高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，則，則.故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）則的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，因?yàn)?，則點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，，則，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以的最大值是3.故選：C．3.函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若為偶函數(shù)，則對任意的恒成立，即，所以對任意的恒成立，故；若，則，所以，故為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)的充要條件為.故選：B．4.設(shè)表示兩條不重合的直線，表示兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.存在一對異面直線，則【答案】D【解析】對于A，由，得直線與可能平行、可能相交，也可能在面內(nèi)，A錯誤；對于B，由，得可能平行，也可能相交，B錯誤；對于C，要垂直于內(nèi)的兩條相交直線，才能推出，C錯誤；對于D，過直線的平面，由，得，而，則，由是異面直線，得直線相交，又，因此，D正確.故選D，5.雙曲線的右焦點(diǎn)為，過右頂點(diǎn)向軸引垂線與的漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨去雙曲線漸近線，則，∵，∴，即，故，即，因?yàn)?，解得，?故選：D6.如圖，圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，太陽光與圭面成角也就是太陽高度角．圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，投影點(diǎn)為冬至線．日影長度最短的那一天定為夏至，投影點(diǎn)為夏至線．已知景德鎮(zhèn)冬至正午太陽高度角為，夏至正午太陽高度角為，表高42厘米，圭面上冬至線與夏至線之間的距離為50厘米，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，∴．又，∴，根據(jù)勾股定理．在中，根據(jù)正弦定理可知，即，解得，故選：C．7.已知函數(shù)，斜率為的直線經(jīng)過原點(diǎn)且與的圖象相切，已知的值從大到小排列依次為，下列兩個結(jié)論：①；②，則（）A.①錯誤②正確 B.①正確②錯誤C.①②均正確 D.①②均錯誤【答案】B【解析】因，則，因，則，則，即，則，，因與均為奇函數(shù)，故不妨設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程中得，，因，則，，則，因，則，則，故隨著的增大，減小，令，則，則在上單調(diào)遞減，時，；時，，則對于斜率最大的切線，切點(diǎn)，則，①正確；分別過向軸引垂線分別與斜率為的切線交于兩點(diǎn)，由圖易知，而，∴，即，②錯誤．故選：B．8.動圓經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，過原點(diǎn)向動圓作切線，切點(diǎn)為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將與的方程聯(lián)立，得，動圓的方程為，∴切線長，即的軌跡是以為圓心為半徑的圓，設(shè)線段中點(diǎn)為，∵，而（不能三點(diǎn)共線），∴的最大值是.故選:D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.的展開式中所有項系數(shù)的和為729，則B.已知，則C.已知向量，若，則的值為2D.已知正數(shù)滿足，則【答案】CD【解析】令代入解得，解得，A錯誤；∵，∴，B錯誤；由可知，故，解得，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確．故選：CD．10.已知為拋物線的焦點(diǎn)，是上位于第一象限的一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（在線段上），且，則（）A.直線的傾斜角為B.直線斜率之和為C.D.【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)，，解得．又，∴點(diǎn)，直線的斜率為，直線的傾斜角為．A正確；設(shè)點(diǎn)，，方程為，聯(lián)立，消去可得．則，，所以，的斜率之和為，B正確；若，則，即，∴，經(jīng)驗(yàn)證不符題意，C錯誤；，D正確．故選：ABD．11.表示不超過的最大整數(shù)，已知，函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，下列說法正確的是（）A.B.為周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于A選項，∵，令，則，∴，當(dāng)時，，∴，故A正確；對于B選項，當(dāng)時符合題意，但不為周期函數(shù)，故B錯誤；對于C選項，∵當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故C正確；對于D選項，如圖為函數(shù)當(dāng)時的部分圖象，顯然該函數(shù)符合題意，但，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】因的最小正周期為，則，故，則，因，則，則，則，故在區(qū)間上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3.已知三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，，，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【解析】由正弦定理可得，而，則，解得，設(shè)到面的距離為，而，如圖，我們作出符合題意的三棱錐，連接，若三棱錐的體積最大，則同時最大即可，由三角形面積公式得，由余弦定理得，則，得到，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故，則，解得，即，故面積取得最大值，由題意得球的半徑為2，，設(shè)球心到面的距離為，由勾股定理得，則到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，而，故，則直線與平面所成角為，因?yàn)槿忮F的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，所以，而，故，而，則故是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，即，當(dāng)面垂直于平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離為，故三棱錐體積的最大值為．故答案為：14.一質(zhì)點(diǎn)落在三棱錐的頂點(diǎn)處，每次均以相同的可能性沿著某條棱移動到另一個頂點(diǎn)處，記事件表示“該質(zhì)點(diǎn)移動次后落在頂點(diǎn)”，為的對立事件，則__________．【答案】【解析】我們將三個點(diǎn)看作為一個整體，如果某次在點(diǎn)，則下次一定不在點(diǎn)的概率為；如果某次不在點(diǎn)，則下次在與不在的概率分別為、，因，，則，因，，則，則根據(jù)貝葉斯公式可得．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若為遞增數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．解：（1）因數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，同理可得，因，則，又，得，因數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，若，則，公比為，公差為；若，則，公比為，公差為，則或．