第第頁2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊期末高分秘籍(專題03解答題)目錄考點一二次根式1考點二勾股定理9考點三平行四邊形27考點四一次函數(shù)45考點五數(shù)據(jù)分析69考點一二次根式1．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查實數(shù)計算，二次根式計算，平方差公式等，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先將二次根式化簡，再去括號合并同類項即可；（2）先利用平方差公式計算，再計算除法，最后計算減法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分母有理化，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，再把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．3．已知，求的值．【答案】【分析】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握二次根式有意義的條件，是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)求出x的值，進而求出y的值，然后代入代數(shù)式計算解題．【詳解】解：由已知可得，解得．則．∴．則．4．已知，求的值．【答案】4【分析】本題考查了二次根式的化簡求值．先對所求的代數(shù)式進行因式分解，然后代入求值．【詳解】解：∵，∴，，∴．5．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的運算，代數(shù)式求值，完全平方式，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接將，代入式子計算即可；（2）先利用完全平方式將變形為，再代入進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．6．已知．(1)求的值；(2)若y的小數(shù)部分為b，求b的值．【答案】(1)13(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算、無理數(shù)的大小估計、利用完全平方公式變形求值，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先求出的值，再利用完全平方公式變形求值即可得；（2）根據(jù)可得，由此即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵的小數(shù)部分為，∴．7．已知，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則．（1）先求出，，，再整體代入求值即可；（2）根據(jù)平方差公式，結(jié)合，，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：，，，，∴；（2）解：．8．如圖，為推進綠色亞運城市建設(shè)，廣州市某低碳大廈在矩形屋頂中安裝了兩塊正方形的光伏發(fā)電板A，B，兩塊光伏板沿屋頂長邊恰好并排排列，其面積分別為和．(1)光伏板A，B的邊長分別為________m，________m；（用最簡二次根式表示）(2)計算屋頂中未利用區(qū)域（陰影部分）的面積．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的面積根式以及最簡二次根式的定義進行解題即可；（2）根據(jù)圖形進行列式計算即可．本題考查二次根式的應(yīng)用、最簡二次根式，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題可知，設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，，解得，（負數(shù)舍去）．故答案為：，；（2）解：由題可知，陰影部分的面積為：．答：屋頂中未利用區(qū)域（陰影部分）的面積為．9．觀察下列各式及其驗證過程：（1），驗證：；（2），驗證：．(1)按照上述兩個等式及驗證過程的基本思路，猜想第（3）個式子的變形結(jié)果并進行驗證；(2)針對上述各式反映的規(guī)律，直接寫出第n個式子（的整數(shù)）．【答案】(1)，驗證見解析；(2)．【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，分解因式的應(yīng)用，異分母分式的加減，解題關(guān)鍵是將根號內(nèi)通分．（1）先將根號內(nèi)通分，再利用二次根式的性質(zhì)化簡；（2）先將根號的分式內(nèi)通分，再將分子分解因式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡．【詳解】（1）解：；（2）解：．10．觀察下列運算：由，得；由，得；由，得；…(1)通過觀察得________；(2)利用（1）中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）觀察題目所給的式子得到規(guī)律即可得到答案；（2）根據(jù)對原式進行裂項，得到，由此求解即可．【詳解】（1）解：；；；……∴可以得到規(guī)律，故答案為：；（2）解：∵，∴．【點睛】本題主要考查了運用平方差公式進行分母有理化，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意找到規(guī)律求解．考點二勾股定理11．如圖，為斜邊上的高，的平分線分別交，于點，，垂足為點．(1)求證：；(2)已知，，．求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，再證，由對頂角相等可知，故可得出，那么，由此可得出結(jié)論；（2）先證，再得出，根據(jù)勾股定理得出，最后根據(jù)三角形的面積公式即可解答．【詳解】（1）證明：∵是的平分線，，，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．12．八年2班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿的高度時，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子（無彈性）長度比旗桿多1米，當(dāng)他們把繩子拉直，繩子末端剛好接觸地面時，此時繩子末端與旗桿的距離為5米，求旗桿的高度．【答案】12米【分析】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；將旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為米，則繩子的長度為米．在中，根據(jù)勾股定理得．解得：答：旗桿的高度為12米．13．如圖，在中，，，D為邊上一點，，過D作于E，．(1)求的長；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理，角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）可得，先根據(jù)角直角三角形的性質(zhì)求出，，再對運用勾股定理求解；（2）先由勾股定理求出，再由四邊形的面積求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：（舍負）；（2）解：∵，，，∴，∴四邊形的面積．14．在中，，，點D是的中點，點E是線段上的動點，過點E作交于點F，連接，若．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)4.5【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)垂直的定義即可得證；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由三線合一定理得到，則可利用勾股定理求出的長，進而得到，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）解：，，，點是的中點，，，，，，在中，，，解得：．