理想流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程研究對(duì)象

邊長(zhǎng)為dx，dy，dz的微元平行六面體。形心坐標(biāo)：

x，y，z三方向速度：

vx，

vy，

vz密度：

微分形式的連續(xù)方程

x軸方向流體質(zhì)量的流進(jìn)和流出左面微元面積流入的流體質(zhì)量：右面微元面積流入的流體質(zhì)量：x軸方向流體的凈流入量：微分形式的連續(xù)方程

y軸方向流體質(zhì)量的流進(jìn)和流出下面微元面積流入的流體質(zhì)量：上面微元面積流入的流體質(zhì)量：y軸方向流體的凈流入量：微分形式的連續(xù)方程

z軸方向流體質(zhì)量的流進(jìn)和流出后面微元面積流入的流體質(zhì)量：前面微元面積流入的流體質(zhì)量：z軸方向流體的凈流入量：微分形式的連續(xù)方程

每秒流入微元六面體的凈流體質(zhì)量x軸方向流體的凈流入量：y軸方向流體的凈流入量：z軸方向流體的凈流入量：微分形式的連續(xù)方程微元六面體內(nèi)密度變化引起的每秒的流體質(zhì)量的變化微分形式的連續(xù)方程由得微分形式的連續(xù)方程其它形式的連續(xù)方程矢量形式：可壓縮流體的定常流動(dòng)：不可壓縮流體的定常或非定常流動(dòng)：微分形式的連續(xù)方程其它形式的連續(xù)方程二維可壓縮流體的定常流動(dòng)：二維不可壓縮流體的定?；蚍嵌ǔＡ鲃?dòng)：流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖E流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)變形

線變形角變形——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解移動(dòng)X方向速度：vxY方向速度：vyZ方向速度：vz線變形運(yùn)動(dòng)X方向速度：Y方向速度：Z方向速度：角變形運(yùn)動(dòng)Z方向速度：角變形運(yùn)動(dòng)X方向速度：Y方向速度：Z方向速度：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)Z方向速度：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)X方向速度：Y方向速度：Z方向速度：E點(diǎn)的速度E第一項(xiàng)：平移運(yùn)動(dòng)第二項(xiàng)：線變形運(yùn)動(dòng)第三項(xiàng)：角變形運(yùn)動(dòng)第四項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有旋流動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)：流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動(dòng)稱為有旋流動(dòng)。無旋流動(dòng)：流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動(dòng)稱為無旋流動(dòng)。理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程研究對(duì)象

邊長(zhǎng)為dx，dy，dz的微元平行六面體。形心坐標(biāo)：

x，y，z三方向質(zhì)量力：

fx，fy，fz壓強(qiáng)：

p理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程流體微團(tuán)在x軸方向的受力左面微元表面中心的受力：質(zhì)量力：

x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程：右面微元表面中心的受力：

理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程流體微團(tuán)在y軸方向的受力下面微元表面中心的受力：質(zhì)量力：

y軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程：上面微元表面中心的受力：

理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程流體微團(tuán)在z軸方向的受力后面微元表面中心的受力：質(zhì)量力：

z軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程：前面微元表面中心的受力：

理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組或理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組或理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程組理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程組歐拉積分式和伯努利積分式

伯努利方程——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程常見的歐拉微分方程的積分

定常無旋流動(dòng)的歐拉積分定常流動(dòng)的伯努利積分兩個(gè)積分的前提條件

流動(dòng)是定常的，質(zhì)量力是有勢(shì)的，流體不可壓縮，流體是正壓流體，歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程前提條件下的蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程歐拉積分無旋流動(dòng)：由蘭姆方程得，積分得，歐拉積分式歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程歐拉積分歐拉積分式物理意義：非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作無旋流動(dòng)時(shí)，流場(chǎng)中任一點(diǎn)的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能的總和保持不變，且這三種機(jī)械能可以相互轉(zhuǎn)換。歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程伯努利積分有旋流動(dòng)的積分需沿某條流線求積分。由蘭姆方程得，歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程伯努利積分沿流線積分得，伯努利積分式歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程伯努利積分伯努利積分式物理意義：非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作有旋流動(dòng)時(shí)，沿同一條流線上各點(diǎn)單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能的總和保持不變，且這三種機(jī)械能可以相互轉(zhuǎn)換。歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程伯努利方程

