猜押02解直角三角形應(yīng)用（三年三考）猜押考點(diǎn)3年福建真題考情分析押題依據(jù)解直角三角形在生活中的應(yīng)用2022年第9題2023年第23題解直角三角形是這幾年福建數(shù)學(xué)中考比較熱門的考點(diǎn)，考查的題型以實(shí)際應(yīng)用題為主。24年泉州二檢將解直角三角形與物理光學(xué)結(jié)合，24年中考則結(jié)合了物理力學(xué)考查，都具有一定難度。銳角三角函數(shù)通常會結(jié)合其他知識點(diǎn)來考查，比如勾股定理、相似三角形、四邊形或函數(shù)。因此解直角三角形實(shí)際應(yīng)用題可考查的范疇很廣，比如近幾年的考查的情境應(yīng)用題、跨學(xué)科融合題型，風(fēng)格多變形式創(chuàng)新，考查考生的建模思維和綜合應(yīng)用能力。預(yù)測2025年中考仍會以中檔題的形式，考查此類題型?？鐚W(xué)科融合2024年第16題題型一解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用1．（文化背景）鼓樓是建甌的標(biāo)志性建筑，是歷史文化名城的重要景觀．現(xiàn)代科技的發(fā)展，可利用無人機(jī)測算鼓樓的高度．已知無人機(jī)在C點(diǎn)與地面B點(diǎn)的垂直距離為113米，從C點(diǎn)水平飛行至D點(diǎn)時，俯視地面B點(diǎn)，測得，繼續(xù)水平飛行40米，即米，在點(diǎn)E俯視鼓樓頂A點(diǎn)，測得，若點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，則鼓樓的高度約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】或23【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題：把實(shí)際問題歸結(jié)為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決是解題的關(guān)鍵．在和中，根據(jù)三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，在中，米，在中，，即，解得：米，或米，∴米或23米，故答案為：或23．2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）創(chuàng)新考法·項(xiàng)目式學(xué)習(xí)新中國成立73周年，又適逢黨的二十大召開，為營造隆重?zé)崃?、喜慶祥和的氛圍，天安門廣場及長安街沿線以“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”為主題布置花壇，以廣場中心的“祝福祖國”巨型花果籃為主景，籃內(nèi)主花材料選取了十種花卉和十種水果，象征十全十美，體現(xiàn)花團(tuán)錦簇、碩果累累喜迎二十大的美好寓意．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用國慶假期開展了“測量巨型花果籃的高度”的課題活動，具體方案及數(shù)據(jù)如下表：課題測量巨型花果籃的高度測量方案如圖，AB代表巨型花果籃的高度，在地面C，D處用測角儀分別測得巨型花果籃頂端A的仰角α，β，并測得CD之間的距離，MC，ND均代表測角儀的高度說明:點(diǎn)A，B，C，D，M，N在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值仰角α的度數(shù)仰角β的度數(shù)C，D之間的直線距離64.1m63.9mm測角儀的高度1.5m參考數(shù)據(jù)請補(bǔ)全上表并計算巨型花果籃的高度AB(結(jié)果精確至0.1m)．【答案】補(bǔ)全表格空為，巨型花果籃的高度約為【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，，進(jìn)而由得到關(guān)于的方程，解方程求出，繼而即可得到結(jié)論．【詳解】解：C，D之間的直線距離連接，交于E，由題意得，，，∴四邊形，四邊形，四邊形為矩形．∴，在中，，，，，在中，，，，，，，即：解得：．，答：巨型花果籃的高度約為．3．（2025·福建泉州·一模）如圖是一種筆記本電腦支架，它有到共個檔位調(diào)節(jié)角度．相鄰兩個檔位間的距離為．將某型號電腦打開置于水平托架上，屏幕側(cè)寬與托架側(cè)寬都是，是支點(diǎn)且．當(dāng)支架調(diào)到檔時，；調(diào)到檔時，托架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)時，，．若眼睛的水平視線恰好經(jīng)過點(diǎn)．測點(diǎn)的俯角為，則眼睛與屏幕的距離為．【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，把所求的線段合理分割，整理成直角三角形中相關(guān)的邊是解決本題的關(guān)鍵．延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，可得矩形，從檔位到一共個檔位，之間有個間隔，所以，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得的長，作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得的長，進(jìn)而可得的正弦值和余弦值，根據(jù)的正弦值和余弦值及的長可得的長和的長，即可求得的長，那么就求得了和的長，易得是等腰直角三角形，那么，即可求得的長度．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，可得矩形，，，，，，，到共個檔位調(diào)節(jié)，相鄰兩個檔位間的距離為，，到共個檔位，，設(shè)，則，，，，，解得：，作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，由題意得：，，，，，故答案為：．題型二結(jié)合物理學(xué)科的解直角三角形問題1．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】128【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，由題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入并水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）．為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了如圖2所示的實(shí)驗(yàn)，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形為矩形，測得入射角，折射角，，則光斑移動的距離的長為．（用含，，的代數(shù)式表示）【答案】【分析】延長交于，利用三角函數(shù)解答即可．本題考查了列代數(shù)式的知識，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：延長交于．，，，，．故答案為：3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心O的光線，其傳播方向不變，平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡L折射后通過焦點(diǎn)，凸透鏡的兩側(cè)各有一個焦點(diǎn)F和，焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為f．【模型驗(yàn)證】如圖2，平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡L折射后與光線的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作主光軸的垂線，垂足為，即可得出物體所成的像．已知，，，，，當(dāng)時，求證：．證明：∵，，∴，∴，∴，即．同理可得，∴，即①______，∴②______，∴，∴，即．請結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)在上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是___________；(2)請補(bǔ)充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，在中，，平分并交邊于點(diǎn)D，設(shè)，求的值(用含n的代數(shù)式表示)．【答案】(1)相似三角形的性質(zhì)(2)①，②(3)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再利用等量代換可得即可；（3）作，交的延長線于點(diǎn)E，作，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足為G，由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，再由等角對等邊可得，同理可得，證明，，可得，，進(jìn)而可得，即，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是相似三角形的性質(zhì)，故答案為：相似三角形的性質(zhì)；（2）解：由題意可得，，即①，∴②，故答案為：①，②；（3）解：如圖，作，交的延長線于點(diǎn)E，作，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足為G，∵平分，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∵，，∴，在中，，，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型三在函數(shù)問題中解直角三角形1．（新情境）項(xiàng)目主題：設(shè)計客廳窗戶的遮陽篷項(xiàng)目背景：小明家客廳的窗戶朝南，窗戶的高度米，為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽篷的設(shè)計方案，請根據(jù)不同設(shè)計方案完成以下任務(wù)．方案1：直角形遮陽篷(1)如圖，小明設(shè)計了一個直角形遮陽篷，點(diǎn)在的延長線上，且，同時他觀察發(fā)現(xiàn)此地正午時刻太陽光與地面的最小夾角，最大夾角，請你為小明家的窗戶設(shè)計一個直角形遮陽篷，同時滿足下面兩個條件：①為擁有冬天溫暖的陽光，保證當(dāng)太陽光與地面的夾角是時，太陽光剛好射入室內(nèi)；太陽光與平行②為遮擋夏天炎熱的陽光，保證當(dāng)太陽光與地面的夾角是時，太陽光剛好不射入室內(nèi)．太陽光與平行請求出直角形遮陽篷中的長．方案2：拋物線形遮陽篷(2)如圖，若米，米，為了美觀及實(shí)用性，小明決定設(shè)計拋物線形可伸縮的遮陽篷，其中點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且，點(diǎn)可沿著拋物線收縮至點(diǎn)．若某時刻太陽光與水平地面夾角，為使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求點(diǎn)上升高度的最小值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)已知得出，在中，根據(jù)即可求解．（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出，得出拋物線解析式為進(jìn)而根據(jù)設(shè)，則，代入拋物線解析式，求得的縱坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，∴∴在中，（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，由F為拋物線頂點(diǎn)，可知，∵，∴為等腰直角三角形，由二次函數(shù)對稱性可知，設(shè)二次函數(shù)為：，代入得：，解得，∴關(guān)于的關(guān)系式為：；依題意，光線與水平方向的夾角為，過作軸的垂線交軸于點(diǎn)，過作軸的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)．∴∴設(shè)，則代入得，解得：∴2．（2024·廈門一中·二模）【問題背景】小明在某公園游玩時，對一口“喊泉”產(chǎn)生了興趣，當(dāng)人們在泉邊喊叫時，泉口便會涌起泉水，聲音越大，涌起的泉水越高，涌至最高點(diǎn)所需的時間也越長．【高度測算】小明借助測角儀測算泉水的高度．如圖1，在A點(diǎn)測泉口B的俯角為15°；當(dāng)?shù)谝淮未蠛皶r，泉水從泉口B豎直向上涌至最高點(diǎn)C，在A點(diǎn)測C點(diǎn)的仰角為75°．已知測角儀直立于地面，其高為1.5米．任務(wù)1

