第30頁(yè)（共30頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之立體幾何初步一．選擇題（共7小題）1．（2025?浙江模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為棱AA1，C1D1上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），若PQ∥面AB1C，則線段PQ的長(zhǎng)度為（）A．52 B．2 C．72 D2．（2025?寧德三模）設(shè)α，β是兩個(gè)不同平面，m，n是平面β內(nèi)的兩條不同直線．甲：m∥α，n∥α，乙：α∥β，則（）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件3．（2025春?貴州期中）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，在斜二測(cè)畫(huà)法下，其直觀圖的面積為（）A．4 B．42 C．2 D．4．（2025春?菏澤期中）已知一個(gè)水平放置的△ABC用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖如圖所示，且C′A′＝3，C′B′＝6，則原平面圖形的面積是（）A．16 B．18 C．22 D．5．（2025春?漳州期中）已知某圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10，面積為33，圓臺(tái)的高為3A．6π B．10π C．11π D．12π6．（2025春?定海區(qū)校級(jí)期中）石墩是常見(jiàn)的維護(hù)交通秩序的道路設(shè)施．某路口放置的石墩（如圖），其上部是原球半徑為15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半徑分別為9cm、16cm的圓臺(tái)，球缺的截面圓與圓臺(tái)的上底面完全吻合，整個(gè)石墩的高為33cm，則石墩的體積為（）（注：球體被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的點(diǎn)到截面的最大距離為球缺的高，球缺的體積V=13π(3A．4374πcm3 B．5048πcm3 C．5336πcm3 D．7260πcm37．（2025春?霞山區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V1（棱臺(tái)AEF﹣A′C′B′的體積），V2的兩部分，那么V1：V2＝（）A．6：5 B．7：5 C．8：3 D．4：3二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?寧德三模）如圖，在矩形ABCD中，BC=3，AB=2，E為AB中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿DE，CE將△ADE，△BCE翻折，使點(diǎn)A，BA．PD⊥EC B．三棱錐E﹣PCD的體積為23C．二面角C﹣PE﹣D的余弦值為13D．三棱錐E﹣PCD外接球的半徑為22（多選）9．（2025春?南岸區(qū)校級(jí)月考）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，m、n為兩條直線，且α∩β＝m．下述四個(gè)命題為真命題的有（）A．若m∥n，則n∥α且n∥β B．若m∥n，則n平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 C．若n∥α且n∥β，則m∥n D．若n在平面β外，則m與n平行或異面（多選）10．（2025?昆明校級(jí)模擬）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為1和2，母線與底面所成的角為π3A．該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2 B．該圓臺(tái)的側(cè)面積為12π C．該圓臺(tái)的體積為73D．存在球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切三．填空題（共3小題）11．（2025春?江陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）國(guó)家二級(jí)文化保護(hù)遺址玉皇閣的臺(tái)基可近似看作上，下底面邊長(zhǎng)分別為2m，4m，側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正四棱臺(tái)，則該臺(tái)基的體積為．12．（2025?攀枝花模擬）已知母線長(zhǎng)為10的圓臺(tái)的表面積為210π，且其上底面的半徑r與下底面的半徑R滿足R＝3r，則R＝．13．（2025春?西青區(qū)校級(jí)期中）已知底面半徑為1的圓錐側(cè)面積是它底面積的兩倍，則圓錐的體積為．四．解答題（共2小題）14．（2025春?南岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB∥平面AEC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）求三棱錐E﹣PAC的體積．15．（2025?贛州二模）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ACD是等邊三角形，∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥CD；（2）若BD=23，CD＝2，tan∠ACB=

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之立體幾何初步參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案BBCBCCB二．多選題（共3小題）題號(hào)8910答案BCDBCAC一．選擇題（共7小題）1．（2025?浙江模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為棱AA1，C1D1上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），若PQ∥面AB1C，則線段PQ的長(zhǎng)度為（）A．52 B．2 C．72 D【考點(diǎn)】直線與平面平行；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題可證PQ即為A1C1，因此可得|PQ【解答】解：如圖，在ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，又AC?平面AB1C，A1C1?平面AB1C，所以A1C1∥面AB1C，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為棱AA1，C1D1上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），PQ∥面AB1C，所以PQ即為A1C1，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1=2所以|PQ故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面平行，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．