高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市姜堰區(qū)2025屆高三第二次適應(yīng)性調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，則，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，可得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線方程為：，所以所求準(zhǔn)線方程為.故選：B4.在三棱錐中，底面為斜邊的等腰直角三角形，頂點(diǎn)S在底面上的射影為的中點(diǎn)．若，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，連接.由題易知：，，平面.在中，，故，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.將展開到與共面，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即取得最小值.在中，，，由余弦定理可得：，所以，即的最小值為.故選：A.5.2025年央視春晚的四個(gè)分會(huì)場(chǎng)分別為重慶、武漢、無錫和拉薩，現(xiàn)有11個(gè)志愿者名額分配給這四個(gè)分會(huì)場(chǎng)，其中一個(gè)分會(huì)場(chǎng)分5個(gè)名額，在余下的三個(gè)分會(huì)場(chǎng)中每個(gè)會(huì)場(chǎng)至少分一個(gè)名額，則名額分配的不同種數(shù)為（）A.210 B.35 C.40 D.120【答案】C【解析】依題意，選擇一個(gè)分會(huì)場(chǎng)獲取5個(gè)名額，有種方法，再將余下的6個(gè)名額分配到另三個(gè)分會(huì)場(chǎng)，用隔板法有種，所以名額分配的不同種數(shù)為.故選：C6.在等邊中，，P為所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A.4 B. C. D.6【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)為等邊三角形，，，，，當(dāng)，即時(shí)，，故選：B.7.某同學(xué)用3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，已知，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，，又，則，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，則，所以，故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與圓：相切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過曲線C上一點(diǎn)Q作直線分別與直線，相交，交點(diǎn)為M、N，且交點(diǎn)分別在第一象限和第四象限，若，，則面積的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，以為直徑的圓的圓心為，而點(diǎn)在圓外，且圓圓心，半徑1，由兩圓相切，得，整理得，設(shè)，由，得，而點(diǎn)在上，則，整理得，直線，的傾斜角為，則，的面積，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因此，所以面積的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（0，1）B.當(dāng)且時(shí)，C.，D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，由，可得或，由，可得，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則f(0)=2b>0f(1)=-2+2b<0，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)閏osx-cos2x=由A函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，，依題意，，可得①由，可得，由于，化簡(jiǎn)得②將①代入②式，可化簡(jiǎn)得：，即，因，故得，即D正確．故選：ABD．10.對(duì)一列整數(shù)進(jìn)行如下操作：輸入第一個(gè)整數(shù)，只顯示不計(jì)算，接著輸入第二個(gè)整數(shù)，只顯示的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差再取絕對(duì)值．設(shè)全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為．若數(shù)列滿足，，現(xiàn)把數(shù)列的前2025項(xiàng)隨機(jī)地輸入，則（）A.最小值為0 B.的最小值為1C.的最大值為2025 D.的最大值為2024【答案】BC【解析】對(duì)于，對(duì)于連續(xù)四個(gè)奇數(shù)，，由題意運(yùn)算，其結(jié)果最小值為；同理，對(duì)于連續(xù)四個(gè)偶數(shù)，，由題意運(yùn)算，其結(jié)果最小值為，在1到2025的2025個(gè)整數(shù)中有1013個(gè)奇數(shù)和1012個(gè)偶數(shù)，，，由，經(jīng)過計(jì)算最小值為，且，經(jīng)過計(jì)算最小值為，則的最小值為；除2025外，前2024個(gè)數(shù)中有1012個(gè)奇數(shù)和1012個(gè)偶數(shù)，前2024個(gè)數(shù)經(jīng)過計(jì)算最小值為0，所以的最大值為2025.故選：BC11.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲）．利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙）．若正四面體的棱長(zhǎng)為3，則下列說法正確的是（）A.勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值大于3B.勒洛四面體被平面截得的截面面積是C.