2025年廣東省高考數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練（一）滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，所以.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．5 D．8【答案】B【解析】，所以.故選：B．3．“”是“圓與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)”的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件；C．充要條件； D．非充分非必要條件．【答案】A【詳解】由，可以表示為點(diǎn)在圓的距離的內(nèi)部，此時(shí)圓與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)，則充分性成立；反之，由圓的方程可知，圓心為，半徑為，則要使圓與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)，則，則，則必要性不成立，故“”是“圓成立的充分不必要條件.故選：A4．已知函數(shù)，則“”是“在上的單調(diào)遞增”的（

）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在為單調(diào)遞增，滿足，解得，∴，當(dāng)時(shí)，在上為增，綜上，在為單增時(shí)，∴，是在為增函數(shù)的必要不充分條件．故選：B．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)其公比為，由已知，故，所以，，則，故，所以，，故.故選：D.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】由已知條件求出、，結(jié)合的范圍，再由可得答案.【詳解】，①由，得，代入①，解得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.7．設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，為內(nèi)一點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，則，由橢圓定義知，則，設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)（如圖），而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)取等號(hào).當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在內(nèi)，所以.故選：B.8．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】由，得，故.由題意得，，，由得，.設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，∴，即，，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，最小值為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的有（

）A．已知隨機(jī)事件的概率不為0，若和相互獨(dú)立，則和一定不互斥B．若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為1.4C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為12，則D．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則【答案】AD【解析】對(duì)于A中，由隨機(jī)事件的概率不為0，即，若事件和互斥，則，若事件和相互獨(dú)立，則，所以事件和相互獨(dú)立，則事件和一定不互斥，所以A正確；對(duì)于B中，將代入回歸方程為，可得，則樣本點(diǎn)的殘差為，所以B不正確；對(duì)于C中，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為12，可得且，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得則，所以D正確.故選：AD.10．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A．若為減函數(shù)，則 B．若存在極值，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】對(duì)求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，也為減函數(shù)，可得A錯(cuò)誤；若存在極值可知存在“變號(hào)”零點(diǎn)，可得B正確；由可得，構(gòu)造并判斷單調(diào)性可得，C正確；由可得，易知，可得，構(gòu)造函數(shù)并判斷單調(diào)性即可求得，D正確.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，A錯(cuò)誤．若存在極值，則存在“變號(hào)”零點(diǎn)．因?yàn)榭傻?，所以，即，B正確．若，則，即．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，所以，C正確．若，即．由，得，即，所以，易知，所以．設(shè)，．設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．所以，所以，即，D正確．故選：BCD．11．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線：（）的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，為的準(zhǔn)線，，垂足為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的最小值為2C．若，則 D．軸上存在一點(diǎn)，使為定值【答案】D【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短時(shí)是通徑的結(jié)論即可得到；對(duì)于B選項(xiàng)，利用拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合圖象，三點(diǎn)共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段和最??；對(duì)于C選項(xiàng)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，要使得為定值，，從而存在點(diǎn).【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)為通徑時(shí)，AB最短，即，從而，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由拋物線的定義知，所以，由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由圖是拋物線的準(zhǔn)線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，所以，在中，，所以，所以，所以，所以，聯(lián)立得，得，從而，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，聯(lián)立x=my+1y2=4x得，，設(shè)Ax1,y1,Bx則，故當(dāng)時(shí)，，即存在使得為定值，故D正確.故選：D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足，，則的值為.12.【答案】3【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)求和公式建立方程組，求得首項(xiàng)與公差，利用通項(xiàng)，可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡(jiǎn)可得，解得，所以.故答案為：.13．已知，則．13.【答案】/【分析】由切化弦結(jié)合三角恒等變換和拆角可得.【詳解】由可得，，，，，.故答案為：.14．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為且外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開另一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，若用表示號(hào)箱有獎(jiǎng)品，用表示主持人打開號(hào)箱子，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題、計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】分獎(jiǎng)品在、和號(hào)箱里三種情況，根據(jù)全概率公式計(jì)算即可.【詳解】獎(jiǎng)品在1號(hào)箱里，主持人可打開2，3號(hào)箱，故；獎(jiǎng)品在2號(hào)箱里，主持人打開3號(hào)箱的概率為1，故；獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開2號(hào)箱，故，由全概率公式可得：，.故答案為：.解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記△ABC的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，△ABC的面積為，求邊上的高.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可把轉(zhuǎn)化成，再借助輔助角公式和三角形內(nèi)角的取值范圍，可求角.（2）借助，可得，再利用余弦定理可求邊，再利用三角形面積公式可求邊上的高.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以，整理，得，即，又，所以，所以，故.【小問(wèn)2詳解】由ABC的面積為，得，所以.由余弦定理，得，所以，設(shè)邊上的高，由，解得.16.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為圓錐底面圓周上異于的一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面．（1）求的值；（2）設(shè)，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理可得；（2）取的中點(diǎn)，連接，先找到二面角的平面角，再利用正切值證明是等腰直角三角形，然后建立如圖所示空間直角坐系，求出平面的法向量，再代入空間線面角公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，平面平面，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得，又是圓錐底面的圓心，為底面直徑，所以為的中點(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又均為圓半徑，的中點(diǎn)，所以，所以為二面角的平面角，又面，所以，所以即是等腰直角三角形，即，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角為.17.如圖，在平面四邊形中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折至的位置，使得四棱錐的體積為1.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，利用余弦定理求出，再根據(jù)勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，即可得證；（2）根據(jù)棱錐體積求出四棱錐的高，從而可得平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，則，在△ADE中，，，由余弦定理，得，所以，故，所以，又，所以，則，，又，，平面，所以平面，因平面，故平面平面；【小問(wèn)2詳解】設(shè)四棱錐的高為，由，得，由（1）可知，平面平面，，所以即為四棱錐的高，所以平面，所以，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，得，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即取，得，，所以，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的正弦值為.18．（17分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)，（2）處的切線斜率為4，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），則，由題意可得，解得；（2）由（1）可得：，當(dāng)時(shí)，則恒成立，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，則在定義域內(nèi)恒成立，故在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；證明：（3）由（2）知：若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，解得．由（2）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，構(gòu)建，則，令（a）（a），則當(dāng)時(shí)恒成立，故（a）在上單調(diào)遞減，則（a）（3），即（a）當(dāng)時(shí)恒成立，則（a）在上單調(diào)遞減，則，故．19.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作平行于軸的直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為.（1）求雙曲線的離心率；（2）證明：數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（3）定義：無(wú)窮等比遞減數(shù)列的所有項(xiàng)和，其中為的首項(xiàng)，為的公比，且.設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，的面積記為，求數(shù)列的所有項(xiàng)和的最小值（結(jié)果用或表示）.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用給定條件，求出漸近線方程，進(jìn)而求出離心率.（2）由（1）求出雙曲線方程，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理定理求出直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知推理得證.（3）利用（2）求出的坐標(biāo)，求出的面積，求出數(shù)列的所有項(xiàng)和的函數(shù)關(guān)系，再求出其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，另一條漸近線的傾斜角為，依題意，，解得，，則雙曲線的漸近線方