第01講空間向量及其線性運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\u第01講空間向量及其線性運(yùn)算 1一、空間向量概念 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念 2二、空間向量線性運(yùn)算 6基礎(chǔ)知識(shí) 6考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算 6考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算 8考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù) 10三、共線、共面向量 14基礎(chǔ)知識(shí) 14考點(diǎn)5向量共線的判定 15考點(diǎn)6向量共面的判定 17考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù) 20四、課后作業(yè) 23單選題 23多選題 26填空題 28解答題 29

一、空間向量概念基礎(chǔ)知識(shí)1．空間向量概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念【例1.1】（23-24高二上·山東日照·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量AB與BA的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【解題思路】由于向量的長(zhǎng)度與向量的方向無(wú)關(guān)，相反向量的長(zhǎng)度相等，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：因?yàn)榭臻g向量AB與BA互為相反向量，所以空間向量AB與BA的長(zhǎng)度相等，所以A正確；選項(xiàng)B：將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量AB與BA的模相等，所以D錯(cuò)誤；故選：A.【例1.2】（23-24高二上·山東聊城·階段練習(xí)）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體ABCD?A1B③a=b是向量④若空間向量m,n,p滿足m∥其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【解題思路】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.【解答過(guò)程】有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯(cuò)誤；AC和A1C1若a=b，則a和b的模相等，方向不一定相同，若a=b，則a和b的模相等，方向也相同，所以向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)n為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則m,綜上所述，②③正確.故選：B．【變式1.1】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方體ABCD?A′B①OA+OD與②OB?OC與③OA+OB+④OA′?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算、相等向量和相反向量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】

對(duì)于①，∵OA=?OC′∴OA+OD對(duì)于②，∵OB?OC=CB∴OB?OC對(duì)于③，∵OA=?OC′，OB∴OA∴OA+OB對(duì)于④，∵OA′?OA∴OA′故選：C.【變式1.2】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題：①零向量沒(méi)有方向；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量a,b滿足a=④若空間向量m,n,p滿足⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【解題思路】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.【解答過(guò)程】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等．但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a與b的方向不一定相同，故③錯(cuò)誤；命題④顯然正確；對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤．故選：D.

二、空間向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)1．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算【例1.1】（23-24高二下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知平行六面體ABCD?A′BA．ABB．AC．AD．AB【解題思路】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【解答過(guò)程】對(duì)于A：AB?對(duì)于B：因?yàn)锽′C′對(duì)于C：AA對(duì)于D：因?yàn)锽B′=故D錯(cuò)誤.故選：D.【例1.2】（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知E,F分別是空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，P為空間中任意一點(diǎn)，則PA+PB+A．PG B．2PG C．3PG 【解題思路】根據(jù)向量加法運(yùn)算可解.【解答過(guò)程】由題知：PA+故選：D.【變式1.1】（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在空間四邊形OABC中，化簡(jiǎn)OA+AB?A．OA B．OCC．AC D．OB【解題思路】利用向量的加減運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】OA+故選：B.【變式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱錐P?ABC中，M為AC的中點(diǎn)，則PM=（

A．12BA+C．12BA+【解題思路】連接BM，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【解答過(guò)程】連接BM，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得PM=故選：B.考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，A．13AB?C．?13AB【解題思路】依題意可得GE=【解答過(guò)程】因?yàn)锳G=2GE，所以所以G==2故選：C.【例2.2】（23-24高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，G為△ACD的重心，則FG=（