勒洛四面體四個(gè)曲面交線長(zhǎng)的和為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】AD【解析】對(duì)于A，分別為正四面體的棱的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，，則等腰的高，等腰的高，由對(duì)稱性知，，則，而勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值不小于長(zhǎng)，A正確；對(duì)于B，勒洛四面體被平面截得的截面是3個(gè)弓形加上，面積為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱性知，勒洛四面體四個(gè)曲面的每條交線長(zhǎng)相等，其中交線所在圓的圓心在以中點(diǎn)為圓心，則該圓半徑，由余弦定理得，，因此勒洛四面體四個(gè)曲面交線長(zhǎng)的和為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑即為該四面體內(nèi)切球半徑，由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，令正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交曲面于點(diǎn)，其中即為正四面體外接球半徑，點(diǎn)均在以點(diǎn)B為球心的球面上，則，勒洛四面體內(nèi)切球半徑，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則________．【答案】【解析】由題可知，兩邊平方可得：，解得，又，故，則；故為方程的兩根，則，解得或，則.故答案為：.13.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】由函數(shù)的值域?yàn)镽，得函數(shù)的值域包含，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：14.甲、乙兩人進(jìn)行五子棋比賽，比賽采用積分制，賽前每人的基礎(chǔ)分為3分．在一輪比賽中，獲勝的一方加一分，輸?shù)囊环綔p一分，平局分?jǐn)?shù)不改變，直至某人得到滿分6分，獲得6分的人獲勝，比賽結(jié)束．已知在每一局中，甲勝的概率為，乙勝的概率為，各局的輸贏互不影響．若表示在甲所得分?jǐn)?shù)為時(shí)，最終甲獲勝的概率，若，，則________．【答案】【解析】由題意得甲所得分?jǐn)?shù)為時(shí)，下一局可能的結(jié)果有三種情況：若甲勝，則甲得分變?yōu)?，?duì)應(yīng)概率為，若乙勝，則甲得分變?yōu)?，?duì)應(yīng)概率為，若平局，則甲得分保持，對(duì)應(yīng)的概率為，所以由全概率公式可得，所以，，所以（），所以數(shù)列（）是以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，，，，所以,所以，所以，因?yàn)?，，所以，解?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在正三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱與底面所成角的正切值為．若存在球與正三棱臺(tái)的5個(gè)面同時(shí)相切，求：（1）正三棱臺(tái)的體積；（2）正三棱臺(tái)的表面積．解：（1）在正三棱臺(tái)中，取BC和的中點(diǎn)分別為，上、下底面的中心分別為，連接，設(shè)，內(nèi)切球半徑為r，則，棱臺(tái)的高為2r，于是，，同理，由內(nèi)切球與平面相切，切點(diǎn)在上，得，在等腰梯形中，，則，在梯形中，，則，解得，因此棱臺(tái)的高，棱臺(tái)的體積為．（2）由（1）知，在正三棱臺(tái)中，，斜高，所以正三棱臺(tái)的表面積16.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）由，，得，而，由余弦定理得，則，于是的面積，整理得，其中銳角由確定，而，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以面積的最大值.（2）由，，得，由正弦定理得，又，整理得，而，所以.17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線、與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，，求的值；（3）在（2）的條件下，記直線、的傾斜角分別為、，求的最大值．解：（1）由題意，，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得,則，,所以，即，所以拋物線C的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)，直線，聯(lián)立，可得，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，，即，同理可得，即，又，且，所以，將，，代入得，又，則，又，則.（3）因?yàn)橹本€、的傾斜角分別為、，所以，，由，，，則，則，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．18.某科技公司食堂每天中午提供A、B兩種套餐，員工小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為．（1）食堂對(duì)A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改善后，對(duì)員工對(duì)于A套餐的滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了120名員工的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計(jì)滿意204060不滿意303060合計(jì)5070120參考數(shù)據(jù)：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？（2）若A套餐擬提供2種品類的素菜，種品類的葷菜，員工小李從這些菜品中選擇3種菜品，記選擇素菜的種數(shù)為X，求的最大值，并求此時(shí)n的值；（3）設(shè)員工小李第n天選擇B套餐概率為，求．解：（1）零假設(shè)：認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即接受，因此認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系.（2）依題意，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，于是，所以的最大值為，此時(shí)或.