極限的題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處（）A.有定義B.無定義C.不一定有定義D.以上都不對3.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.∞D(zhuǎn).$\frac{2}{3}$4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$1-\cosx$是關(guān)于$x$的（）A.高階無窮小B.同階但不等價(jià)無窮小C.等價(jià)無窮小D.低階無窮小5.$\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=$（）A.eB.$e^2$C.1D.26.若$\lim_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=3$，則$a=$（）A.1B.-1C.2D.-27.$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.28.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的垂直漸近線是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$y=0$D.$y=1$9.$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+2}=$（）A.eB.$e^2$C.$e^3$D.110.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$\frac{1}{x^2}$是（）A.無窮大量B.無窮小量C.常量D.無界變量二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下極限值為1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$2.下列說法正確的是（）A.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量B.兩個(gè)無窮小量的和是無窮小量C.兩個(gè)無窮大量的和是無窮大量D.無窮大量與無窮小量的乘積是無窮小量3.極限$\lim_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim_{x\toa^+}f(x)$存在B.$\lim_{x\toa^-}f(x)$存在C.$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$D.$f(a)$有定義4.下列函數(shù)中，當(dāng)$x\to0$時(shí)為無窮小量的有（）A.$x\sin\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$5.關(guān)于函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，正確的是（）A.函數(shù)極限存在，則其任意子列極限都存在且相等B.數(shù)列極限存在，則其對應(yīng)的函數(shù)極限一定存在C.若函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，那么以該點(diǎn)為極限的數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)值極限也存在且相等D.數(shù)列極限存在是函數(shù)極限存在的必要條件6.以下函數(shù)有水平漸近線的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\arctanx$C.$y=e^x$D.$y=\frac{x}{x^2+1}$7.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，與$x$是同階無窮大的有（）A.$2x$B.$x+\sinx$C.$x^2$D.$\sqrt{x}$8.極限運(yùn)算法則包括（）A.兩個(gè)函數(shù)極限都存在，則它們和的極限等于極限的和B.兩個(gè)函數(shù)極限都存在，則它們積的極限等于極限的積C.兩個(gè)函數(shù)極限都存在，且分母極限不為0，則它們商的極限等于極限的商D.若一個(gè)函數(shù)極限存在，另一個(gè)不存在，則它們和的極限不存在9.以下哪些是等價(jià)無窮小（）A.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$\sinx$B.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$\tanx$C.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$e^x-1$D.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$\ln(1+x)$10.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0^+}\lnx$D.$\lim_{x\to+\infty}e^{-x}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是很小的數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(a)=A$。（）3.兩個(gè)無窮大量的乘積一定是無窮大量。（）4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是比$x$高階的無窮小。（）5.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)極限都存在。（）6.若$\lim_{x\toa}f(x)$與$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$一定不存在。（）7.極限$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}$存在。（）8.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sinx$與$x$是等價(jià)無窮小。（）9.函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）10.無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義。答：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。2.如何判斷兩個(gè)無窮小量是否為等價(jià)無窮??？答：當(dāng)$x$趨于某值時(shí)，若兩個(gè)無窮小量$\alpha(x)$與$\beta(x)$的比值的極限$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，則$\alpha(x)$與$\beta(x)$是等價(jià)無窮小。3.極限運(yùn)算法則有哪些前提條件？答：極限運(yùn)算法則要求參與運(yùn)算的各個(gè)函數(shù)的極限都存在，對于商的極限運(yùn)算法則，還要求分母的極限不為零。4.什么是函數(shù)的漸近線？答：若曲線$y=f(x)$上的動點(diǎn)$P$沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果點(diǎn)$P$到某一直線$L$的距離趨于零，則稱直線$L$為曲線$y=f(x)$的漸近線，漸近線分為水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答：極限在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛。如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，計(jì)算邊際成本、邊際收益等要用極限思想；在物理中，計(jì)算瞬時(shí)速度、加速度等也基于極限概念；在工程上，對一些變化過程的精確分析也離不開極限，能幫助我們解決很多實(shí)際問題。2.談?wù)劦葍r(jià)無窮小在極限計(jì)算中的作用。答：等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中作用重大。在乘除運(yùn)算的極限計(jì)算里，可用等價(jià)無窮小替換，簡化計(jì)算過程。例如將復(fù)雜的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等相關(guān)無窮小替換為簡單形式，能快速得出極限值，但要注意只能在乘除時(shí)正確替換，加減運(yùn)算時(shí)一般不能隨意替換。3.分析極限與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系。答：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。即若$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，則函數(shù)$f(x)$在$x_0$點(diǎn)連續(xù)。極限是研究函數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ)，通過極限判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)，也可根據(jù)連續(xù)性簡化某些極限的計(jì)算。4.探討如何培養(yǎng)極限思維。答：培養(yǎng)極限思維，首先要深入理解極限的概念、定義和相關(guān)定理。多做極限計(jì)算、證明題，從簡單到復(fù)雜，掌握各種極限求解方法。還可聯(lián)系實(shí)際，思考極限在物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例。閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史，了解極限概念的發(fā)展歷程，也有助于培養(yǎng)極限思維。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3