2．（2025?寧德三模）設(shè)α，β是兩個(gè)不同平面，m，n是平面β內(nèi)的兩條不同直線．甲：m∥α，n∥α，乙：α∥β，則（）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；充分條件必要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間想象．【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面平行的判定和性質(zhì)分析判斷即可．【解答】解：因?yàn)棣粒率莾蓚€(gè)不同平面，m，n是平面β內(nèi)的兩條不同直線．甲：m∥α，n∥α，乙：α∥β，則由m∥α，n∥α，m，n是平面β內(nèi)的兩條不同直線，得不到α∥β，因?yàn)棣僚cβ可能相交，只要m，n和α，β的交線平行即可得到m∥α，n∥α；反過(guò)來(lái)，若α∥β，m，n是平面β內(nèi)的兩條不同直線，則m，n和α沒(méi)有公共點(diǎn)，所以由α∥β能得到m∥α，n∥α，故甲是乙的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬中檔題．3．（2025春?貴州期中）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，在斜二測(cè)畫(huà)法下，其直觀圖的面積為（）A．4 B．42 C．2 D．【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】求出原圖形的面積，進(jìn)而原圖形和直觀圖面積關(guān)系得到答案．【解答】解：四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，故正方形ABCD的面積為2×2＝4，故在斜二測(cè)畫(huà)法下，其直觀圖的面積為4×故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查原圖形和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?菏澤期中）已知一個(gè)水平放置的△ABC用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖如圖所示，且C′A′＝3，C′B′＝6，則原平面圖形的面積是（）A．16 B．18 C．22 D．【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖；斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原圖形中CA，BC的長(zhǎng)度，故可求其面積．【解答】解：由一個(gè)水平放置的△ABC用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖如圖所示，且C′A′＝3，C′B′＝6，可得CA＝6，BC＝6且∠ACB＝90°，故原平面圖形的面積為12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直觀圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?漳州期中）已知某圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10，面積為33，圓臺(tái)的高為3A．6π B．10π C．11π D．12π【考點(diǎn)】圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】若圓臺(tái)上下底面半徑分別為r，R且R＞r，根據(jù)已知列方程求得R＝2，r＝1，再應(yīng)用圓臺(tái)的表面積的求法求結(jié)果．【解答】解：由題意圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10，面積為33，圓臺(tái)的高為3可設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為r，R且R＞r，則圓臺(tái)軸截面腰長(zhǎng)為(R所以2(R+r)+2(R-r)所以（R﹣r）2＝1，可得R﹣r＝1，故R＝2，r＝1，綜上，圓臺(tái)的表面積為πR故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6．（2025春?定海區(qū)校級(jí)期中）石墩是常見(jiàn)的維護(hù)交通秩序的道路設(shè)施．某路口放置的石墩（如圖），其上部是原球半徑為15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半徑分別為9cm、16cm的圓臺(tái)，球缺的截面圓與圓臺(tái)的上底面完全吻合，整個(gè)石墩的高為33cm，則石墩的體積為（）（注：球體被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的點(diǎn)到截面的最大距離為球缺的高，球缺的體積V=13π(3A．4374πcm3 B．5048πcm3 C．5336πcm3 D．7260πcm3【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定求缺的高h(yuǎn)以及圓臺(tái)的高h(yuǎn)′，再根據(jù)球缺與圓臺(tái)的體積公式即可得組合體石墩的體積．【解答】解：作出示意圖如下：因?yàn)槭丈喜渴窃虬霃綖?5cm的球缺，又下部是上、下底面半徑分別為9cm、16cm的圓臺(tái)，且球缺的截面圓與圓臺(tái)的上底面完全吻合，整個(gè)石墩的高為33cm，設(shè)FC為整個(gè)幾何體的高度，設(shè)A為球心，B，C分別為圓臺(tái)上下底面圓心，所以FC＝33cm，r1＝BD＝9cm，r2＝EC＝16cm，R＝AD＝15cm，所以AB=AD2-DB2=12cm，則球缺的高h(yuǎn)則圓臺(tái)的高h(yuǎn)′＝BC＝FC﹣FB＝6cm，故石墩的體積為V=[1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合體的體積的求解，屬中檔題．7．（2025春?霞山區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V1（棱臺(tái)AEF﹣A′C′B′的體積），V2的兩部分，那么V1：V2＝（）A．6：5 B．7：5 C．8：3 D．4：3【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，得到S△AEF=14S，利用棱臺(tái)的體積公式，求得V1=7【解答】解：因?yàn)槿庵鵄BC﹣A′B′C′中，又E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，且平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V1（棱臺(tái)AEF﹣A′C′B′的體積），V2的兩部分，設(shè)三棱柱的高為h，底面面積為S，體積為V，所以V＝V1+V2，S△所以V1=13h故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積問(wèn)題的求解，屬中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?