15．如圖，在四邊形中，，，，且于點B，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．連接，由題意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可證是直角三角形，，從而求的度數(shù)；【詳解】解：如圖所示，連接，，∴為等腰直角三角形，，，又，，，是直角三角形，，．故的度數(shù)為．16．如圖，在和中，．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與勾股定理，確定用定理進行證明是關(guān)鍵．（1）由題意可知和為直角三角形，根據(jù)定理證明即可；（2）由可知，在中，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)線段的和差計算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴和為直角三角形，在和中，，∴．（2）解：∵，，∴，在中，，∵，，∴，∴．17．如圖所示，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理：（1）已知和都是等腰直角三角形，，則，又因為兩角有一個公共的角，所以根據(jù)得出．（2）由（1）的論證結(jié)果得出，利用勾股定理得出答案即可．【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，即在和中，，∴；（2）解：∵是等腰直角三角形∴，由(1)得：，∴，∴，即為直角三角形，∴中，．18．在中，，為中點，點、分別在邊、上，且．(1)如圖1，如果，求證：；(2)在（1）的條件下，猜想線段、和之間的數(shù)量關(guān)系是______；(3)如圖2，如果，（2）中、和之間的關(guān)系還成立嗎？若成立，請證明：若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)結(jié)論：還成立．理由見解析【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識．掌握三角形全等的判定條件和正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）連接，利用“”證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可知，結(jié)合題意可求出．在中，再由勾股定理，可得出答案；（3）延長至點M，使，連接．易證，得出，，從而判斷，即證明．再根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)可知．最后在中，由勾股定理，得，即得出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，是等腰直角三角形．點是的中點，，，，，．又，，，，．在與中，，，（2）猜想：．證明：由（1）可知，，，，即．在中，由勾股定理，得，；（3）結(jié)論：還成立．理由如下：如圖，延長至點，使，連接．點為中點，，，，，，，．又，，是的垂直平分線，，在中，由勾股定理，得，．19．如圖，將長方形沿折疊，使落在的位置，且與相交于點F．(1)求證：；(2)若，，求．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，易證，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）易得，設(shè)，則，，在中利用勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程求出，即可作答．本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，也考查了長方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理；利用長方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)以及勾股定理進行正確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：長方形沿對角線對折，使落在的位置，，，又四邊形為長方形，，，而，在與中：；（2）解：∵四邊形為長方形，，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得．20．如圖，在中，．以點B為圓心，以任意長為半徑作弧交，于點M，N，以點M，N為圓心，以大于的長為半徑分別作弧，兩弧交于點P．連接并延長交于點D．(1)判斷：與的數(shù)量關(guān)系是；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）根據(jù)作圖得到平分，即可得出結(jié)果；（2）過點作于點，證明，得出．根據(jù)勾股定理求出．設(shè)，則．根據(jù)勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：由作圖可知：平分，∴；（2）解：如圖，過點作于點，．，又，，．在中，由勾股定理得．設(shè)，則．在中，，，解得，的長為．21．如圖，等腰中，．點是上兩動點，且，若．(1)求證：．(2)當(dāng)時，求的長；【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、用勾股定理解三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識點．（1）先證明，結(jié)合，，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，證明，可得，再利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）證明：∵，，，，，，；（2）解：，設(shè)，則．，，，，，，，，，在中，，，解得，．22．三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在的延長線上，點B在上，，，，，．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)進行解答是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出的長度；（2）過點作于點，由平行線的性質(zhì)求得，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，，在中可求出，進而可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，，，，．；（2）解：過點作于點，∵，，，，在中，，，，，．23．如圖，C是線段的中點，．(1)求證：；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)8【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）中點得到，平行線的性質(zhì)，得到，利用證明即可；（2）根據(jù)，得到，進而得到四邊形為平行四邊形，進而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：是線段的中點，．，．在和中，．（2），∴．，．又，∴四邊形是平行四邊形，．考點三平行四邊形24．如圖，在平行四邊形中，，是直線上的兩點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，從而，則，易證，得到，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)勾股定理求出的長度，連接交于，求得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程即可得解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．．．在和中，，．，．，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，，連接交于，，四邊形是平行四邊形，，，設(shè)，，，，，，（負值舍去），的長為．