高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（高考二模）數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫答案，否則一律得零分．1.已知全集為，集合，則______．【答案】或【解析】因集合，所以或.故答案為：或.2.不等式的解集為_____________．【答案】.【解析】由得：，解得：，不等式的解集為.故答案為：.3.橢圓的離心率是______．【答案】【解析】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．【答案】【解析】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為．5.已知，則______．（請(qǐng)用含的代數(shù)式表達(dá)）【答案】【解析】由題意得，.故答案為：.6.已知，則sin2x的值為________.【答案】【解析】〖祥解〗∵，，則sin2x＝，故答案為：.7.設(shè)一個(gè)罐子中有大小與質(zhì)地相同的黑、白、紅三個(gè)球，不放回的每次摸一個(gè)球，設(shè)第一次沒有摸到黑球是事件A，第二次沒有摸到黑球是事件B，則的值為______．【答案】【解析】第一次沒有摸到黑球，則還剩下一個(gè)黑球，一個(gè)不是黑球，共兩個(gè)球，所以.故答案為：.8.設(shè)某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)近似滿足．根據(jù)某一天的測(cè)量，港口水的深度在早上3點(diǎn)達(dá)到最大值18米，之后持續(xù)減少，并在上午9點(diǎn)達(dá)到最小值14米．則該港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)的近似表達(dá)式為______．【答案】【解析】由題意可知，解得，，所以，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，所以，所以，所以.故答案為：.9.用總長為14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，且容器底面的長邊比短邊長0.5m（不計(jì)損耗）．若要使該容器的容積最大，則容器的高為______m．【答案】【解析】設(shè)底面短邊長為，則長邊長為，高為，則，解得，則容器的容積，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以要使該容器的容積最大，則容器的高為.故答案為：.10.已知，且，則的最小值是_________．【答案】【解析】因?yàn)?，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：.11.從m個(gè)男生和n個(gè)女生（）中任選2個(gè)人當(dāng)隊(duì)長，假設(shè)事件A表示選出的2人性別相同，事件B表示選出的2人性別不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)槎际钦麛?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以（舍去），當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，綜上所述，，所以.故答案為：.12.在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，若沿線段DE折疊該三角形時(shí)，頂點(diǎn)A恰好落在邊BC上．則線段AD的長度的最小值為______．【答案】【解析】由題意可得兩點(diǎn)關(guān)于折線對(duì)稱，連結(jié)，設(shè)，則，，．中，．在中，，由正弦定理知：，即，所以．因?yàn)?，即，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)取得最小值，且．所以的最小值為．故答案為：.二、選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題、14題各4分，第15題、16題各5分．每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑．13.“”是“一元二次不等式的解集為R”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題根據(jù)一元二次不等式的解集為R，可得，所以“”是“一元二次不等式的解集為R”的必要不充分條件.故選：B.14.若復(fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（）A.且 B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】，因?yàn)閺?fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以，解得.故選：D.15.設(shè)是一個(gè)三次函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).圖中所示的是的圖像的一部分.則的極大值與極小值分別是（）.A.與 B.與 C.與 D.與【答案】C【解析】易知，有三個(gè)零點(diǎn)因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以，它有兩個(gè)零點(diǎn)由圖像易知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為C16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且?duì)任意，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.以上答案均不對(duì)【答案】A【解析】由，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以．故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知向量、，記．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)（其中常數(shù)）為奇函數(shù)，求的值．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期；（2），因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，所?18.某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位（每班學(xué)生50人），每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù).其中高三（1）班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.3444.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211（1）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三（1）班學(xué)生視力的平均值；（2）已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率.解：（1）高三文科（1）班抽取的8名學(xué)生視力的平均值為．據(jù)此估計(jì)高三文科（1）班學(xué)生視力的平均值約為．（2）因?yàn)楦呷目屏鶄€(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為、、、、、，所以任意抽取兩個(gè)文科班學(xué)生視力的平均值數(shù)對(duì)有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情形．其中抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于的有，，，，，，，，，，共10種所以抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于的概率為．考19.如圖，在正三棱柱中，，延長CB至D，使，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：①直線平面；②；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：①在正三棱柱中，，因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，面，所以平面；②因?yàn)椋蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；?）解：在中，由于，所以，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)檩S垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以二面角的正弦值為．20.如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，中（）為正三角形，且滿足，．（1）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于正整數(shù)n的表達(dá)式；（2）求證：點(diǎn)，，…，…在拋物線：上；（3）過（2）中拋物線：的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AC和BD，求四邊形ABCD面積的最小值．（1）解：由，可得；（2）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，所以，所以點(diǎn)，，，在拋物線上；（3）解：拋物線的焦點(diǎn)為，互相垂直的弦和顯然都不垂直坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，代入，得，則有，所以，將上式中的用代換，得，于是當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以四邊形面積的最小值為18．21.若存在實(shí)數(shù)常數(shù)k，m，對(duì)任意，不等式恒成立，則稱直線是函數(shù)和函數(shù)在上的分界線．