寧德三模）如圖，在矩形ABCD中，BC=3，AB=2，E為AB中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿DE，CE將△ADE，△BCE翻折，使點(diǎn)A，BA．PD⊥EC B．三棱錐E﹣PCD的體積為23C．二面角C﹣PE﹣D的余弦值為13D．三棱錐E﹣PCD外接球的半徑為22【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角；球內(nèi)接多面體；棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】由題意確定DP⊥平面ECP，再結(jié)合棱錐的體積公式、二面角的平面角判斷，及三棱錐外接球半徑計(jì)算公式逐個(gè)判斷即可．【解答】解：由題意易知：EP⊥DP，EP⊥CP，PD=所以cos∠CPD=PD對(duì)于選項(xiàng)A，若PD⊥EC，因?yàn)镋P⊥DP，EC，EP為平面ECP內(nèi)兩條相交直線，可得：DP⊥平面ECP，又PC在平面ECP內(nèi)，DP⊥PC，矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)镋P⊥DP，EP⊥CP，DP∩CP＝P，DP，CP?平面DPC，所以EP⊥平面DPC，由cos∠CPD=所以S△所以VE-PCD對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镋P⊥DP，EP⊥CP，EP為二面角C﹣PE﹣D的棱，DP，CP分別在兩個(gè)面內(nèi)，所以∠CPD為二面角C﹣PE﹣D的平面角，又cos∠CPD=對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)镋P⊥平面DPC，△DPC外接圓的半徑為：r=所以三棱錐外接球的半徑R=r2故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，屬于中檔題．（多選）9．（2025春?南岸區(qū)校級(jí)月考）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，m、n為兩條直線，且α∩β＝m．下述四個(gè)命題為真命題的有（）A．若m∥n，則n∥α且n∥β B．若m∥n，則n平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 C．若n∥α且n∥β，則m∥n D．若n在平面β外，則m與n平行或異面【考點(diǎn)】直線與平面平行；平面與平面平行．【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間想象．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A，若m∥n，則n∥α且n∥β或n?α或n?β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m∥n，α∩β＝m，因?yàn)閙?α，過(guò)直線n可以有無(wú)數(shù)個(gè)平面與α相交，則交線與直線n平行，故B正確；對(duì)C，過(guò)直線n分別作兩平面與α，β分別相交于直線s和直線t，因?yàn)閚∥α，過(guò)直線n的平面與平面α的交線為直線s，則n∥s，同理可得n∥t，則s∥t，因?yàn)閟?平面β，t?平面β，則s∥平面β，因?yàn)閟?平面α，α∩β＝m，則s∥m，又因?yàn)閚∥s，則m∥n，故C正確；對(duì)于D，若n在平面β外，則n∥β或n與β相交，當(dāng)n∥β時(shí)，m∥n或m，n異面，當(dāng)n與β相交時(shí)，m，n相交或m，n異面，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．（多選）10．（2025?昆明校級(jí)模擬）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為1和2，母線與底面所成的角為π3A．該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2 B．該圓臺(tái)的側(cè)面積為12π C．該圓臺(tái)的體積為73D．存在球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切【考點(diǎn)】圓臺(tái)的體積；圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】由已知求出圓臺(tái)的高與母線長(zhǎng)，再求出圓臺(tái)的側(cè)面積與體積判斷ABC；利用反證法思想判斷D．【解答】解：作出圓臺(tái)的軸截面如圖，由已知可得O1B＝1，O2A＝2，∠BA則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)AB＝2，高O1O2圓臺(tái)的側(cè)面積為π（1+2）×2＝6π，故B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的體積為13π×設(shè)圓臺(tái)內(nèi)與上下底面均相切的球的球心為O，則O為O1O2的中點(diǎn)，過(guò)O作OD⊥AB，若球O與圓臺(tái)側(cè)面相切，則D為切點(diǎn)，可得AO2＝AD＝2，而AB＝2，則D與B重合，可得球O與圓臺(tái)上底面同時(shí)切于O1與B點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)側(cè)面積與體積的求法，考查圓臺(tái)的內(nèi)切球，是中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?江陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）國(guó)家二級(jí)文化保護(hù)遺址玉皇閣的臺(tái)基可近似看作上，下底面邊長(zhǎng)分別為2m，4m，側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正四棱臺(tái)，則該臺(tái)基的體積為2873m【考點(diǎn)】棱臺(tái)的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】287【分析】根據(jù)題意先求出棱臺(tái)的高，然后利用棱臺(tái)體積公式可求解．【解答】解：作出示意圖如下：因?yàn)檎睦馀_(tái)上，下底面邊長(zhǎng)分別為2m，4m，側(cè)棱長(zhǎng)為3m，所以AB＝2，AA1＝3，A1B1＝4，連接AC，A1C1得AC=22，過(guò)A作AG⊥A1C1，過(guò)C作CH⊥A1C1，所以AC=GH=2在直角三角形AA1G中，AG=所以正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)=7，正四棱臺(tái)上、下底面積為22＝4（m2）和42＝16（m所以體積V=13×7故答案為：287【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱臺(tái)的體積的求解，屬中檔題．