25．如圖1，在平行四邊形中，點在對角線上，且，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，，根據(jù)平行四邊形的判定方法即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，又，，；（2）證明：由（1）得，，，即，，，四邊形是平行四邊形．26．在?中，，相交于點O，過點作于點，在上取點，連接，使．連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，則的面積為________．【答案】(1)見詳解(2)96【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定得出，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行證明即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴，，，又，四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，∴，由（1）得，在中，由勾股定理得，，即，∵，∴，∴∴故答案為：27．如圖，在平行四邊形中，，點、分別在、上，沿折疊平行四邊形，使點、互相重合，點落在點的位置．(1)連接，，求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識，（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，，，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，得到，再根據(jù)點與點重合，得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果；【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，∴，，，∵，，∴，∴；（2）∵，四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵為折痕，點與點重合，∴，∴，∴．28．如圖，在中，，于點D，延長到點E，使．過點E作交的延長線于點F，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，從而可得，再利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．在和中，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴．∵，∴在中，．∴在中，．由（1）已證：四邊形是平行四邊形，∴，∴．29．如圖，在中，點D是邊的中點，平分，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)3．【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，題目綜合性較強，證明，再利用三角形中位線定理證明是解決問題的關(guān)鍵．（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到，再利用三角形的中位線定理證明，再加上條件可證出結(jié)論；（2）先證明，再證明，可得到，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，延長交于點G，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴．∴，即點是的中點，∵點D是邊的中點，∴為的中位線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵為的中位線，∴，∴，∵，∴，∵，，∴．30．如圖，在中，點是的中點，點在上，點在延長線上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是菱形？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，，得到，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：在中，是邊的中點，，∵，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：滿足條件時四邊形為菱形．理由：若時，為等腰三角形，∵點是的中點，即為中線，，即，四邊形為菱形．31．如圖，在中，平分交于點交于點F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)合，得出四邊形是平行四邊形，進而根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)得出則，即可得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理，求得菱形的面積，進而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，，平分交于點交于點F，∴四邊形為平行四邊形，，，．∴四邊形是菱形；（2）解：連接交于點H，

∵四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的長為．32．如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形的邊的中點，對角線互相垂直，垂足為．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若四邊形的面積為6，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了中點四邊形以及三角形的中位線定理，熟記相關(guān)結(jié)論即可．（1）由題意得：分別是的中位線，推出且；且；進而得且；四邊形為平行四邊形；結(jié)合，，，即可求證；（2）由題意得；根據(jù)，且，，即可求解；【詳解】（1）證明：由題意得：分別是的中位線，∴且；且；∴且；∴四邊形為平行四邊形；同理可得：且；∵，，，∴，∴四邊形為矩形；（2）解：∵四邊形的面積為6，∴；∵，且，，∴33．如圖，在四邊形中，，，，E為的中點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形中線平分三角形面積等知識，證明菱形的關(guān)鍵．（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)結(jié)合，得，再由得四邊形是平行四邊形，再由即可證明四邊形是菱形；（2）連接，由菱形的性質(zhì)結(jié)合，得；由E是的中點及菱形性質(zhì)得四邊形的面積等于直角三角形的面積，由勾股定理求得即可求解．【詳解】（1）證明：∵，E為的中點，∴；∵，即，∴；∵，∴四邊形是平行四邊形；∵，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，如圖；∵四邊形是菱形，∴；∵，∴；∵點E是的中點，∴；∵，∴四邊形的面積等于直角三角形的面積；在中，由勾股定理得，∴四邊形的面積為．34．如圖，在正方形中，點E是邊的中點，將沿翻折得到．延長交于點F，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】本題考查正方形與折疊，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，得到，進而得到，再根據(jù)，利用即可證明；（2）根據(jù)翻折得到，，全等得到，進而推出，利用勾股定理求出的長，設(shè)，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵正方形中，點E是邊的中點，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴，又，∴；（2）解：∵將沿翻折得到，∴，，∵，∴，∵，∴，即：，∵，∴，，在中，，設(shè)，則：，在和中：，即：，解得：；∴．35．如圖，在矩形中，E是的中點，延長、交于點F，連接、、．