質(zhì)量力僅僅是重力，不可壓縮流體，伯努利方程物理意義：在重力作用下不可壓縮理想流體作定常流動(dòng)時(shí)，對(duì)于有旋流動(dòng)，沿同一條流線單位質(zhì)量流體的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能的總和保持不變；對(duì)于無旋流動(dòng)，在整個(gè)流場(chǎng)中總機(jī)械能保持不變；理想流體流動(dòng)的定解條件——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解理想流體流動(dòng)的定解條件定解條件

起始條件邊界條件理想流體流動(dòng)的定解條件起始條件起始瞬時(shí)所給定的流場(chǎng)中每一點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)。

定常流動(dòng)：無需起始條件。非定常流動(dòng)：必須起始條件。理想流體流動(dòng)的定解條件邊界條件任一瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)流體所占空間的邊界上所必須滿足的條件。固體壁面靜止，舉例：固體壁面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：

不同流體交界面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：

不同流體交界面或固體壁面上的動(dòng)力學(xué)條件：渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量渦線

一條曲線，在給定瞬時(shí)，這條曲線上每一點(diǎn)的切線與位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的角速度的方向相重合。渦線的微分方程

渦線渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量渦管在給定瞬時(shí)，在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成一個(gè)管狀表面，稱為渦管。渦束渦管中充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束。渦管渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量渦通量旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積的乘積的兩倍稱為微元渦管的渦通量。有限截面渦管的渦通量渦管渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量速度環(huán)量

速度在某一封閉周線切線上的分量沿該粉筆周線的線積分稱為速度環(huán)量。注意：

速度環(huán)量是標(biāo)量，其正負(fù)號(hào)不僅與速度的方向有關(guān)，而且與線積分的繞行方向有關(guān)規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。斯托克斯定理湯姆孫定理

亥姆霍茲旋渦定理——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理斯托克斯定理

微元封閉周線的斯托克斯定理：沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理斯托克斯定理平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理：沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通過該區(qū)域的渦通量。斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理斯托克斯定理空間表面上的斯托克斯定理：沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過張于該封閉周線上的空間表面的渦通量。斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理斯托克斯定理多連通區(qū)域的斯托克斯定理：通過多連通區(qū)域的渦通量等于沿這個(gè)區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與沿所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和之差。斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理湯姆孫定理正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化。斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲第一定理

在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同。亥姆霍茲第二定理

正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。亥姆霍茲第三定理

在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)——流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)存在的條件

不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動(dòng)時(shí)，總有速度勢(shì)存在，故無旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)。上式是成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)速度勢(shì)函數(shù)

勢(shì)函數(shù)的全微分，勢(shì)函數(shù)的微分方程有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)（1）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)（2）在有勢(shì)流動(dòng)中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。（3）在有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)流函數(shù)流函數(shù)存在的條件

不可壓縮流體的平面流動(dòng)。上式是成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)流函數(shù)流函數(shù)

流函數(shù)的全微分，流函數(shù)的微分方程有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)流函數(shù)流函數(shù)的性質(zhì)（1）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)（2）在平面流動(dòng)中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。（3）在平面流動(dòng)中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)

流網(wǎng)速度勢(shì)和流函數(shù)的關(guān)系

等勢(shì)線簇和流線簇相互垂直。有勢(shì)流動(dòng)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)

流網(wǎng)流網(wǎng)在平面上，等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。不可壓縮流體的平面流動(dòng)簡(jiǎn)單的不可壓縮流體的平面流動(dòng)簡(jiǎn)單不可壓縮流體平面流動(dòng)的疊加簡(jiǎn)單的不可壓縮流體的平面流動(dòng)平行流點(diǎn)源和點(diǎn)匯渦流和點(diǎn)匯平行流流動(dòng)描述：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)