（2）因?yàn)檫f增數(shù)列，則，，則，則，，兩式相減得，．16.如圖1，平面四邊形為“箏型”，其中，將平面沿著翻折得到三棱錐（如圖2），為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）如圖2，若，，求平面與平面的夾角的正弦值．（1）證明：，，為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面．又平面，平面平面．（2）解：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．取中點(diǎn)，連接，，．由（1）可知平面，平面，，又平面，平面，故平面．，，為的中點(diǎn)，．又，為的中點(diǎn)，．則，，，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以．設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，所以.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以.所以，平面與平面的夾角的正弦值是．17.2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型發(fā)布，該模型在全球范圍內(nèi)引發(fā)廣泛關(guān)注．現(xiàn)為了對其產(chǎn)品用戶的使用行為進(jìn)行統(tǒng)計分析，收集了1000名用戶的每日使用時長（單位：分鐘），得到如下所示的頻率分布直方圖，每日使用時長不小于60分鐘的用戶稱為“忠實(shí)粉絲”．（1）估計該產(chǎn)品用戶每日的平均使用時長（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中使用時長在的用戶中隨機(jī)抽取7人，并從中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步分析，記為2人中忠實(shí)粉絲的人數(shù)，求的分布列和期望．（3）用樣本的頻率估計概率，從該產(chǎn)品所有用戶中抽取5人，為忠實(shí)粉絲的人數(shù)，記時對應(yīng)的概率為，則為多少時最大？解：（1）由，解得．（2）由頻率分布直方圖可知，與的用戶數(shù)之比為3：4，所以用分層抽樣抽取的7人中，有4人是忠實(shí)粉絲，從7人中任取2人，取0，1，2，，，所以的分布列為012所以（3）用樣本的頻率估計概率，從該公司所有用戶中任取1人，他為忠實(shí)粉絲的概率為所以，解得：，又，故時概率最大.18.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，．（1）求的方程；（2）記的左頂點(diǎn)為，求面積的最大值；（3）設(shè)，直線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）設(shè)（），由的離心率為，得，，①在中，令，得，則當(dāng)垂直于軸時，，②由①，②，解得，則，，∴的方程為．（2）由題意，知，，顯然與軸不重合，可設(shè)：，設(shè)，，聯(lián)立，消去x并整理，得，由韋達(dá)定理，得，，則，則面積，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴面積的最大值為．（3）設(shè)，，，直線與橢圓聯(lián)立可得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，∴，，即，同理，，根據(jù)對稱性，直線過定點(diǎn)，則，∵，，∴，∴，解得，即直線過定點(diǎn)．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與的導(dǎo)函數(shù)圖象相切，求切線方程及其切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）若在區(qū)間與上均存在零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，，令解得或．當(dāng)時，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴的單調(diào)遞增區(qū)間是和，的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）設(shè)，，過點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為原點(diǎn)時，，此時切線方程為；當(dāng)切線經(jīng)過原點(diǎn)時，∵，將原點(diǎn)代入，并整理得，∴，其中．當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，即經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)與的導(dǎo)函數(shù)圖象相切的直線方程為：，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為；，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，,（3）∵，∴，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，∴此時，在區(qū)間上無零點(diǎn)．當(dāng)時，令解得，假設(shè)，∴或．當(dāng)時，∴單調(diào)遞增，同理當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增．∵，且在上單調(diào)遞減，要使得在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，解得．∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，且在上單調(diào)遞增，要使得在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，解得．綜上所述，取值范圍是．江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，則，則.故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）則的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，因?yàn)?，則點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，，則，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以的最大值是3.故選：C．3.函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若為偶函數(shù)，則對任意的恒成立，即，所以對任意的恒成立，故；若，則，所以，故為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)的充要條件為.故選：B．4.設(shè)表示兩條不重合的直線，表示兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.存在一對異面直線，則【答案】D【解析】對于A，由，得直線與可能平行、可能相交，也可能在面內(nèi)，A錯誤；對于B，由，得可能平行，也可能相交，B錯誤；對于C，要垂直于內(nèi)的兩條相交直線，才能推出，C錯誤；對于D，過直線的平面，由，得，而，則，由是異面直線，得直線相交，又，因此，D正確.故選D，5.雙曲線的右焦點(diǎn)為，過右頂點(diǎn)向軸引垂線與的漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨去雙曲線漸近線，則，∵，∴，即，故，即，因?yàn)?，解得，?故選：D6.如圖，圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，太陽光與圭面成角也就是太陽高度角．圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，投影點(diǎn)為冬至線．日影長度最短的那一天定為夏至，投影點(diǎn)為夏至線．