（3）由員工小李第n天選擇B套餐的概率為，得員工小李第n天選擇A套餐的概率為，因此，而，，又，因此，所以.19.設(shè)數(shù)列和都有無窮項(xiàng)，已知存在非零常數(shù)，使得，此時(shí)稱數(shù)列是由“-生成”的．（1）如果是等比數(shù)列，滿足的，若數(shù)列是由“-生成”，求的值；（2）已知數(shù)列是由“-生成”的，如果存在非零常數(shù)，使得是由“-生成”的，求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）設(shè)，且數(shù)列，，分別是由數(shù)列，，“-生成”的，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，求的最小值．解：（1）設(shè)，則由，解得，又，而，因此，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，符合題意，所以或.（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，得，則，于是或，而，因此，若，則，，若，且，假設(shè)是第一個(gè)使不同時(shí)為0的整數(shù)，則，此時(shí)，而，則，矛盾，從而不存在使不同時(shí)為0的整數(shù)，所以.（3）設(shè)分別表示的前項(xiàng)和，即分別是由-生成"的，由，得；當(dāng)時(shí)，.于是，同理，而，則，，，.所以，，令，則，，，因此，所以取到最小值.江蘇省泰州市姜堰區(qū)2025屆高三第二次適應(yīng)性調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，則，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，可得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線方程為：，所以所求準(zhǔn)線方程為.故選：B4.在三棱錐中，底面為斜邊的等腰直角三角形，頂點(diǎn)S在底面上的射影為的中點(diǎn)．若，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，連接.由題易知：，，平面.在中，，故，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.將展開到與共面，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即取得最小值.在中，，，由余弦定理可得：，所以，即的最小值為.故選：A.5.2025年央視春晚的四個(gè)分會(huì)場(chǎng)分別為重慶、武漢、無錫和拉薩，現(xiàn)有11個(gè)志愿者名額分配給這四個(gè)分會(huì)場(chǎng)，其中一個(gè)分會(huì)場(chǎng)分5個(gè)名額，在余下的三個(gè)分會(huì)場(chǎng)中每個(gè)會(huì)場(chǎng)至少分一個(gè)名額，則名額分配的不同種數(shù)為（）A.210 B.35 C.40 D.120【答案】C【解析】依題意，選擇一個(gè)分會(huì)場(chǎng)獲取5個(gè)名額，有種方法，再將余下的6個(gè)名額分配到另三個(gè)分會(huì)場(chǎng)，用隔板法有種，所以名額分配的不同種數(shù)為.故選：C6.在等邊中，，P為所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A.4 B. C. D.6【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)為等邊三角形，，，，，當(dāng)，即時(shí)，，故選：B.7.某同學(xué)用3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，已知，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，，又，則，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，則，所以，故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與圓：相切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過曲線C上一點(diǎn)Q作直線分別與直線，相交，交點(diǎn)為M、N，且交點(diǎn)分別在第一象限和第四象限，若，，則面積的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，以為直徑的圓的圓心為，而點(diǎn)在圓外，且圓圓心，半徑1，由兩圓相切，得，整理得，設(shè)，由，得，而點(diǎn)在上，則，整理得，直線，的傾斜角為，則，的面積，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因此，所以面積的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（0，1）B.當(dāng)且時(shí)，C.，D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，由，可得或，由，可得，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則f(0)=2b>0f(1)=-2+2b<0，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)閏osx-cos2x=由A函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，，依題意，，可得①由，可得，由于，化簡(jiǎn)得②將①代入②式，可化簡(jiǎn)得：，即，因，故得，即D正確．故選：ABD．10.對(duì)一列整數(shù)進(jìn)行如下操作：輸入第一個(gè)整數(shù)，只顯示不計(jì)算，接著輸入第二個(gè)整數(shù)，只顯示的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差再取絕對(duì)值．設(shè)全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為．若數(shù)列滿足，，現(xiàn)把數(shù)列的前2025項(xiàng)隨機(jī)地輸入，則（）A.最小值為0 B.的最小值為1C.的最大值為2025 D.