12．（2025?攀枝花模擬）已知母線長(zhǎng)為10的圓臺(tái)的表面積為210π，且其上底面的半徑r與下底面的半徑R滿足R＝3r，則R＝9．【考點(diǎn)】圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】9．【分析】根據(jù)圓臺(tái)表面積公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)槟妇€長(zhǎng)l＝10，R＝3r，所以S側(cè)＝π（r+3r）×10＝40πr，S底所以40πr+10πr2＝210π，即r2+4r﹣21＝0，解得r＝3，則R＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025春?西青區(qū)校級(jí)期中）已知底面半徑為1的圓錐側(cè)面積是它底面積的兩倍，則圓錐的體積為33π【考點(diǎn)】圓錐的體積．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】33【分析】設(shè)圓錐的母線為l，高為h，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出l＝2r，即可求出h，再由圓錐的體積公式計(jì)算可得．【解答】解：由題意底面半徑為1的圓錐側(cè)面積是它底面積的兩倍，可設(shè)圓錐的母線為l，高為h，又底面半徑r＝1，有πrl＝2πr2，所以l＝2r＝2，則h=所以圓錐的體積V=故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的體積公式，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2025春?南岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB∥平面AEC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）求三棱錐E﹣PAC的體積．【考點(diǎn)】棱錐的體積；直線與平面平行；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）23【分析】（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，利用中位線的性質(zhì)得線線平行，即可證明線面平行；（2）利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理得CD⊥AE，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得線面垂直；（3）利用等體積法及三棱錐的體積公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）證明：如圖，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，易知O為BD中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB，又PB?平面AEC，OE?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（2）證明：由點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，PA＝AD，故AE⊥PD，由PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD，又底面ABCD是正方形，故AD⊥CD，又AD、PA?平面PAD，AD∩PA＝A，故CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，故CD⊥AE，又CD、PD?平面PCD，CD∩PD＝D，故AE⊥平面PCD；（3）因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，所以VA【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．15．（2025?贛州二模）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ACD是等邊三角形，∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥CD；（2）若BD=23，CD＝2，tan∠ACB=【考點(diǎn)】直線與平面垂直；空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；空間想象．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）32【分析】（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為F，連接FE，F(xiàn)A，易得CD⊥AF、CD⊥EF，再由線面垂直的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知得∠AFE=2π3，在平面AEF內(nèi)作Fz【解答】解：（1）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為F，連接FE，F(xiàn)A，由題意可得CD⊥AF，可得EF∥BD且∠BDC＝90°，則CD⊥EF，又AF∩EF＝F，AF，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF，由AE?平面AEF，可得AE⊥CD，得證；（2）因?yàn)閠an∠所以cos∠又因?yàn)锽C＝4，可得EC＝2，AC＝CD＝2，因?yàn)锳E2＝EC2+AC2﹣2EC?ACcos∠ACE＝22+22﹣2×2×又因?yàn)锳F=32則cos∠因?yàn)?＜∠AFE＜π，可得∠AFE由CD⊥面AEF，CD?面BCD，可得面BCD⊥面AEF，在面AEF內(nèi)作Fz⊥EF，則Fz⊥面BCD，綜上，F(xiàn)z，EF，CD兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系F﹣xyz，所以C(0又由于∠AFz可得A(所以可得CE→=(3，-設(shè)n→=(x，y取z＝1，則n→可得E到平面ACD的距離為|CE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了應(yīng)用向量法求點(diǎn)面之間的距離，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)．【解題方法點(diǎn)撥】﹣底面和頂面圓的性質(zhì)：分別計(jì)算底面和頂面的面積．﹣側(cè)面帶彎的矩形：計(jì)算側(cè)面面積，公式為π（r1+r2）l，其中l(wèi)為母線長(zhǎng)度．﹣表面積：計(jì)算公式為πr﹣體積：計(jì)算公式為13【命題方向】﹣圓臺(tái)的幾何特征：考查如何從幾何特征出發(fā)計(jì)算圓臺(tái)的體積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓臺(tái)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．