7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念2025/6/24第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1

直線與直線垂直課程標(biāo)準(zhǔn)從直線位置關(guān)系的定義出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線的垂直關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過閱讀課本146-148頁，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系。2、通過教師引導(dǎo)，結(jié)合模型和實(shí)例，掌握兩異面直線所成的角的求法。3、通過獨(dú)學(xué)和小組討論，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)。空間等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

.相等或互補(bǔ)

觀察如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，相等互補(bǔ)213何時(shí)相等？何時(shí)互補(bǔ)？精講聽學(xué)知識(shí)回顧空間兩條直線的位置關(guān)系：異面平行相交

觀察

如圖示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對(duì)于直線AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?不同.

可以用“異面直線所成角”的大小來刻畫兩條異面直線的位置的差異.精講聽學(xué)知識(shí)回顧OO為了簡(jiǎn)便，O點(diǎn)常取在兩異面直線中的一條上異面直線所成的角

設(shè)a、b為兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'//b，我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)。思考

異面直線a、b所成角的大小與點(diǎn)O選取的位置有關(guān)系嗎?為什么？精講聽學(xué)如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.

當(dāng)兩條直線a,b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是[0°,90°].O?αbaa′異面直線垂直：思考

異面直線所成角的取值范圍是____________.(0°,90°]思考

在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線的位置關(guān)系如何？在空間呢？精講聽學(xué)例1如右圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？

(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.

(3)求直線BA′與AC所成角的大小.解：(1)與直線AA1垂直的棱所在直線有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.(2)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,∴∠B′BA為直線BA′與CC′所成的角.而∠B′BA=45°.∴直線BA′與CC′所成角的大小為45°.(3)連接A′C′,BC′.∴∠BA′C′為直線BA′與AC所成的角.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等邊三角形，∴∠BA′C′=60°，∴直線BA′與AC所成的角等于60°.精講聽學(xué)精講聽學(xué)你能歸納求兩條異面直線所成的角的一般步驟嗎？(1)作角：通過平移直線，作出夾角；(2)求角：常利用解三角形知識(shí)；(3)定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.簡(jiǎn)記：一作、二求、三定例2如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，求證：AO1⊥BD.解：如圖，連接B1D1∵ABCD—A1B1C1D1是正方體，∴DBB1D1為平行四邊形．∴BD//B1D1.∴A1O與B1D1所成角即為直線AO1與BD所成的角連接AB1、AD1，易證AB1=AD1又O1為底面A1B1C1D1中心∴O1為B1D1中點(diǎn)∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BD精講聽學(xué)(3)垂直于同一條直線的兩條直線平行.（

）不一定1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”.×√(2)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也與已知直線垂直.()獨(dú)學(xué)內(nèi)化×2.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中

（1）與直線AB垂直的直線有______條

（2）與直線AB異面且垂直的直線有______條

（3）與直線AB和A'D'都垂直的直線有_______條（4）與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是_______條BADCA'B'D'C'獨(dú)學(xué)內(nèi)化844AA’(1)直線BC和A'C'所成的角的大小；(2)直線AA'和BC'所成的角的大小.獨(dú)學(xué)內(nèi)化解：(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,∵BC∥B′C′,∴∠B′C′A′為直線BC與A′C′所成的角.在Rt△A′B′C′中，

A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.∴直線BC與A′C′所成的角的大小為45°.小組合學(xué)小組之間討論本節(jié)知識(shí)點(diǎn)以及獨(dú)學(xué)內(nèi)化的內(nèi)容，展現(xiàn)“亮考幫”師生對(duì)話針對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)以及獨(dú)學(xué)內(nèi)化，對(duì)仍有疑問的地方進(jìn)行答疑課堂小結(jié)1.知識(shí)點(diǎn)：(1)平面內(nèi)兩直線的夾角.(2)異面直線所成的角.(3)利用異面直線所成的角證明兩直線垂直.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.易錯(cuò)點(diǎn)：

(1)容易忽視異面直線所成角θ的范圍是00<θ≤90°.(2)通過平移直線得到的角可能是異面直線所成的角，也可能是其補(bǔ)角.一作(找)、二求、三定1.如圖，在正三棱柱ABC－A'B'C'中，D為棱AC的中點(diǎn)，AB=BB'=2，求證：BD⊥AC'.課本P148頁練習(xí)4遷移檢學(xué)2、直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(

)

A．30°

B．45°C．60°