已知景德鎮(zhèn)冬至正午太陽高度角為，夏至正午太陽高度角為，表高42厘米，圭面上冬至線與夏至線之間的距離為50厘米，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，∴．又，∴，根據(jù)勾股定理．在中，根據(jù)正弦定理可知，即，解得，故選：C．7.已知函數(shù)，斜率為的直線經(jīng)過原點(diǎn)且與的圖象相切，已知的值從大到小排列依次為，下列兩個結(jié)論：①；②，則（）A.①錯誤②正確 B.①正確②錯誤C.①②均正確 D.①②均錯誤【答案】B【解析】因，則，因，則，則，即，則，，因與均為奇函數(shù)，故不妨設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程中得，，因，則，，則，因，則，則，故隨著的增大，減小，令，則，則在上單調(diào)遞減，時，；時，，則對于斜率最大的切線，切點(diǎn)，則，①正確；分別過向軸引垂線分別與斜率為的切線交于兩點(diǎn)，由圖易知，而，∴，即，②錯誤．故選：B．8.動圓經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，過原點(diǎn)向動圓作切線，切點(diǎn)為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將與的方程聯(lián)立，得，動圓的方程為，∴切線長，即的軌跡是以為圓心為半徑的圓，設(shè)線段中點(diǎn)為，∵，而（不能三點(diǎn)共線），∴的最大值是.故選:D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.的展開式中所有項系數(shù)的和為729，則B.已知，則C.已知向量，若，則的值為2D.已知正數(shù)滿足，則【答案】CD【解析】令代入解得，解得，A錯誤；∵，∴，B錯誤；由可知，故，解得，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確．故選：CD．10.已知為拋物線的焦點(diǎn)，是上位于第一象限的一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（在線段上），且，則（）A.直線的傾斜角為B.直線斜率之和為C.D.【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)，，解得．又，∴點(diǎn)，直線的斜率為，直線的傾斜角為．A正確；設(shè)點(diǎn)，，方程為，聯(lián)立，消去可得．則，，所以，的斜率之和為，B正確；若，則，即，∴，經(jīng)驗(yàn)證不符題意，C錯誤；，D正確．故選：ABD．11.表示不超過的最大整數(shù)，已知，函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，下列說法正確的是（）A.B.為周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于A選項，∵，令，則，∴，當(dāng)時，，∴，故A正確；對于B選項，當(dāng)時符合題意，但不為周期函數(shù)，故B錯誤；對于C選項，∵當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故C正確；對于D選項，如圖為函數(shù)當(dāng)時的部分圖象，顯然該函數(shù)符合題意，但，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】因的最小正周期為，則，故，則，因，則，則，則，故在區(qū)間上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3.已知三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，，，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【解析】由正弦定理可得，而，則，解得，設(shè)到面的距離為，而，如圖，我們作出符合題意的三棱錐，連接，若三棱錐的體積最大，則同時最大即可，由三角形面積公式得，由余弦定理得，則，得到，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故，則，解得，即，故面積取得最大值，由題意得球的半徑為2，，設(shè)球心到面的距離為，由勾股定理得，則到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，而，故，則直線與平面所成角為，因?yàn)槿忮F的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球球面上，所以，而，故，而，則故是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到，即，當(dāng)面垂直于平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離為，故三棱錐體積的最大值為．故答案為：14.一質(zhì)點(diǎn)落在三棱錐的頂點(diǎn)處，每次均以相同的可能性沿著某條棱移動到另一個頂點(diǎn)處，記事件表示“該質(zhì)點(diǎn)移動次后落在頂點(diǎn)”，為的對立事件，則__________．【答案】【解析】我們將三個點(diǎn)看作為一個整體，如果某次在點(diǎn)，則下次一定不在點(diǎn)的概率為；如果某次不在點(diǎn)，則下次在與不在的概率分別為、，因，，則，因，，則，則根據(jù)貝葉斯公式可得．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若為遞增數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．解：（1）因數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，同理可得，因，則，又，得，因數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，若，則，公比為，公差為；若，則，公比為，公差為，則或．（2）因?yàn)檫f增數(shù)列，則，，則，則，，兩式相減得，．16.如圖1，平面四邊形為“箏型”，其中，將平面沿著翻折得到三棱錐（如圖2），為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）如圖2，若，，求平面與平面的夾角的正弦值．（1）證明：，，為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面．又平面，平面平面．（2）解：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．取中點(diǎn)，連接，，．由（1）可知平面，平面，，又平面，平面，故平面．，，為的中點(diǎn)，．又，為的中點(diǎn)，．則，，，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以．設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，所以.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以.所以，平面與平面的夾角的正弦值是．17.2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型發(fā)布，該模型在全球范圍內(nèi)引發(fā)廣泛關(guān)注．現(xiàn)為了對其產(chǎn)品用戶的使用行為進(jìn)行統(tǒng)計分析，收集了1000名用戶的每日使用時長（單位：分鐘），得到如下所示的頻率分布直方圖，每日使用時長不小于60分鐘的用戶稱為“忠實(shí)粉絲”．（1）估計該產(chǎn)品用戶每日的平均使用時長（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中使用時長在的用戶中隨機(jī)抽取7人，并從中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步分析，記為2人中忠實(shí)粉絲的人數(shù)，求的分布列和期望．（3）用樣本的頻率估計概率，從該產(chǎn)品所有用戶中抽取5人，為忠實(shí)粉絲的人數(shù)，記時對應(yīng)的概率為，則為多少時最大？解：（1）由，