第3課時(shí)數(shù)列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題.2.進(jìn)一步熟悉通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決實(shí)際問題的過程．導(dǎo)語(yǔ)一位中國(guó)老太太與一位美國(guó)老太太在路上相遇．美國(guó)老太太說，她住了一輩子的寬敞房子，也辛苦了一輩子，昨天剛還清了銀行的住房貸款，而中國(guó)老太太卻嘆息地說，她三代同堂一輩子，昨天剛把買房的錢攢足．我國(guó)現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在改變——花明天的錢圓今天的夢(mèng)對(duì)我們已不再陌生，貸款購(gòu)物，分期付款已深入我們的生活．但是面對(duì)商家和銀行提供的各種分期付款服務(wù)，究竟選擇什么樣的方式好呢？讓我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)吧！一、數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1小華準(zhǔn)備購(gòu)買一部售價(jià)為5000元的手機(jī)，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清．商家提出的付款方式為：購(gòu)買2個(gè)月后第1次付款，再過2個(gè)月后第2次付款，…，購(gòu)買12個(gè)月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算，求小華每期付款金額是多少．(參考數(shù)據(jù)：1.00812≈1.10)解設(shè)小華每期付款x元，第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得x＝eq\f(5000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝eq\f(5000×1.00812,\f(1－1.00826,1－1.0082))≈883.5.故小華每期付款金額約為883.5元．反思感悟(1)解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．注意：①解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．②在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．③在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．④在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．跟蹤訓(xùn)練1某地本年度旅游業(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該地出臺(tái)了一系列措施，進(jìn)一步發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)的收入每年會(huì)比上一年增加eq\f(1,4).(參考數(shù)據(jù)：lg6≈0.778，lgeq\f(5,4)≈0.097)．(1)求前n年旅游業(yè)的總收入(用代數(shù)式表示)；(2)試估計(jì)大約從第幾年開始，旅游業(yè)的總收入超過8000萬元．解(1)設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計(jì)為an萬元，則a1＝400，a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))a1＝eq\f(5,4)a1，a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))a2＝eq\f(5,4)a2，…，an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))an＝eq\f(5,4)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(5,4)，即數(shù)列{an}是公比為eq\f(5,4)的等比數(shù)列，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(400\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n)),1－\f(5,4))＝1600eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1))，即前n年旅游業(yè)總收入為1600eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1))萬元．(2)由(1)知Sn＝1600eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1))，令Sn>8000，即1600eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1))>8000，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n>6，即lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n>lg6，∴n>eq\f(lg6,lg

\f(5,4))≈8，∴大約從第9年開始，旅游業(yè)總收入超過8000萬元．二、數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用例2如圖所示，作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為________．答案eq\f(a2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22n)))π解析設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an，∵從第二個(gè)正三角形開始每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)的eq\f(1,2)，每一個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的eq\f(1,2)，∴a1＝eq\f(1,2)atan30°＝eq\f(\r(3),6)a，a2＝eq\f(1,2)a1，…，an＝eq\f(1,2)an－1，∴數(shù)列{an}是以eq\f(\r(3),6)a為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，∴an＝eq\f(\r(3),6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1a，設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為Sn，則Sn＝π(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))＝πaeq\o\al(2,1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))2))＝πaeq\o\al(2,1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1))＝eq\f(4,3)×eq\f(a2,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))π＝eq\f(a2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))π＝eq\f(a2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22n)))π.反思感悟此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決，要注意步驟的規(guī)范性．跟蹤訓(xùn)練2侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無限長(zhǎng)的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為Sn，則()A．