的最大值為2024【答案】BC【解析】對(duì)于，對(duì)于連續(xù)四個(gè)奇數(shù)，，由題意運(yùn)算，其結(jié)果最小值為；同理，對(duì)于連續(xù)四個(gè)偶數(shù)，，由題意運(yùn)算，其結(jié)果最小值為，在1到2025的2025個(gè)整數(shù)中有1013個(gè)奇數(shù)和1012個(gè)偶數(shù)，，，由，經(jīng)過計(jì)算最小值為，且，經(jīng)過計(jì)算最小值為，則的最小值為；除2025外，前2024個(gè)數(shù)中有1012個(gè)奇數(shù)和1012個(gè)偶數(shù)，前2024個(gè)數(shù)經(jīng)過計(jì)算最小值為0，所以的最大值為2025.故選：BC11.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲）．利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙）．若正四面體的棱長(zhǎng)為3，則下列說法正確的是（）A.勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值大于3B.勒洛四面體被平面截得的截面面積是C.勒洛四面體四個(gè)曲面交線長(zhǎng)的和為D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】AD【解析】對(duì)于A，分別為正四面體的棱的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，，則等腰的高，等腰的高，由對(duì)稱性知，，則，而勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值不小于長(zhǎng)，A正確；對(duì)于B，勒洛四面體被平面截得的截面是3個(gè)弓形加上，面積為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱性知，勒洛四面體四個(gè)曲面的每條交線長(zhǎng)相等，其中交線所在圓的圓心在以中點(diǎn)為圓心，則該圓半徑，由余弦定理得，，因此勒洛四面體四個(gè)曲面交線長(zhǎng)的和為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑即為該四面體內(nèi)切球半徑，由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，令正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交曲面于點(diǎn)，其中即為正四面體外接球半徑，點(diǎn)均在以點(diǎn)B為球心的球面上，則，勒洛四面體內(nèi)切球半徑，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則________．【答案】【解析】由題可知，兩邊平方可得：，解得，又，故，則；故為方程的兩根，則，解得或，則.故答案為：.13.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】由函數(shù)的值域?yàn)镽，得函數(shù)的值域包含，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：14.甲、乙兩人進(jìn)行五子棋比賽，比賽采用積分制，賽前每人的基礎(chǔ)分為3分．在一輪比賽中，獲勝的一方加一分，輸?shù)囊环綔p一分，平局分?jǐn)?shù)不改變，直至某人得到滿分6分，獲得6分的人獲勝，比賽結(jié)束．已知在每一局中，甲勝的概率為，乙勝的概率為，各局的輸贏互不影響．若表示在甲所得分?jǐn)?shù)為時(shí)，最終甲獲勝的概率，若，，則________．【答案】【解析】由題意得甲所得分?jǐn)?shù)為時(shí)，下一局可能的結(jié)果有三種情況：若甲勝，則甲得分變?yōu)椋瑢?duì)應(yīng)概率為，若乙勝，則甲得分變?yōu)椋瑢?duì)應(yīng)概率為，若平局，則甲得分保持，對(duì)應(yīng)的概率為，所以由全概率公式可得，所以，，所以（），所以數(shù)列（）是以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，，，，所以,所以，所以，因?yàn)?，，所以，解?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在正三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱與底面所成角的正切值為．若存在球與正三棱臺(tái)的5個(gè)面同時(shí)相切，求：（1）正三棱臺(tái)的體積；（2）正三棱臺(tái)的表面積．解：（1）在正三棱臺(tái)中，取BC和的中點(diǎn)分別為，上、下底面的中心分別為，連接，設(shè)，內(nèi)切球半徑為r，則，棱臺(tái)的高為2r，于是，，同理，由內(nèi)切球與平面相切，切點(diǎn)在上，得，在等腰梯形中，，則，在梯形中，，則，解得，因此棱臺(tái)的高，棱臺(tái)的體積為．（2）由（1）知，在正三棱臺(tái)中，，斜高，所以正三棱臺(tái)的表面積16.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）由，，得，而，由余弦定理得，則，于是的面積，整理得，其中銳角由確定，而，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以面積的最大值.（2）由，，得，由正弦定理得，又，整理得，而，所以.17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線、與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，，求的值；（3）在（2）的條件下，記直線、的傾斜角分別為、，求的最大值．解：（1）由題意，，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得,則，,所以，即，所以拋物線C的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)，直線，聯(lián)立，可得，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，，即，同理可得，即，又，且，所以，將，，代入得，又，則，又，則.（3）因?yàn)橹本€、的傾斜角分別為、，所以，，由，，，則，則，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．18.某科技公司食堂每天中午