(1)求證：；(2)當(dāng)平分，且時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)3【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出，，，再證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，再證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出，等量代換可得出．（2）由矩形的性質(zhì)得出，由角平分線的定義得出，由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴．∵E是的中點，∴．在和中，，∴，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形；∴∴（2）解：∵是矩形，∴，∵平分，∴．∴是等腰直角三角形，∴．∵E是的中點，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．考點四一次函數(shù)36．已知一次函數(shù)．(1)在平面直角坐標系中，畫出該函數(shù)的圖象；(2)求該函數(shù)圖象與軸、軸的交點、的坐標及、兩點之間的距離．【答案】(1)見解析(2)，，【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象，勾股定理解三角形，利用描點法畫函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)描點法，可得函數(shù)圖象；（2）根據(jù)（1）得出，，結(jié)合勾股定理求解即可【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴取點，連接即可；（2）由（1）得，，∴，∴37．已知函數(shù)．(1)若這個函數(shù)經(jīng)過原點，求m的值．(2)若函數(shù)的圖象平行于直線，求m的值；(3)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，且圖象不經(jīng)過第四象限，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象的平行條件、一次函數(shù)圖象的分布等知識點，熟練掌握平行條件以及圖象分布的條件是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)這個函數(shù)經(jīng)過原點，則滿足函數(shù)，再將其代入解析式計算即可．（2）根據(jù)函數(shù)的圖象平行于直線，得，求m的值即可；（3）根據(jù)這個函數(shù)是一次函數(shù)，且圖象不經(jīng)過第四象限，得到，求得m的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴點滿足函數(shù)的解析式，∴，解得：．（2）解：∵函數(shù)的圖象平行于直線，∴，解得：．（3）解：函數(shù)是一次函數(shù)，且圖象不經(jīng)過第四象限，∴，解得：．∴m的取值范圍是．38．已知正比例函數(shù)．(1)若點在它的圖象上，求正比例函數(shù)的解析式及的值；(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了求正比例函數(shù)的解析式、正比例函數(shù)的性質(zhì)、解一元一次不等式，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得，求解即可．【詳解】（1）解：∵點在的圖象上，∴，解得，∴正比例函數(shù)的表達式為．（2）解：∵的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴，∴．39．已知關(guān)于的正比例函數(shù)的圖象過第二、四象限．(1)求的值；(2)若，是圖象上的兩點，求的值．【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得，，從而可得，，再根據(jù)正比例的圖象可得，由此即可得；（2）先求出正比例函數(shù)的解析式，再將點，代入計算即可得．【詳解】（1）解：∵函數(shù)時正比例函數(shù)，∴，，∴，，又∵這個函數(shù)的圖象過第二、四象限，∴，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，∴，∴正比例函數(shù)的解析式為，∵，是圖象上的兩點，∴，，∴．40．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點的坐標為．(1)點的坐標為．(2)若平面內(nèi)有一點，求經(jīng)過點且平分平行四邊形的面積的直線解析式．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，中點坐標，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由四邊形是平行四邊形，得，，又點的坐標為，則，從而可得點的坐標是；（）由中點坐標可得中點坐標為，設(shè)直線解析式為．將點，代入求出的值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵點的坐標為，∴，∵點的坐標為，∴點的坐標是，故答案為：；（2）解：∵，，∴中點坐標為，設(shè)直線解析式為．將點，代入得，解得，∴直線解析式為．41．已知一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點．(1)若，求一次函數(shù)的表達式．(2)若該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限，且，求S的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，得到，再結(jié)合，解二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)，即，進而得到，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限，可得到，由不等式的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，∴將點代入一次函數(shù)解析式得：，聯(lián)立得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為：；（2）解：根據(jù)題意：，即，∴，∴，∵，∴，即；∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限，且，則，∴，∴∴．42．如圖，已知一次函數(shù)（）與正比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點C．(1)求k的值及點A的坐標；(2)當(dāng)時，求x的取值范圍；(3)觀察圖象，直接寫出當(dāng)時，x的取值范圍．【答案】(1)；點A的坐標為；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的性質(zhì)及兩條直線相交或平行問題，熟知一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及巧用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．（1）將點A坐標代入求出a的值，再將所得點A的坐標代入即可解決問題；（2）結(jié)合（1）中求出的k值進行計算即可；（3）利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．【詳解】（1）解：將點代入得，，解得，所以點A的坐標為．將點代入得，，解得；（2）解：由（1）知，，∴，即，解得；（3）解：由（1）可知，點A的坐標為，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方，即，所以當(dāng)時，x的取值范圍是．43．