Sn無限大 B．Sn<3(3＋eq\r(5))mC．Sn＝3(3＋eq\r(5))m D．Sn可以取100m答案B解析由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長(zhǎng)依次為a1＝m，a2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)))2)＝eq\f(\r(5)m,3)，a3＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5)m,3×3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)m,3×3)))2)＝eq\f(5m,9)，…，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是以首項(xiàng)為m，公比為eq\f(\r(5),3)的等比數(shù)列，所以Sn＝4·eq\f(m\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))n)),1－\f(\r(5),3))，當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→3(3＋eq\r(5))m.1.知識(shí)清單：(1)數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用．(2)數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用．2．方法歸納：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：在實(shí)際問題中首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò)．1．河南洛陽(yáng)龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．若從下往上計(jì)算，從第二層開始，每層浮雕像個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，該洞窟浮雕像總共有1016個(gè)，則第5層浮雕像的個(gè)數(shù)為()A．64B．128C．224D．512答案B解析設(shè)最下層的浮雕像的數(shù)量為a1，依題意有公比q＝2，n＝7，S7＝eq\f(a11－27,1－2)＝1016，解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.2．公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍．當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜．按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－2米時(shí)，烏龜爬行的總距離為()A.eq\f(104－1,90)米 B.eq\f(105－1,900)米C.eq\f(105－9,90)米 D.eq\f(104－9,900)米答案B解析由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a1＝100，q＝eq\f(1,10)，an＝10－2；∴烏龜爬行的總距離為Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(100－10－2×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq\f(105－1,900)(米)．3．小李年初向銀行貸款M萬元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為p，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，問每年應(yīng)還()A.eq\f(M,10) B.eq\f(Mp\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋p))10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋p))10－1)C.eq\f(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋p))10,10) D.eq\f(Mp\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋p))9,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋p))9－1)答案B解析設(shè)每年應(yīng)還x萬元，則x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，eq\f(x[1－1＋p10],1－1＋p)＝M(1＋p)10，∴x＝eq\f(Mp1＋p10,1＋p10－1).選B.4．將n個(gè)大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上．上面一個(gè)正方體積木下底面的四個(gè)頂點(diǎn)正好是它下面一個(gè)正方體積木的上底面各邊的中點(diǎn)，按此規(guī)律不斷堆放．如果最下面的正方體積木的棱長(zhǎng)為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝________.答案9－eq\f(8,2n)解析最底層正方體的棱長(zhǎng)為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；第二個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)，它的側(cè)面積為4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，第3個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，它的側(cè)面積為4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×2；第n個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n－1，它的側(cè)面積為4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2(n－1)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，則它們的表面積為5＋4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1))＝5＋4×eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))＝9－eq\f(4,2n－1)＝9－eq\f(8,2n).課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1．某森林原有木材量為am3，每年以25%的速度增長(zhǎng)，5年后，這片森林共有木材量()A．a(chǎn)(1＋25%)5 B．a(chǎn)(1＋25%)4C．4aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))5－1)) D．a(chǎn)(1＋25%)6答案A解析森林中原有木材量為a，一年后為a(1＋25%)，兩年后為a(1＋25%)2，…，五年后為a(1＋25%)5.2．某地為了保持水土資源實(shí)行退耕還林，如果2018年退耕a萬畝，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕()A．10a(1.18－1)萬畝 B．a(chǎn)(1.18－1)萬畝C．10a(1.17－1)萬畝 D．a(chǎn)(1.17－1)萬畝答案A解析記2018年為第一年，第n年退耕an萬畝，則{an}為等比數(shù)列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，則問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和，所以數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(a1－1.18,1－1.1)＝10a(1.18－1)．