求第一次大喊時泉水所能達(dá)到的高度的值．（僅結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，）【初建模型】泉水邊設(shè)有一個響度顯示屏，在第一次大喊時顯示數(shù)據(jù)為66分貝，而泉水高度h（）與響度x（分貝）之間恰好滿足正比例函數(shù)關(guān)系．任務(wù)2

根據(jù)任務(wù)1的結(jié)果和以上數(shù)據(jù)，得到h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為______．【數(shù)據(jù)分析】為探究響度與泉水涌至最高點(diǎn)所需時間的關(guān)系，小明通過多次實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)如下表：時間t（秒）01.51.7522.252.5響度x（分貝）036496481100任務(wù)3

為了更直觀地體現(xiàn)響度x與時間t之間的關(guān)系，請在圖2中用描點(diǎn)法畫出大致圖象，并選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，建立x關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．【推理計算】據(jù)“喊泉”介紹顯示，泉水最高可達(dá)50米．任務(wù)4

試根據(jù)以上活動結(jié)論，求該泉水從泉口噴射至50米所需要的時間．【答案】任務(wù)1：米；任務(wù)2：；任務(wù)3：；任務(wù)4：（秒）【分析】任務(wù)1：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中進(jìn)行求解；任務(wù)2：設(shè)，把，代入得，即可求解；任務(wù)3：設(shè)，把，；，代入得，求解即可；任務(wù)4：，當(dāng)時，，求解即可解得．【詳解】解：任務(wù)1

高度測算法一：如圖1