已知直線經(jīng)過點，，并與直線相交于點C，求：(1)直線的表達式及點C的坐標；(2)關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；解兩個函數(shù)解析式組成方程組即可求解；（2）關(guān)于x的不等式的解集就是函數(shù)的圖象在上邊的部分自變量的取值范圍．【詳解】（1）解：直線經(jīng)點，，∴，解得，直線的表達式為．直線與直線相交于點，，解得，點．（2）解：根據(jù)圖象可得，關(guān)于的不等式的解集為．44．如圖，已知直線經(jīng)過點，直線．(1)求直線的解析式；并判斷點是否在直線上？(2)若，直線與x軸交于點C，直線與交于點P．①點P的坐標為________．②求面積．(3)直線上有兩點、，若直線與線段有交點，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，點不在直線；(2)①，②；(3)或．【分析】本題考查了一次函數(shù)的交點問題，求函數(shù)解析式，三角形面積公式等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）直接用待定系數(shù)法求解，然后把點代入即判斷；（2）①聯(lián)立得，求解即可；②求出，，根據(jù)三角形面積公式即可求解；（3）先求出，，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過點，，，∴直線的解析式為，在中，當(dāng)時，、∴點不在直線上；（2）解：①當(dāng)時直線聯(lián)立得：，解得：，∴點坐標為，故答案為：，②在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，；（3）解：∵點在直線上，，，，，當(dāng)直線過點時，則，解得：，當(dāng)直線過點時，則，解得：，∴的取值范圍或．45．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與x軸相交于點B，與正比例函數(shù)的圖象相交于點C，點C的橫坐標為1．(1)求該一次函數(shù)的表達式；(2)問在的圖象上是否存在點P，使得的面積是的2倍？若存在，求出點P的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合問題．（1）先求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可．（2）先求出點B的坐標，進而可求出的面積，根據(jù)的面積是的2倍即可得出，進一步求出，即或，再分別求出對應(yīng)的P點的橫坐標即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，點坐標為直線經(jīng)過點和點，解得一次函數(shù)的表達式為（2）解：當(dāng)時．代入．解得：，∴∴①當(dāng)時．代入，解得：②當(dāng)時．代入解得：點坐標為或46．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸，y軸交于點A，B兩點，直線與x軸交于點，點D在第四象限，．(1)直接寫出點A和點B的坐標；(2)連接，若，①求點D的坐標；②若點F在直線上，且在x軸下方，試探究x軸上是否存在點E，使得以C，D，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①點D的坐標為；②或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可解答；（2）①如圖，過點D作軸于點E，根據(jù)A、B、C三點的坐標，得出，，由勾股定理得到，再結(jié)合，求出，證明是等腰直角三角形，推出，即可得出點D的坐標；②分兩種情況討論：a四邊形為平行四邊形時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到點Q的縱坐標為，進而得到點Q的坐標，再根據(jù)，得到點P的坐標；b四邊形為平行四邊形時，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，進而的得到點P的坐標，進而求解即可．【詳解】（1）解：∵直線分別與x軸、y軸交于點A、B，令，則；令時，；∴，．（2）解：①如圖，過點D作軸于點E，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵軸，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴點D的坐標為．②存在點E，使得以C、D、F、E為頂點的四邊形是平行四邊形，∵，，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．a(chǎn)．如圖，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，∴，，∴點F的縱坐標為，∵點F在直線上，令，則，解得：，∴，∴，∴，∴．b．如圖2，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，由a得，，，∵，∴．綜上可知，以點C、D、F、E為頂點的四邊形是平行四邊形，或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．47．為了落實“五育并舉”，全面發(fā)展素質(zhì)教育，某中學(xué)準備開展豐富多彩的課后特色延時服務(wù)，計劃購買排球及足球若干．某興趣小組進行市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)購買3個足球和4個排球共需430元；購買7個足球所需的費用與購買5個排球所需的費用相同．(1)足球和排球的單價各是多少？(2)該校根據(jù)需求打算購買足球和排球共30個，且足球數(shù)量不超過排球數(shù)量的．某商場店慶促銷，足球打九折，排球打八折，請問學(xué)校如何購買所需費用最少？最少費用為多少元？【答案】(1)足球的單價為50元，排球的單價為70元(2)當(dāng)購買7個足球、23個排球時，所需費用最少，最少費用為1603元【分析】題目主要考查方程組及不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)式子是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)足球的單價為元，排球的單價為元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買所需的費用為元，購買排球個，則購買足球個，根據(jù)題意列出不等式確定，再確定，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)足球的單價為元，排球的單價為元．由題意，得，解得．答：足球的單價為50元，排球的單價為70元．（2）設(shè)購買所需的費用為元，購買排球個，則購買足球個．∵足球數(shù)量不超過排球數(shù)量的，∴，解得．由題意，得．∴隨的增大而增大．∵為整數(shù)，∴當(dāng)時，最小，最小值為1603．此時．答：當(dāng)購買7個足球、23個排球時，所需費用最少，最少費用為1603元．48．堅持“五育”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，星光中學(xué)為豐富學(xué)生的第二課堂，準備購買一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球．已知一副球拍標價100元，一盒球標價30元．購買時發(fā)現(xiàn)商場正在進行兩種優(yōu)惠促銷活動，且學(xué)校準備購買這款乒乓球拍15副，乒乓球x（）盒．活動1：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價出售；活動2：全部打八五折．(1)分別求出每種優(yōu)惠活動實際付款金額（元），（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)按哪種優(yōu)惠活動付款更省錢？【答案】(1)，；(2)當(dāng)時，按活動1付款更省錢；當(dāng)時，兩種活動付款相同；當(dāng)時，按活動2付款更省錢．