第1頁/共1頁2021-2025北京高考真題數(shù)學匯編第五道解答題（第20題）一、解答題1．（2025北京高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導函數(shù)，設是曲線在點處的切線．(1)求的最大值；(2)當時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；(3)設過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標分別是，，若，求的取值范圍．2．（2024北京高考真題）設函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點.(3)當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）3．（2023北京高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．4．（2022北京高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．5．（2021北京高考真題）已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交于點M，N，當|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【詳解】（1）設，，由可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）因為，所以直線的方程為，即，設，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，而當時，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；（3）解法一：由題意，直線，直線，所以，，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由（1）可得當時，，所以，所以.解法二：由可設，又，所以，即，因為直線的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當時，，所以,所以.2．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明見解析(3)2【分析】（1）直接代入，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫出切線方程，將代入再設新函數(shù)，利用導數(shù)研究其零點即可；（3）分別寫出面積表達式，代入得到，再設新函數(shù)研究其零點即可.【詳解】（1），當時，；當，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設過，則在存在零點.，在上單調(diào)遞增，，在無零點，與假設矛盾，故直線不過.（3）時，.，設與軸交點為，時，若，則此時與必有交點，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個即有幾個零點.，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；因為，，所以由零點存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個零點，在上必有一個零點，綜上所述，有兩個零點，即滿足的有兩個.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用的是反證法，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點問題.3．(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.4．(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.5．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標準方程.（2）設，求出直線的方程后可得的橫坐標，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理化簡