A．?B．?C．1D．1【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，將FG用AB,【解答過(guò)程】因?yàn)镋,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，所以AF=因?yàn)镚為△ACD的重心，所以AG=所以FG=故選：B.【變式2.1】（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則AD+12A．AB B．AC C．AE D．DE【解題思路】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】如圖，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，所以AD+故選：C.【變式2.2】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）求a+2b?3A．2a+3C．2a?5【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.【解答過(guò)程】原式=a+3×2故選：B.考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)【例3.1】（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體OABC中，OA=a,OB=b,OC=A．3 B．2 C．12 D．【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到MN=?【解答過(guò)程】根據(jù)題意，利用空間向量的運(yùn)算法則，可得：MN=因?yàn)镸N=?14a+故選：D.【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DD1上，且A．16 B．13 C．23【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則確定MN=?【解答過(guò)程】MN=故x=?1，y=1，z=16，故選：A.【變式3.1】（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A．x=?12,y=C．x=?12,y=?【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，得；BE==又∵∴x=?故選：A.【變式3.2】（23-24高二·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAAA．﹣1 B．0 C．13 【解題思路】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算法則即可得解．【解答過(guò)程】解：EF=?1=?=?AB∵EF=x∴x＝﹣1，y＝1，z＝13∴x+y+z＝1故選：C．

三、共線、共面向量基礎(chǔ)知識(shí)1．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).2．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.考點(diǎn)5向量共線的判定【例1.1】（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【解題思路】將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問(wèn)題求證即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=?所以BC//BD，又所以B，C，D三點(diǎn)共線．【例1.2】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角線A′(1)設(shè)向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得；（2）借助向量共線定理證明MN//【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳′M=所以D′又因?yàn)锳′N=所以D=1（2）因?yàn)镸N=14BC所以MN=14MD′，即【變式1.1】（23-24高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知A,B,P三點(diǎn)共線，O為直線外空間任意一點(diǎn)，若OP=αOA+β【解題思路】利用共線向量定理，可設(shè)AP=tAB，結(jié)合向量的減法運(yùn)算，求得OP=(1?t)【解答過(guò)程】由A,B,P三點(diǎn)共線，得AP=t即OP?整理得OP=(1?t)又因?yàn)镺P=α所以α=1?t,β=t．所以α+β=1．【變式1.2】（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求證：（1）AC//（2）OG=k【解題思路】（1）由題意，EG=EH+m（2）由題意，OG=OE+【解答過(guò)程】證明：（1）EG=k(=k∴AC//（2）OG=考點(diǎn)6向量共面的判定【例2.1】（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【解題思路】利用共面向量定理證明，由EG=【解答過(guò)程】證明：因?yàn)閺?ABCD所在平面外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且滿足OEOA=OFOB=OGOC=OH而在?ABCD中，有AC=EG=k故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，證畢.【例2.2】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)不共線，可得A,B,M三點(diǎn)共面，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OB+即OP=又因?yàn)?3+13+（2）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)不共線，可得A,B,M三點(diǎn)共面，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OP=4OA?根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)P與A,B,M不共面．【變式2.1】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求證：A【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量共面定理分別證得AC,AD,【解答過(guò)程】因?yàn)锳C=AD+m所以由共面向量定理可得AC,AD,因?yàn)锳C,AD,AB有公共點(diǎn)A，所以A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面.【變式2.2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：平面ABCD//平面EFCH(3)求證：OG=k【解題思路】（1）利用空間向量共面定理即可求證；（2）由空間向量線性運(yùn)算可得EG=kAC，由空間向量共線定理可證明AC//EG，再由線面平行的判定定理可得EG//平面ABCD（3）由（2）知EG=k【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳C=AD+m所以AC，AD，AB共面，即A，B，C，D四點(diǎn)共面．因?yàn)镋G=EH+m所以EG，EH，EF共面，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）連接HF，BD，EG=kAD+kmAB又因?yàn)镋G?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以EG//平面ABCD因?yàn)镕H=OH?又FH?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FH//平面ABCD因?yàn)镋G與FH相交，所以平面ABCD//平面EFGH（3）由（2）知EG=kAC，所以考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù)【例3.1】（23-24高二上·遼寧·期中）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足CD=yAC，列方程組，求出【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=?3e1所以AC=因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以存在唯一的即4e即4=?2y2=yλ?18=?4y故選：A.【例3.2】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【解題思路】將AP=?14OA+【解答過(guò)程】因?yàn)锳P=OP?OA，所以AP=?由于A，B，C，P四點(diǎn)共面，則34+1故選：C.【變式3.1】（22-23高二下·福建龍巖·期中）設(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，可得AC//CD，則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得【解答過(guò)程】由AB=e1得AC=因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC//則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得AC=μ則2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得故選：C.【變式3.2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且BP=mOA+A．?1 B．2 C．?2 D．?3【解題思路】借助空間向量的線性運(yùn)算及四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷選項(xiàng).【解答過(guò)程】因?yàn)镺為空間任意一點(diǎn)，BP=m所以O(shè)P?所以O(shè)P=m因?yàn)锳，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以m+2+1=1，解得m=?2．故選：C．