【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，寫出函數(shù)關(guān)系式、掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)活動情況解答即可；（2）分別計算、、三種情況下對應(yīng)x的取值范圍即可．【詳解】（1）解：，，∴與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：當(dāng)時，得，解得，∵，∴；當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，解得，∴當(dāng)時，按活動1付款更省錢；當(dāng)時，兩種活動付款相同；當(dāng)時，按活動2付款更省錢．49．某科技公司計劃采購和兩種人工智能模型用于產(chǎn)品開發(fā)．已知采購2個型模型和3個型模型的總費用為4600元：采購1個型模型和2個型模型的總費用為2800元．(1)求、兩種模型的單價．(2)該公司需要采購、兩種模型共60個，其中型模型的數(shù)量不少于型模型的2倍；如果型模型無任何優(yōu)惠，型模型可享受75折優(yōu)惠。那么該公司至少需要準備多少預(yù)算資金才能完成采購？【答案】(1)A種模型的單價為800元個，B種模型的單價為1000元個(2)該公司至少需要準備47000元的預(yù)算資金才能完成采購【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（1）設(shè)型模型的單價為元，型模型的單價為元，根據(jù)“采購2個型模型和3個型模型的總費用為4600元；采購1個型模型和2個型模型的總費用為2800元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進型模型個，則購進型模型個，根據(jù)購進型模型的數(shù)量不少于型模型的2倍，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)該公司需要準備元的預(yù)算資金才能完成采購，利用總價單價數(shù)量，可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【詳解】（1）解：設(shè)型模型的單價為元，型模型的單價為元，根據(jù)題意得：，解得：．答：型模型的單價為800元，型模型的單價為1000元；（2）解：設(shè)購進型模型個，則購進型模型個，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)該公司需要準備元的預(yù)算資金才能完成采購，則，即，，隨的增大而減小，當(dāng)時，取得最小值，最小值為（元．答：該公司至少需要準備47000元的預(yù)算資金才能完成采購．50．小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情?，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如下表的一組數(shù)據(jù)：時間t（單位：分鐘）12345…總水量（單位：毫升）712172227…(1)通過分析數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)可以用一次函數(shù)來刻畫總水量（毫升）與時間（分鐘）之間的關(guān)系，求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決下列問題：①求小明在第20分鐘測量時量筒中的總水量；②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你直接寫出這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用_____________天．【答案】(1)(2)①102毫升；②144【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)變量的變化規(guī)律寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)變量的變化規(guī)律寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）①將代入y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，求出對應(yīng)y的值即可；②計算30天有多少分鐘，將它作為x的值代入y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，求出對應(yīng)y的值，再根據(jù)一個人一天的飲水量計算即可．【詳解】（1）解：由表格可知，時間增加1分鐘，量筒中總水量增加5毫升，，∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，（2）①當(dāng)時，，答：小明在第20分鐘測量時量筒中的總水量為102毫升；②（分鐘），當(dāng)時，，（天）．答：這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用144天．51．茂名地區(qū)的荔枝和三華李已入選廣東非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．為滿足消費者需求，某超市購進荔枝和三華李，已知荔枝比三華李每千克進價少2元，用900元購進荔枝與用1100元購進三華李的重量相同．(1)求荔枝和三華李每千克進價分別是多少元；(2)本次購進荔枝和三華李共800千克，均按每千克13元出售，購進荔枝的重量不超過三華李重量的3倍，且重量不少于400千克．若該批水果全部售完，則該超市應(yīng)購進荔枝和三華李各多少千克才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)荔枝每千克9元，三華李每千克11元(2)當(dāng)購進荔枝600千克，三華李200千克時獲利最大，最大利潤為2800元【分析】此題考查了分式方程、一次函數(shù)、一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)荔枝每千克x元，則三華李每千克元，根據(jù)“用900元購進荔枝與用1100元購進三華李的重量相同”列方程，解方程并檢驗即可得到答案；（2）設(shè)超市獲得利潤為y元，購進荔枝m千克，則購進三華李千克，根據(jù)“購進荔枝的重量不超過三華李重量的3倍，且重量不少于400千克”求出m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】（1）解：設(shè)荔枝每千克x元，則三華李每千克元，由題意可得：，解得．經(jīng)檢驗是原分式方程的解，∴，答：荔枝每千克9元，三華李每千克11元．（2）解：設(shè)超市獲得利潤為y元，購進荔枝m千克，則購進三華李千克，∵，∴，，∵，∴y隨m的增大而增大，∴當(dāng)時，y的值最大，，三華李數(shù)量千克．答：當(dāng)購進荔枝600千克，三華李200千克時獲利最大，最大利潤為2800元．52．甲、乙兩人分別騎自行車和摩托車，從同一地點沿相同的路線前往距離的某地，圖中分別表示甲、乙兩人離開出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象解答下列問題；(1)甲、乙兩人誰到達目的地較早？早多長時間？(2)分別求甲、乙兩人行駛過程中s與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)試確定當(dāng)兩輛車都行駛在途中（不包括在出發(fā)地和目的地）時，t的取值范圍；并在這一時間段內(nèi)，求t為何值時，自行車行駛在摩托車前面？【答案】(1)乙到達目的地較早；比甲早(2)甲：；乙：(3)時，兩人均行駛在途中（不包括起點和終點）；時，自行車行駛在摩托車前面【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接解答本題；（2）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法可以分別求得l1和l2對應(yīng)的表達式；（3）根據(jù)圖象可得當(dāng)兩輛車都在行駛途中（不包括出發(fā)地和目的地）時，t的取值范圍；根據(jù)（2）的結(jié)論求出兩直線的交點坐標即可得出t為何值時，自行車行駛在摩托車前面．