（1）請(qǐng)寫出函數(shù)和函數(shù)在上的一條斜率為1的分界線；（不必證明）（2）求證：函數(shù)和函數(shù)在上過坐標(biāo)原點(diǎn)的分界線有且只有一條；（3）試探究函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和函數(shù)在上是否存在分界線．若存在，求出分界線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意直線是函數(shù)和函數(shù)在上的一條分界線，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，綜上所述，，所以滿足題意的直線可以是；（答案不唯一，滿足的均可）（2）證明：由題意，設(shè)是函數(shù)和函數(shù)在上過坐標(biāo)原點(diǎn)的分界線，則在上恒成立，即在上恒成立，因，所以，因?yàn)?，所以，綜上所述，所以函數(shù)和函數(shù)在上過坐標(biāo)原點(diǎn)的分界線有且只有一條；（3）解：若存在，則恒成立，令，則，所以，因此，恒成立，即恒成立，由得，，現(xiàn)在只要判斷是否恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即恒成立所以函數(shù)和函數(shù)在上存在分界線，其方程為．上海市靜安區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（高考二模）數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫答案，否則一律得零分．1.已知全集為，集合，則______．【答案】或【解析】因集合，所以或.故答案為：或.2.不等式的解集為_____________．【答案】.【解析】由得：，解得：，不等式的解集為.故答案為：.3.橢圓的離心率是______．【答案】【解析】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．【答案】【解析】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為．5.已知，則______．（請(qǐng)用含的代數(shù)式表達(dá)）【答案】【解析】由題意得，.故答案為：.6.已知，則sin2x的值為________.【答案】【解析】〖祥解〗∵，，則sin2x＝，故答案為：.7.設(shè)一個(gè)罐子中有大小與質(zhì)地相同的黑、白、紅三個(gè)球，不放回的每次摸一個(gè)球，設(shè)第一次沒有摸到黑球是事件A，第二次沒有摸到黑球是事件B，則的值為______．【答案】【解析】第一次沒有摸到黑球，則還剩下一個(gè)黑球，一個(gè)不是黑球，共兩個(gè)球，所以.故答案為：.8.設(shè)某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)近似滿足．根據(jù)某一天的測(cè)量，港口水的深度在早上3點(diǎn)達(dá)到最大值18米，之后持續(xù)減少，并在上午9點(diǎn)達(dá)到最小值14米．則該港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)的近似表達(dá)式為______．【答案】【解析】由題意可知，解得，，所以，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，所以，所以，所以.故答案為：.9.用總長為14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，且容器底面的長邊比短邊長0.5m（不計(jì)損耗）．若要使該容器的容積最大，則容器的高為______m．【答案】【解析】設(shè)底面短邊長為，則長邊長為，高為，則，解得，則容器的容積，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以要使該容器的容積最大，則容器的高為.故答案為：.10.已知，且，則的最小值是_________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：.11.從m個(gè)男生和n個(gè)女生（）中任選2個(gè)人當(dāng)隊(duì)長，假設(shè)事件A表示選出的2人性別相同，事件B表示選出的2人性別不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，整理得，因?yàn)椋?，即，所以，又因?yàn)槎际钦麛?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以（舍去），當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，綜上所述，，所以.故答案為：.12.在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，若沿線段DE折疊該三角形時(shí)，頂點(diǎn)A恰好落在邊BC上．則線段AD的長度的最小值為______．【答案】【解析】由題意可得兩點(diǎn)關(guān)于折線對(duì)稱，連結(jié)，設(shè)，則，，．中，．在中，，由正弦定理知：，即，所以．因?yàn)?，即，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)取得最小值，且．所以的最小值為．故答案為：.二、選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題、14題各4分，第15題、16題各5分．每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑．13.“”是“一元二次不等式的解集為R”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題根據(jù)一元二次不等式的解集為R，可得，所以“”是“一元二次不等式的解集為R”的必要不充分條件.故選：B.14.若復(fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（）A.且 B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】，因?yàn)閺?fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以，解得.故選：D.15.設(shè)是一個(gè)三次函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).圖中所示的是的圖像的一部分.則的極大值與極小值分別是（）.A.與 B.與 C.與 D.與【答案】C【解析】易知，有三個(gè)零點(diǎn)因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以，它有兩個(gè)零點(diǎn)由圖像易知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為C16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且?duì)任意，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.以上答案均不對(duì)【答案】A【解析】由，可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，則，所以．故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知向量、，記．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)（其中常數(shù)）為奇函數(shù)，求的值．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期；（2），因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)椋?18.某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位（每班學(xué)生50人），每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù).其中高三（1）班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.3444.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211（1）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三（1）班學(xué)生視力的平均值；（2）已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率.解：（1）高三文科（1）班抽取的8名學(xué)生視力的平均值為．據(jù)此估計(jì)高三文科（1）班學(xué)生視力的平均值約為．（2）因?yàn)楦呷目屏鶄€(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為、、、、、，所以任意抽取兩個(gè)文科班學(xué)生視力的平均值數(shù)對(duì)有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情形．其中抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于的有，，，，，，，，，，共10種所以抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于的概率為．考19.如圖，在正三棱柱中，，延長CB至D，使，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：①直線平面；②；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：①在正三棱柱中，，因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，面，所以平面；②因?yàn)椋蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；?）解：在中，由于，所以，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)檩S垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以二面角的正弦值