4．球內(nèi)接多面體【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點(diǎn)都在球面上，且球心到各頂點(diǎn)的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個(gè)面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球．2、研究球與多面體的接、切問(wèn)題主要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系；（3）球自身的對(duì)稱性與多面體的對(duì)稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處；②正方體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上；③球半徑和正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系：r=32（2）球外切正方體：球和正方體都是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處；②球與正方體每個(gè)面的切點(diǎn)都是每個(gè)面的中心點(diǎn)；③球半徑和正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系：r=125．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐=136．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．7．棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱臺(tái)的體積可以通過(guò)兩個(gè)平行底面的面積B1和B2以及高度h計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：兩個(gè)底面的面積B1和B2可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱臺(tái)的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)兩個(gè)底面面積和高度計(jì)算棱臺(tái)的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱臺(tái)體積計(jì)算．8．圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積依賴于底面和頂面圓的半徑r1、r2以及母線l和兩個(gè)底面圓的面積．【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：計(jì)算公式為π（r1+r2）l．﹣表面積：包括兩個(gè)底面圓的面積和側(cè)面的面積，計(jì)算公式為πr【命題方向】﹣圓臺(tái)的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓臺(tái)的表面積計(jì)算．9．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識(shí)圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱1圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：V圓柱2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識(shí)圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)圓錐1與圓錐底面平行的截面是圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．母線長(zhǎng)l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l：V圓錐3．圓臺(tái)①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．圓臺(tái)用軸字母表示，如下圖圓臺(tái)可表示為圓臺(tái)OO′．②認(rèn)識(shí)圓臺(tái)③圓臺(tái)的特征及性質(zhì)圓臺(tái)1平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺(tái)的體積和表面積公式設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：V圓臺(tái)10．圓錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓錐的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓錐尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓錐的體積計(jì)算．11．圓臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓臺(tái)的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r1、頂面圓的半徑r2和圓臺(tái)的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓臺(tái)尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓臺(tái)的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面和頂面的半徑以及高度計(jì)算圓臺(tái)的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓臺(tái)的體積計(jì)算．12．平面圖形的直觀圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．直觀圖：用來(lái)表示平面圖形的平面圖形叫做平面圖形的直觀圖，它不是平面圖形的真實(shí)形狀．2．斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形直觀圖的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．13．斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．14．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號(hào)表示圖示直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a∩α＝A直線和平面平行無(wú)a∥α15．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行