第7章應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論主要內(nèi)容

1、應(yīng)力狀態(tài)概述

2、二向應(yīng)力狀態(tài)——解析法3、二向應(yīng)力狀態(tài)——圖解法4、三向應(yīng)力狀態(tài)5、廣義胡克定律6、強(qiáng)度理論7、莫爾強(qiáng)度理論低碳鋼和鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)低碳鋼鑄鐵●問題的提出強(qiáng)度條件：7.1應(yīng)力狀態(tài)概述基本變形下的強(qiáng)度條件

螺旋槳軸:A采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件還是切應(yīng)力的強(qiáng)度條件？還是其它強(qiáng)度條件？(1)研究各點(diǎn)處的不同方位截面上的應(yīng)力的變化規(guī)律(2)研究引起材料破壞的因素(屈服還是斷裂？)，利用簡單應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果確定該因素極限值FFMAM經(jīng)過一點(diǎn)不同方位截面上的應(yīng)力不同一點(diǎn)處各個方位截面上的應(yīng)力分布情況的集合——該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。F

全應(yīng)力分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力FFCα全應(yīng)力

Fpα軸向正應(yīng)力σ=F/Aα受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上應(yīng)力的集合

應(yīng)力狀態(tài)

怎么研究應(yīng)力狀態(tài)圍繞該點(diǎn)取出一個邊長為無窮小量的單元體(微元)§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念(1)一般取為正六面體；(2)每個面上應(yīng)力分布可視作均勻；(3)任一對相互平行面上的應(yīng)力可視作相等。xzy軸向拉伸扭轉(zhuǎn)xzyOT梁的彎曲xzyppδD1.受內(nèi)壓的薄壁圓筒的應(yīng)力

D—內(nèi)直徑

δ

—壁厚

t

x

x

——軸向應(yīng)力

t——環(huán)向應(yīng)力例1：薄壁圓筒的應(yīng)力分析受內(nèi)壓薄壁圓筒橫截面與水平面上均存在正應(yīng)力，對于薄壁圓筒，可認(rèn)為沿壁厚均勻分布當(dāng)δ

D/20

時稱為薄壁圓筒

t

x7.2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例2.

薄壁圓筒的軸向應(yīng)力根據(jù)平衡條件軸向正應(yīng)力：取部分圓筒連同內(nèi)部氣體為研究對象pp

t

xδD3.薄壁圓筒的環(huán)向應(yīng)力：環(huán)向應(yīng)力：根據(jù)截取部分平衡：p(l·D)lpp

t

xδD徑向應(yīng)力：

t

x軸向應(yīng)力：練習(xí)：圓球形薄壁容器，壁厚為t，內(nèi)徑為D，承受內(nèi)壓p作用，求各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)7.3二向應(yīng)力狀態(tài)——解析法

二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）

單元體有一對平行面上應(yīng)力等于零，即不等于零的應(yīng)力分量均處于同一坐標(biāo)平面內(nèi)

微體僅有四個面作用有應(yīng)力；

應(yīng)力作用線均平行于不受力表面；xzyxyz

yx

xydxdydz

x

x

y

y問題：已知

x

,

y,

xy

,

yx,

求：任意平行于z軸的斜截面上的應(yīng)力符號規(guī)定：

—拉伸為正；

—使微元體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)向的矩為正；

—由橫截面的外法線轉(zhuǎn)向斜截面的外法線，以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?/p>

研究對象：用

斜截面截取的單元體局部，研究單元體的平衡平衡方程nt

平衡方程nt

當(dāng)時，此時對應(yīng)單向應(yīng)力狀態(tài)

當(dāng)時，此時對應(yīng)純剪切應(yīng)力狀態(tài)

xy

x

x

x

y

y

y

n

解：例2:

求圖示，主平面A

主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力

可以證明：受力構(gòu)件內(nèi)的任意一點(diǎn)，一定存在三個互相垂直的主平面。主平面和主應(yīng)力主應(yīng)力單元體：三個主平面構(gòu)成的單元體主方向：主平面的法線方向xzy主平面：

切應(yīng)力為零的平面三個都不為零—三向或空間應(yīng)力狀態(tài)。一個主應(yīng)力為零—二向或平面應(yīng)力狀態(tài)；兩個主應(yīng)力為零—單軸應(yīng)力狀態(tài)；A

1

2

3主應(yīng)力單元體

三個主應(yīng)力用

1

、

2

、

3表示按代數(shù)值大小順序排列即

1

≥

2

≥

3

7.4二向應(yīng)力狀態(tài)——圖解法斜截面應(yīng)力公式(平面應(yīng)力狀態(tài))