【詳解】（1）解：根據(jù)圖象可知，乙到達目的地較早，比甲早；（2）解：設(shè)甲行駛過程中s與t的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得：，解得：，∴甲行駛過程中s與t的函數(shù)關(guān)系式為；設(shè)乙行駛過程中s與t的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得：，解得：，∴乙行駛過程中s與t的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：由圖象可得：時，兩人均行駛在途中（不包括起點和終點）．聯(lián)立，解得，∴時，自行車行駛在摩托車前面．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用—行程問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象取值范圍的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點五數(shù)據(jù)分析53．當(dāng)前AI聊天機器人的智能化水平顯著提高，能夠更準確地理解用戶意圖并給出相應(yīng)回答．有關(guān)人員開展了對A，B兩款A(yù)I聊天機器人的使用滿意度的評分調(diào)查，并從中各隨機抽取20份數(shù)據(jù)，進行整理、描述和分析（評分分數(shù)用表示，滿分100分，分為四個等級：不滿意、比較滿意、滿意、非常滿意），下面給出了部分信息．抽取的對A款A(yù)I聊天機器人的評分數(shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89．抽取的對B款A(yù)I聊天機器人的評分數(shù)據(jù)：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的對，兩款聊天機器人的評分統(tǒng)計表AI聊天機器人平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)“非常滿意”所占百分比A8896B8887.5根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)上述圖表中，___________，___________，___________．(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪款A(yù)I聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）．(3)在此次調(diào)查中，有400人對A款A(yù)I聊天機器人進行評分，300人對B款A(yù)I聊天機器人進行評分，請通過計算，估計此次調(diào)查中對聊天機器人不滿意的共有多少人．【答案】(1)10，88.5，98(2)見解析(3)人【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體等知識，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）用1分別減去其他三個等級所占百分比可得的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值，根據(jù)眾數(shù)的定義可得的值；（2）通過比較，款的評分統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)解答即可；（3）由、兩款的不滿意的人數(shù)之和即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：款“滿意”所占百分比為，“不滿意”所占百分比為，；“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89；把款的評分數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是88、89，，在款的評分數(shù)據(jù)中，98出現(xiàn)的次數(shù)最多，；故答案為：10，88.5，98；（2）解：款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：因為款評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)比款高，所以款聊天機器人更受用戶喜愛（理由不唯一）；（3）解：款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人．54．湖南作為偉人故鄉(xiāng)和紅色圣地，積淀了豐富的紅色歷史文化資源，為更好地傳承紅色文化，增強學(xué)生愛國主義情感，某校組織七、八年級學(xué)生前往湖南省博物館開展研學(xué)旅行，并要求學(xué)生寫觀后感，對其觀后感進行評價．為了解本次活動的效果．校宣傳部隨機抽取七、八年級各20名學(xué)生對他們觀后感成績進行整理、描述和分析（成績用表示，滿分100分），過程如下：【收集數(shù)據(jù)】七年級抽取學(xué)生成績在這一組的數(shù)據(jù)為：85，86，87，87，88，89，89；八年級抽取學(xué)生的成績?yōu)椋?1，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；【整理數(shù)據(jù)】七、八年級不完整的頻數(shù)分布表如下：七年級4727八年級347【分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級9197八年級9191請結(jié)合以上信息回答下列問題：(1)在這次調(diào)查活動中，采取的調(diào)查方式是_____（填寫“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）；(2)填空：_____，_____，_____；(3)樣本數(shù)據(jù)中，七年級學(xué)生甲和八年級學(xué)生乙的成績都是90分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；(4)若該校七、八年級各有200名學(xué)生，假設(shè)全部參加此次研學(xué)旅行并完成了觀后感，請估計這兩個年級學(xué)生觀后感成績不低于90分的人數(shù)．【答案】(1)抽樣調(diào)查(2)6，89，95；(3)七年級學(xué)生甲在本年級的排名更靠前(4)200【分析】本題主要考查用樣本估計總體，中位數(shù)，眾數(shù)，頻數(shù)分布直方圖；（1）根據(jù)抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的定義進行解答即可；（2）根據(jù)八年級抽取學(xué)生的成績數(shù)據(jù)得到，根據(jù)中位數(shù)的求法得到b，根據(jù)八年級抽取學(xué)生的成績數(shù)據(jù)得到95最多得到c即可；（3）根據(jù)八年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是91分，七年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是89分，進行分析即可；（4）用氣年級抽取學(xué)生觀后感成績不低于90分的人數(shù)占比乘以該校七、八年級總?cè)藬?shù)加上八年級抽取學(xué)生觀后感成績不低于90分的人數(shù)占比乘以該校七、八年級總?cè)藬?shù)計算即可．【詳解】（1）解：∵校宣傳部隨機抽取七、八年級各20名學(xué)生對他們觀后感成績進行整理、描述和分析，∴在這次調(diào)查活動中，采取的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故答案為：抽樣調(diào)查．（2）解：根據(jù)題意得到，七年級中位數(shù)：，∴，根據(jù)八年級抽取學(xué)生的成績數(shù)據(jù)得到95最多，∴，故答案為：6，89，95；（3）解：七年級學(xué)生甲在本年級的排名更靠前．