流體作等速直線流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小和方向都相同。平行流勢(shì)函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線：平行流流函數(shù)的確定：

——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)流線：平行流流網(wǎng)圖

——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線平行流流網(wǎng)圖

——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)壓強(qiáng)分布水平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯流動(dòng)描述：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)點(diǎn)源——在無限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出。點(diǎn)匯——在無限平面上流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)。點(diǎn)源和點(diǎn)匯勢(shì)函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線：點(diǎn)源和點(diǎn)匯流函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)流線：點(diǎn)源和點(diǎn)匯——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線點(diǎn)源流網(wǎng)圖

點(diǎn)源和點(diǎn)匯——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線點(diǎn)匯流網(wǎng)圖

點(diǎn)源和點(diǎn)匯——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)點(diǎn)匯壓強(qiáng)分布渦流和點(diǎn)渦流動(dòng)描述：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)點(diǎn)渦——渦束半徑rb趨于0，則成為一條渦線，這樣的渦流稱為點(diǎn)渦。渦流——有一直線渦束，該渦束好象剛體一樣地以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)，渦束周圍的流體也將繞渦束軸產(chǎn)生環(huán)流，這種以渦束所誘導(dǎo)出的平面流動(dòng)，稱為渦流。渦流和點(diǎn)渦勢(shì)函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線：渦流和點(diǎn)渦流函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)流線：渦流和點(diǎn)渦流網(wǎng)圖

——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線點(diǎn)源和點(diǎn)匯——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)壓強(qiáng)分布(渦核外)簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加無旋流動(dòng)的特性:幾個(gè)無旋流動(dòng)疊加后仍然是無旋流動(dòng)。同理:簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加證明:已知幾個(gè)簡(jiǎn)單無旋流動(dòng)疊加得:

疊加后速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，

疊加后流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，疊加公式:簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加幾個(gè)無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。新無旋流動(dòng)的速度是無旋流動(dòng)速度的矢量和。螺旋流偶極流平行流繞過圓柱無環(huán)流的平面流動(dòng)平行流繞過圓柱有環(huán)流的平面流動(dòng)簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加螺旋流流動(dòng)描述：

同一點(diǎn)上點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的疊加——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加螺旋流勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的確定：點(diǎn)匯的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)點(diǎn)渦的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)螺旋流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加螺旋流流網(wǎng)圖——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線螺旋流速度的確定

徑向速度切向速度——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加壓強(qiáng)分布偶極流點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加點(diǎn)A(-a,0)的點(diǎn)源和點(diǎn)B(a,0)的點(diǎn)匯的疊加勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的確定：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加偶極流流動(dòng)描述：

同一點(diǎn)上點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加偶極流點(diǎn)源和點(diǎn)匯無限接近，即a→0，便得到一個(gè)無旋的偶極流。2aqv→M保持一個(gè)有限常數(shù)，M稱為偶極矩。偶極流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)：——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加偶極流流網(wǎng)圖——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加等勢(shì)線和流線方程等勢(shì)線流線偶極流速度的確定徑向速度切向速度——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流流動(dòng)描述：

一個(gè)速度為V的均勻平行來流，對(duì)半徑r0的無限長(zhǎng)圓柱體作橫向繞流，該流動(dòng)可認(rèn)為是由平行流和偶極流疊加而成?！?jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的確定：平行流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)偶極流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)無環(huán)量繞流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流流線圖——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加流線方程零流線:平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流速度的確定徑向速度切向速度——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流圓柱表面壓強(qiáng)的確定壓強(qiáng)壓強(qiáng)系數(shù)——簡(jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流圓柱體的總壓力x方向的分力（阻力）y方向的分力（升力）理想流體無環(huán)量繞流圓柱體，圓柱體不受阻力，也不產(chǎn)生升力?！?jiǎn)單不可壓縮平面無旋流動(dòng)的疊加平行流繞圓柱體的有環(huán)量繞流流動(dòng)描述：

由平行流繞圓柱體的無環(huán)量繞流和純環(huán)流（點(diǎn)渦誘導(dǎo)產(chǎn)生）疊加而