對斜截面應(yīng)力公式進(jìn)行變換

在平面上，的軌跡？

圓結(jié)論：平面應(yīng)力狀態(tài)下各方向的應(yīng)力軌跡為一個圓——應(yīng)力圓/莫爾(Mohr)圓

—

坐標(biāo)系下的圓：圓心坐標(biāo)：半徑：

o(x+y)/2R

x

xy

y

yxαx`y`o

C2αE(

,

)ABD(

x,

xy)D`(

y,-xy)2α0應(yīng)力圓的畫法在

—

坐標(biāo)系中，標(biāo)定橫截面對應(yīng)的點(diǎn)D(

x,xy)和水平面所對應(yīng)的點(diǎn)D’(

y,-xy)

連D,D’交

軸于C點(diǎn)，以C圓心，CD為半徑畫應(yīng)力圓圓心坐標(biāo)：半徑：A點(diǎn)面對應(yīng)：應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別對應(yīng)單元體某一方向截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體的截面的對應(yīng)關(guān)系

二倍角對應(yīng)：半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍單元體互垂截面，

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)：半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致2aC對應(yīng)應(yīng)力圓同一點(diǎn)單元體平行對邊,對應(yīng)應(yīng)力圓同一直徑兩端

斜截面上的正應(yīng)力取極值條件可確定兩個主平面o

C2αE(

,

)ABD(

x,

xy)D`(

y,-xy)2α0思考:最大切應(yīng)力所在平面與最大正應(yīng)力所在平面有何關(guān)系？A點(diǎn)B點(diǎn)單位：MPa40806060°例3：分別用解析法和圖解法求圖示單元體

(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;

(2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；解：法一解析法40806060°以上數(shù)據(jù)代入下式40806060°法二圖解法40806060°

幾種簡單受力狀態(tài)的應(yīng)力圓

x

y純剪切狀態(tài)

oR=x雙向等拉

o

x/2R=x/2C

o

C圓心坐標(biāo)：半徑：單向受力狀態(tài)主應(yīng)力單元體：六個平面都是主平面若三個主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如

3

）的各斜截面上的應(yīng)力。

3對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力

1和

2所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

同理，在平行于

2的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力

1和

3所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)

在平行于

1的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力

2和

3所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，可由三個應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。n與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力

n和τn可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：τmax

作用在與σ2平行且與σ1和σ3的作用面方向成45°角的平面上例4：圖示單元體最大切應(yīng)力作用面是圖（）單位：MPa答：例5:單元體各面上的應(yīng)力如圖所示，試求主應(yīng)力值和最大切應(yīng)力值。xyz20MPa20MPa20MPa30MPa解：由圖知，z平面是一主平面，

z

為主應(yīng)力，另外二主應(yīng)力與

z無關(guān)將主應(yīng)力大小排序?yàn)椋鹤畲笄袘?yīng)力為：作應(yīng)力圓：(20,20)

o(-20,-20)單軸應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變（回顧）7.6位移和應(yīng)變分量

為泊松比(橫向變形系數(shù))縱向應(yīng)變橫向應(yīng)變正負(fù)號規(guī)定正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)切應(yīng)力：正面正向?yàn)檎?fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)線應(yīng)變：伸長為正，壓縮為負(fù)切應(yīng)變：直角減小為正，直角增大為負(fù)xzyO獨(dú)立的應(yīng)力分量：獨(dú)立的應(yīng)變分量：對各向同性材料，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變。

x

z單元體在

x單獨(dú)作用時有：同理，單元體在

y單獨(dú)作用時：7.7廣義胡克定律

x在

z單獨(dú)作用時：

y

yxzy

x

y

z由疊加原理，在

x、y、z共同作用時：在切應(yīng)力τxy、τyz

、τzx作用下有：廣義胡克定律:(1)+(2)

xy

zx

yzxzy三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)變和主應(yīng)力關(guān)系

1

2

3也稱為廣義胡克定律，適合各向同性材料例6:圖示矩形截面拉桿，截面寬為b，高h(yuǎn)，材料的彈性常數(shù)E、

已知。在拉桿表面的圖示位置有直角ABC，試求桿受拉力F后線段BC以及直角ABC的改變量。FF60o30oABCbh

x

30o

30o30o

120o解：拉桿各點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)由廣義胡克定律，BC方向的線應(yīng)變：由應(yīng)力圓：

x=F/bh

o

x/2CFF60o30oABCbh

x

30o

30o30o

120o而直角ABC的改變量就是切應(yīng)變

30o-120o，由廣義胡克定律有：思考:圖中單位體積改變量為零的條件?單位體積的改變量（體積應(yīng)變）:各向同性材料的體積應(yīng)變一般空間應(yīng)力狀態(tài)下:xyz

物體受外力作用而產(chǎn)生彈性變形時，在物體內(nèi)部所儲存的能量為應(yīng)變能。單位體積的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度（比能）7.8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度P

lP

l設(shè)微元的三邊長為dx,dy,dz作用于三對面上的力分別為三對面上的力相應(yīng)位移為xyz結(jié)合廣義胡克定律三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)變能密度為一般情況下，單元體同時發(fā)生體積改變和形狀改變。+=平均應(yīng)力(a)體積改變(b)形狀改變體積改變能密度形狀改變能密度或畸變能密度一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)變能密度用6個應(yīng)力分量來表示所以，單軸拉壓應(yīng)力狀態(tài)下：平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：在小變形時，對應(yīng)于每個應(yīng)力分量的應(yīng)變能密度均等于應(yīng)力分量與相應(yīng)的應(yīng)變分量的乘積的一半，即：例7：圖中所示的純切應(yīng)力狀態(tài),試求與各面呈45o方向角的面上的應(yīng)力分量，并計(jì)算前后兩種情形下的應(yīng)變能密度，令二者相等，從而證明：解：