理由如下∶∵八年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是91分，七年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是89分，∴90分大于七年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)，小于八年級抽取學(xué)生成績的中位數(shù)，∴七年級學(xué)生甲在本年級的排名更靠前；（4）解：，答：這兩個年級學(xué)生觀后感成績不低于90分的人數(shù)約為200名．55．發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措．某新能源汽車區(qū)域銷售部為了調(diào)動市場銷售員工的積極性，決定實行季度銷售目標管理，即確定一個適當(dāng)?shù)募径蠕N售目標，根據(jù)目標的完成情況對銷售員工進行獎勵．現(xiàn)對20名銷售員工某季度的銷售額進行了統(tǒng)計和分析．?dāng)?shù)據(jù)收集（單位：萬元）；53，72，62，64，63，76，82，86，50，96，63，54，82，64，77，95，82，79，92，98．?dāng)?shù)據(jù)整理：銷售額/萬元頻數(shù)5444數(shù)據(jù)分析：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)問題解決：(1)填空：_____；_____；_____．(2)若將眾數(shù)作為季度銷售額目標，則有_____名員工可獲得獎勵．(3)銷售部對數(shù)據(jù)進行分析后，最終對一半的銷售員工進行了獎勵．銷售員小張向銷售部負責(zé)人反映：“我這個季度的銷售額是76萬元，比平均數(shù)大，所以我的銷售額超過了一半的銷售員，為什么我沒拿到獎勵？”假如你是銷售部負責(zé)人，請你給出合理的回復(fù)．【答案】(1)3；82；(2)8(3)見解析【分析】本題考查了頻數(shù)分布表、求中位數(shù)、眾數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出的值，再根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義即可求出；（2）由（1）知眾數(shù)為82萬元，再根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計即可解答；（3）根據(jù)中位數(shù)的意義即可解答．【詳解】（1）解：銷售額在的有3人，所以；由數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為萬元，所以；將20名銷售員工某季度的銷售額從小到大順序排列，排在第10和第11的數(shù)分別是76，77，中位數(shù)；故答案為：3；82；．（2）解：由（1）知，20名員工的銷售額的眾數(shù)為82萬元，20名銷售員工某季度的銷售額中大于或等于82萬元的有8人，若將眾數(shù)作為季度銷售額目標，則有8名員工可獲得獎勵．故答案為：8．（3）解：由（1）知，20名員工的銷售額的中位數(shù)為萬元，公司要對一半的員工進行獎勵，說明銷售額在萬元及以上的人才能獲得，而小張你的銷售額是76萬元，低于萬元，因此小張你不能拿到獎勵．56．某校在七、八年級開展?jié)h字聽寫大賽，并從兩個年級隨機抽取了20名同學(xué)的成績（單位：分），整理并繪制出如圖所示的七年級成績的頻數(shù)分布直方圖（每一組含前一個邊界值，不含后一個邊界值）和兩個年級的成績統(tǒng)計表．七年級成績的頻數(shù)分布直方圖七、八年級成績的統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8484中位數(shù)86眾數(shù)85已知七年級成績在這一組的數(shù)據(jù)為：85

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89根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)表中___________，________(2)根據(jù)以上統(tǒng)計量，你認為哪個年級的成績較好？請說明理由．【答案】(1)；(2)七年級的成績好一些，理由見解析【分析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的求法，理解各個統(tǒng)計量的意義，明確各個統(tǒng)計量的特點是解決問題的前提和關(guān)鍵．（1）利用眾數(shù)的定義求出n，利用中位數(shù)的定義求出m即可；（2）根據(jù)給出的平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)分別進行分析，即可得出答案．【詳解】（1）解：把七年級得成績從小到大排列后，居于中間的是第個與第個數(shù)據(jù)，即為86，89，故；在這組數(shù)據(jù)中89出現(xiàn)次，次數(shù)最多，故；故答案為：；；（2）七年級的成績好一些，理由為：從平均數(shù)看兩個年級的平均數(shù)相同，成績相當(dāng)；但七年級成績的中位數(shù)和眾數(shù)均大于八年級的，故七年級的成績好一些．57．為了解落實“光盤行動”的情況，某校調(diào)研了七、八年級部分班級某一天的廚余垃圾質(zhì)量．從七、八年級各隨機抽取10個班廚余垃圾質(zhì)量的數(shù)據(jù)（單位：），進行整理和分析（廚余垃圾質(zhì)量用表示，共分為四個等級：；），下面給出了部分信息．七年級10個班廚余垃圾質(zhì)量：，，，，，，，，2，．八年級10個班廚余垃圾質(zhì)量中B等級包含的所有數(shù)據(jù)為，，，．七、八年級抽取的班級廚余垃圾質(zhì)量統(tǒng)計表如下：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)等級所占百分比七年級八年級根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)直接寫出上述表中的值；(2)該校八年級共有30個班，估計八年級這一天廚余垃圾質(zhì)量符合等級的班級數(shù)；(3)根據(jù)以上信息，你認為該校七、八年級的“光盤行動”，哪個年級落實得更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．【答案】(1)(2)估計八年級這一天廚余垃圾質(zhì)量符合等級的班級數(shù)為9(3)八年級落實得更好，理由見解析【分析】本題主要考查了求中位數(shù)，求眾數(shù)，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出a、b的值；求出八年級10個班廚余垃圾質(zhì)量中A等級的人數(shù)占比即可求出m的值；（2）用30乘以樣本中八年級10個班廚余垃圾質(zhì)量中A等級的人數(shù)占比即可得到答案；（3）八年級中位數(shù)比七年級大，方差比七年級小，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解；∵七年級10個班廚余垃圾質(zhì)量為的班級數(shù)最多，∴七年級10個班廚余垃圾質(zhì)量的眾數(shù)為，即；，∴八年級A等級有3個班，則，即；把八年級10個班廚余垃圾質(zhì)量按照從低到高排列，中位數(shù)為第5名和第6名質(zhì)量的平均數(shù)，∵八年級A等級有3個班，B等級包含的所有數(shù)據(jù)為，，，，∴八年級10個班廚余垃圾質(zhì)量的中位數(shù)為，即；（2）解：．答：估計八年級這一天廚余垃圾質(zhì)量符合等級的班級數(shù)為9．（3）解：八年級落實得更好．理由：①八年級各班廚余垃圾質(zhì)量的中位數(shù)低于七年級各班廚余垃圾質(zhì)量的中位數(shù)．②八年級各班廚余垃圾質(zhì)量的方差低于七年級各班廚余垃圾質(zhì)量的方差，更穩(wěn)定．58．啟迪未來之星，推進科技教育．某校舉行了一次以“人工智能”為主題的知識競賽（競賽成績?yōu)槭种疲?，各班以小組為單位組織競賽．【數(shù)據(jù)整理】小東將本班甲、乙兩