所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)萬畝．3．有一套叢書共6冊(cè)，計(jì)劃2018年出版第一冊(cè)，每?jī)赡瓿霭嬉粌?cè)，那么出版齊這套叢書的年份是()A．2022B．2024C．2026D．2028答案D解析因?yàn)?018年出版第一冊(cè)，每?jī)赡瓿霭嬉粌?cè)，所以2020年出版第二冊(cè)；2022年出版第三冊(cè)；2024年出版第四冊(cè)；2026年出版第五冊(cè)；2028年出版第六冊(cè)；即出版齊這套叢書的年份是2028年，故選D.4．觀察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41，…，則式子35是第()A．22項(xiàng)B．23項(xiàng)C．24項(xiàng)D．25項(xiàng)答案C解析兩為8的第3項(xiàng)，故35是第24項(xiàng)．故選C.5．我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，則有()A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4答案D解析設(shè)1997年總產(chǎn)值為1，由于我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，說明2017年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是1997年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的4倍，則(1＋x)20＝4.6．一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是()A．12B．13C．14D．15答案C解析從左到右，第一個(gè)●位于2的位置，第二個(gè)●位于2＋3＝5的位置，第三個(gè)●位于5＋4＝9的位置，….設(shè)第n個(gè)●位于an的位置，由規(guī)律可知an＝an－1＋n＋1，則an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝eq\f(n2＋3n,2)而a14＝119<120，所以前120個(gè)圈中的●個(gè)數(shù)為14，故選C.7．某廠去年的產(chǎn)值記為1.若計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)10%，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個(gè)廠的總產(chǎn)值約為________．(保留一位小數(shù)，取1.15≈1.6)答案6.6解析由題意可知，第一年要比上年增長(zhǎng)10%，那么第一年產(chǎn)值就是1＋10%＝1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年產(chǎn)值是1.12，…，以此類推，第五年產(chǎn)值是1.15，∴總產(chǎn)量為1.1＋1.12＋…＋1.15＝eq\f(1.1×1－1.15,1－1.1)≈11×0.6＝6.6.8．農(nóng)民收入由工資收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2015年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為13150元(其中工資收入為7800元，其他收入為5350元)．預(yù)計(jì)該地區(qū)自2016年起的6年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為_________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)答案17386解析農(nóng)民人均收入來源于兩部分，一是工資收入為7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元),二是其他收入為5350＋6×160＝6310(元)，因此，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為11076＋6310＝17386(元)．9．如圖，將數(shù)列{2n}(n∈N*)依次從左到右，從上到下排成三角形數(shù)陣，其中第n行有n個(gè)數(shù)．2……第1行46……第2行81012……第3行14161820……第4行……(1)求第5行的第2個(gè)數(shù)；(2)問數(shù)32在第幾行第幾個(gè)；(3)記第i行的第j個(gè)數(shù)為ai，j(如a3,2表示第3行第2個(gè)數(shù)，即a3,2＝10)，求eq\f(1,a1，1)＋eq\f(1,a2，2)＋eq\f(1,a3，3)＋eq\f(1,a4，4)＋eq\f(1,a5，5)＋eq\f(1,a6，6)的值．解(1)記an＝2n，由數(shù)陣可知，第5行的第2個(gè)數(shù)為a12.因?yàn)閍n＝2n，所以第5行的第2個(gè)數(shù)為24.(2)因?yàn)閍n＝32，所以n＝16.由數(shù)陣可知，32在第6行第1個(gè)數(shù)．(3)由數(shù)陣可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.所以eq\f(1,a1，1)＋eq\f(1,a2，2)＋eq\f(1,a3，3)＋eq\f(1,a4，4)＋eq\f(1,a5，5)＋eq\f(1,a6，6)＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,6×7)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－…－eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).10．首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)11月17日在南昌召開，本屆大會(huì)的主題為“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”．某企業(yè)在國(guó)家科研部門的支持下，投資810萬元生產(chǎn)并經(jīng)營(yíng)共享單車，第一年維護(hù)費(fèi)為10萬元，以后每年增加20萬元，每年收入租金300萬元．(1)若扣除投資和各種維護(hù)費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤(rùn)？(2)若干年后企業(yè)為了投資其他項(xiàng)目，有兩種處理方案：①純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以100萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營(yíng)權(quán)；②年平均利潤(rùn)最大時(shí)以460萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營(yíng)權(quán)，問哪種方案更優(yōu)？解(1)設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬元，n年共收入租金300n萬元，付出維護(hù)費(fèi)用構(gòu)成一個(gè)以10為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，共10n＋eq\f(nn－1,2)×20＝10n2，因此利潤(rùn)y＝300n－(810＋10n2)，令y>0，解得3<n<27.所以從第4年開始獲取純利潤(rùn)．(2)方案①：純利潤(rùn)y＝300n－(810＋10n2)＝－10(n－15)2＋1440，所以15年后共獲利潤(rùn)：1440＋100＝1540(萬元)．方案②：年平均利潤(rùn)W＝eq\f(300n－810＋10n2,n)＝300－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(810,n)＋10n))≤300－2eq\r(\f(810,n)×10n)＝120.