45°=-（a）情形下的應(yīng)變能密度為：（b）情形下的應(yīng)變能密度為：

45o(a)(b)

oR=

-45°=7.9強(qiáng)度理論問題的提出：低碳鋼鑄鐵承受扭轉(zhuǎn)荷載，不同的破壞形式竹—縱向開裂科學(xué)問題：不同材料的破壞機(jī)理

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)建立強(qiáng)度條件的困難實(shí)驗(yàn)量大、難度大（三向加載困難、實(shí)驗(yàn)費(fèi)用昂貴），總結(jié)規(guī)律困難。單向拉伸強(qiáng)度條件實(shí)驗(yàn)易測無數(shù)組合無數(shù)組合工程問題：建立材料的強(qiáng)度條件途徑：尋找引起材料發(fā)生破壞的共同因素利用簡單應(yīng)力狀態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到許用應(yīng)力，從而建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件強(qiáng)度理論——關(guān)于材料破壞或失效規(guī)律的假設(shè)尋找引起材料破壞或失效的共同因素確定復(fù)雜應(yīng)力下與單軸拉伸破壞時的許用應(yīng)力在安全程度上相當(dāng)?shù)南喈?dāng)應(yīng)力材料失效的原因是應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能等諸因素中的某一因素引起的。無論是簡單或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，引起失效的因素是相同的。塑性材料：屈服-關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論兩類破壞形式和兩種強(qiáng)度理論鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)混凝土受壓低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)脆性材料：斷裂-關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論一、關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）引起材料脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力強(qiáng)度條件：

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力

1達(dá)到材料單向拉伸脆性斷裂時的強(qiáng)度極限

b，材料即發(fā)生斷裂。

r1為第一強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力單向拉伸強(qiáng)度極限工作應(yīng)力第一主應(yīng)力

1=b

2

3

1

=b第一強(qiáng)度理論的應(yīng)用

鑄鐵試件拉伸斷裂

鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)斷裂

鑄鐵試件壓縮試驗(yàn)第一強(qiáng)度理論適用范圍第一強(qiáng)度理論失效

oR=x

x/2R=x/2C

o(

1,0)(0,0)試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料軸向拉伸時的斷裂破壞均發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上

脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符但這個理論沒有考慮其它兩個主應(yīng)力的影響斷裂條件：

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變

1達(dá)到材料單向拉伸斷裂時的最大拉應(yīng)變

1u，材料即發(fā)生斷裂。工作應(yīng)變：單軸拉伸極限應(yīng)變:2、最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）引起材料脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)變一、關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件：第二強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力適用范圍：

o(

b,0)(0,0)

煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時，如端部無摩擦，試件將沿縱向開裂；這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果吻合。缺點(diǎn)：三軸受拉的情況下，反而比單向受拉時不易斷裂×

(

壓,0)C

1

2

3

1鑄鐵拉壓強(qiáng)度的關(guān)系直接實(shí)驗(yàn)第二強(qiáng)度理論預(yù)測受拉破壞：

x/2R=x/2C受壓破壞：由第一強(qiáng)度理論由第二強(qiáng)度理論工程通常取鑄鐵扭轉(zhuǎn)斷裂純剪：鑄鐵與的關(guān)系

oR=

1、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）二、關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論引起材料屈服的主要因素是最大切應(yīng)力強(qiáng)度條件：簡單，被廣泛應(yīng)用。缺點(diǎn)：未計(jì)及的影響。

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力

max達(dá)到材料單向拉伸屈服時的最大切應(yīng)力

S，材料即發(fā)生屈服單向拉伸屈服時相應(yīng)最大切應(yīng)力工作應(yīng)力最大切應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力：

o(

s,0)(0,0)2、形狀改變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）二、關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論引起材料屈服的主要因素是畸變能密度(形狀改變能密度)

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要畸變能密度vd達(dá)到材料單向拉伸屈服時的畸變能密度vdS

，材料即發(fā)生屈服。單向拉伸屈服時畸變能密度工作應(yīng)力的畸變能密度單向拉伸屈服：第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件:這個理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用這個理論判斷低碳鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。

o(

s,0)(0,0)

根據(jù)第三強(qiáng)度理論考察純剪狀態(tài)根據(jù)第四強(qiáng)度理論工程中一般取塑性材料與的關(guān)系

oR=強(qiáng)度理論的適用范圍（1）一般情況

脆性材料：抵抗斷裂(抗拉)的能力小于抵抗滑移(抗剪)的能力適宜用第