題,要求類比得出與之類似的一個命題解題策略：從命題的結(jié)構(gòu)形式及特征入手,再進行證明說理.可運用已知信息,通過延伸和推廣,對某些真命題進行深化和拓展,從而得出新的命題.綜合點1與平行、垂直有關(guān)的開放性問題6869701.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角考點48求空間角

1.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角規(guī)定：①若直線垂直于平面,則它們所成的角是直角；②若直線和平面平行,或在平面內(nèi),則它們所成的角是0°的角；③當(dāng)直線與平面斜交時,它們所成的角是銳角.考點48求空間角

1.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角考點48求空間角

741.平移法2.向量法

通過作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形等)來構(gòu)造平行線，作出異面直線所成的角，通過解三角形來求解．簡記為：作(找)角→證明→求值→取舍．考法1異面直線所成的角1.平移法2.向量法考法1異面直線所成的角7576A771.幾何法2.向量法作出直線與平面所成的平面角，再通過解三角形求解．具體步驟為：(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線，或過斜線上一點作平面的垂線，確定垂足的位置；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)將該角歸結(jié)為某個三角形的內(nèi)角(一般是直角三角形)，通過解三角形(可能需要解多個三角形)求得該角或其三角函數(shù)值．【說明】立體幾何中的垂足常是特殊點，如圖形的中心、垂心、重心、中點等．考法2

求線面所成的角781.幾何法2.向量法考法2

求線面所成的角79801.幾何法2.向量法考法3

求二面角811.幾何法2.向量法考法3

求二面角82（1）兩點間的距離——連接兩點的線段的長度．（2）點到直線的距離——從直線外一點向直線引垂直相交的直線,點到垂足之間線段的長度．（3）點到平面的距離——從平面外一點向平面引垂線,點到垂足間線段的長度．連接平面α外一點與平面α內(nèi)任一點的線段中,垂線段最短．（4）平行直線間的距離——從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線,該點到垂足間線段的長度．（5）異面直線間的距離——兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度．（6）直線與平面間的距離——如果一條直線和一個平面平行,從直線上任意一點向平面引垂線,該點到垂足間線段的長度，轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．（7）兩平行平面間的距離——兩個平面的公垂線段的長度．空間的距離考點49求空間距離841.幾何法2.向量法直接法：利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等的性質(zhì)定理與判定定理,作出表示所求的空間距離的垂線段,再通過解三角形求出距離.其中,找垂足是確定垂線段的關(guān)鍵,一般可借助線面垂