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(810,n)＝10n，即n＝9時(shí)取等號(hào)．所以9年后共獲利潤(rùn)：120×9＋460＝1540(萬元)．綜上，兩種方案獲利一樣多，而方案②時(shí)間比較短，所以選擇方案②.11．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為20%，若A分得資金1000元，則B，C所分得資金分別為800元和640元．某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配資金，且甲與丙共獲得資金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的資金分別為()A．20%,14580元 B．10%,14580元C．20%,10800元 D．10%,10800元答案B解析設(shè)“衰分比”為q，甲獲得的獎(jiǎng)金為a1，則a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68780.a1＋a1(1－q)2＝36200，解得q＝0.1，a1＝20000，故a1(1－q)3＝14580.12．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)利潤(rùn)(注：含第n年，累計(jì)利潤(rùn)＝累計(jì)凈收入－累計(jì)投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利()A．2020 B．2021C．2022 D．2023答案D解析由題意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)投入為8＋2(n－1)＝(2n＋6)千萬元，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)凈收入為eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))1＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋…＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))千萬元，∴f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1－(2n＋6)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2n－7))千萬元．∵f(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n＋1－2n＋1－7))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2n－7))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－4))，∴當(dāng)n≤3時(shí)，f(n＋1)－f(n)＜0，故當(dāng)n<4時(shí)，f(n)單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f(n＋1)－f(n)＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)單調(diào)遞增．又f(1)＝－eq\f(15,2)＜0，f(7)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7－21≈17－21＝－4＜0，f(8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))8－23≈25－23＝2＞0.∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利．該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利．13．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元．則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要()A．3233萬元 B．4706萬元C．4709萬元 D．4808萬元答案C解析設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬元，設(shè)備費(fèi)為an萬元(n＝1,2,3，…，10)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5－a2＝42，,a7－a4＝168，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1q＝42，,a1q6－a1q3＝168，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2.))故a10＝a1q9＝1536.依題意x＋1536≤1700，即x≤164.所以總費(fèi)用為10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋eq\f(31－210,1－2)＝10x＋3069≤4709萬元．14．在下列表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為()120.51abcA.1B．2C．3D．4答案A解析a＝eq\f(1,2)，第三行第一列為eq\f(1,4)，第四行第一列為eq\f(1,8)，第四行第三列為eq\f(1,4)，所以b＝eq\f(1,4)＋eq\f(\f(1,4)－\f(1,8),2)＝eq\f(5,16)，第五行第一列為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4，第五行第三列為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，所以c＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,16)，∴a＋b＋c＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,16)＋eq\f(3,16)＝1，應(yīng)選A.15．程先生買了一套總價(jià)為80萬元的住房，首付30萬元，其余50萬元向銀行申請(qǐng)貸款，貸款月利率為0.5%，從貸款后的第一個(gè)月后開始還款，每月還款數(shù)額相等，30年還清．問程先生每月應(yīng)還款________元(精確到0.01元)．(參考數(shù)據(jù)1.005360≈6.0226)(注：如果上個(gè)月欠銀行貸款a元，則一個(gè)月后，程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元，此時(shí)貸款余額為[a(1＋0.5)%－x]元)答案2997.75解析設(shè)程先生在第n個(gè)月時(shí)還欠銀行貸款an萬元，每月固定還款x萬元，則an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，an＋k＝1.005(an－1＋k)，an＝1.005an－1＋0.005k.所以k＝－200x，{an－200x}是公比為1.005的等比數(shù)列，即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.利用計(jì)算器可以求得x＝0.299775，即每月還款2997.75元．16．習(xí)主席說：“綠水青山就是金山銀山”．某地響應(yīng)號(hào)召，投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2018年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少eq\f(1,5)，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為500萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加eq\f(1,4).(1)設(shè)n年內(nèi)