四、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·新疆·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若a<b，則a<b B．若aC．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，AB【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)定義即可求解ABC,根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可求解D.【解答過(guò)程】對(duì)于A，向量不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若a，b互為相反向量，則a+對(duì)于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長(zhǎng)度相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四邊形ABCD中，AB?故選：D.2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體ABCD?A1B1CA．C1B B．BC1 C．【解題思路】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【解答過(guò)程】

如圖所示，可知C1B是故選：A.3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則AB+A．AN B．CNC．BC D．1【解題思路】直接利用向量的加法運(yùn)算得答案.【解答過(guò)程】連接AN,BN，因?yàn)镹為CD的中點(diǎn)，所以BN=所以AB+故選：A.4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1A．12a+C．?12a【解題思路】利用空間向量基本定理表示出BM，得到答案.【解答過(guò)程】因?yàn)锽M=所以BM=?故選：B.5．（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.【解答過(guò)程】若MA,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知MA,故選：C.6．（22-23高二上·福建福州·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有ABB．a(chǎn)?b=a+C．若AB，CD共線，則ABD．對(duì)空間任意一點(diǎn)O不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z【解題思路】根據(jù)向量加法三角形法則可判斷A；根據(jù)向量模的定義可判斷B；根據(jù)向量共線可判斷C；通過(guò)x+y+【解答過(guò)程】根據(jù)向量加法三角形法則可知A對(duì)；若a、b同向共線則不滿足a?b=若AB，CD共線，則AB//CD或重合，可知對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(x,y故選：A．7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．?3 B．3 C．?15 D．15【解題思路】設(shè)a=kbk∈R，根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于k、λ【解答過(guò)程】因?yàn)閑1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量，向量a若a與b共線，設(shè)a=kbk∈R可得1=3kμ=9k4=λk，解得k=1故選：D.8．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x,y滿足OD=xOA+2yOB?A．52 B．92 C．2【解題思路】由四點(diǎn)共面可得x+2y=2，再由“1”的技巧及均值不等式求解.【解答過(guò)程】由A,B,C,D四點(diǎn)共面，可知x+2y?1=1，即x+2y=2，由x>0,y>0，2x+y≥125+22xy故選：B.多選題9．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP=xMA+yMB，則點(diǎn)P，M，B．若p與a,b共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使C．若向量a、b所在的直線是異面直線，則向量D．若a、b、c是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組【解題思路】由空間向量共面定理即可判斷AB，由共線向量的概念即可判斷C，由空間向量基本定理即可判斷D【解答過(guò)程】由向量共面定理可知，若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP=xMA+yMB，則點(diǎn)P，M，若a,b共線，p不與a,b共線，則不存在實(shí)數(shù)x，若向量a、b所在的直線是異面直線，則相交，所以向量a、若a、b、c是空間三個(gè)基底向量，則對(duì)空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組故選：AC.10．（23-24高二上·山西長(zhǎng)治·期末）在三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在直線OA上，且OM=2MA，A．ON=12C．NA=12【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)M的位置，利用空間向量的線性運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，可得ON=對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，因?yàn)镺M=2MA，此時(shí)OM=則MN=對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)镺M=2MA，此時(shí)A為OM的中點(diǎn)，可得NA=對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，可得CM=當(dāng)點(diǎn)M在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CM=當(dāng)點(diǎn)M在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM=2MA不可能成立，所以D不正確.綜上可得，可能正確的結(jié)論為BC.故選：BC.填空題11．（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MN=2NO，設(shè)OA=a，OB=b，OC【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】AN=故答案為：?a12．（23-2