人教版

八年級上冊13.3.1（第1課時）

第十三章

三角形三角形的內(nèi)角復(fù)習(xí)回顧FUXIHUIGU

三角形的內(nèi)角和是多少？我們怎么證明呢？我們在小學(xué)學(xué)習(xí)過三角形的內(nèi)角和為180°，與三角形的形狀無關(guān).30°45°45°60°90°90°思考證明方法一：度量法新知探究XINZHITANJIU三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.證明方法二：拼湊法

由于測量常常有誤差，這樣驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數(shù)個，我們不可能用上述方法一一驗(yàn)證所有三角形的內(nèi)角和等于180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°新知探究XINZHITANJIU三角形的內(nèi)角和為180°.求證證明方法三：推理驗(yàn)證法（1）求證：∠A+∠B+∠C=180°已知：△ABC.證明：過點(diǎn)A作l∥BC，∴∠B=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°12ABC新知探究XINZHITANJIU三角形的內(nèi)角和為180°.求證證明方法三：推理驗(yàn)證法（2）求證：∠A+∠B+∠C=180°已知：△ABC.證明：延長BC到D，過點(diǎn)C作CE∥BA∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°CBAED12新知探究XINZHITANJIU三角形的內(nèi)角和為180°.求證證明方法三：推理驗(yàn)證法（3）證明：過D作DE∥AC,作DF∥AB∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°∴∠A+∠B+∠C=180°CBAEDF新知探究XINZHITANJIU思考多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？CAB12345lACB12345lP6mABCDE借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化到一個平角上.數(shù)學(xué)文化QINGJINGYINRU三角形的內(nèi)角和定理即∠A+∠B+∠C=180°.三角形內(nèi)角和等于180°.CBA帕斯卡：（1623—1662）是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.早在300多年前，他12歲時，就獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了任何三角形的內(nèi)角和都是180°.典例精析DIANLIJINGXI例1求出下列各圖中的

x值.x=70x=60x=30x=503x=18020+x=25+4570+40+x=1803x=180-90先利用三角形的內(nèi)角和求出∠BAC典例精析DIANLIJINGXI例2如圖，在△ABC

中，∠B

=

42°，∠C

=

78°，AD

平分∠BAC．求∠ADC

的度數(shù).

在△EFC中求出∠D在△AEF中求出∠EFA典例精析DIANLIJINGXI例3解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.如圖，△ABC中，D在

BC的延長線上，過

D作

DE⊥AB于

E，交

AC于

F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.典例精析DIANLIJINGXI歸納總結(jié)事實(shí)上，在△AEF中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°,在△CDF中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°,而∠AFE=∠CFD，故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.這樣的模型我們稱之為“八字模型”.典例精析DIANLIJINGXI常見模型由三角形的內(nèi)角和定理易得，∠1+∠2=∠3+∠4.見比例，設(shè)未知數(shù)典例精析DIANLIJINGXI例4在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B

和∠C.解：設(shè)∠C為

x°，則∠B

為2x°，從而有x+

2x+60＝180.解得x＝40.∴2x＝80.答：∠C，∠B的度數(shù)分別為40°，80°.幾何問題借助方程來解，這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.能否求出三角形ABC的所有內(nèi)角？典例精析DIANLIJINGXI變式1在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點(diǎn)O，求∠AOC的度數(shù)．OEBDCA12同理∠2=20°∴∠AOC=130°.∵∠BAC=60°(已知)，∴∠1=30°(等式的性質(zhì)).在△AOC中，∠1+∠2+∠AOC=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）.

記∠DAC為∠1，∠ACE為∠2，提示：可以用整體思想！典例精析DIANLIJINGXI在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點(diǎn)O，求∠AOC的度數(shù)．OEBDCA12

∴∠AOC=125°.在△AOC中，∠1+∠2+∠AOC=180°

記∠DAC為∠1，∠ACE為∠2，

變式2如果將條件換成∠B=70°，你還會解答嗎？和變式2互為逆向應(yīng)用！典例精析DIANLIJINGXI在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點(diǎn)O，求∠B

的度數(shù)．OEBDCA12

∴∠1+∠2=60°，解：記∠DAC為∠1，∠ACE為∠2，∵AD是△ABC的角平分線(已知)，而在△AOC中，∠1+∠2+∠AOC=180°∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°，∴∠B=60°.而在△ABC中，∠BAC+∠BCA+∠B=180°變式3

典例精析DIANLIJINGXI在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點(diǎn)O，求∠AOC的度數(shù)．OEBDCA12

在△AOC中，∠1+∠2+∠AOC=180°

變式4從特殊到一般典例精析DIANLIJINGXI例5如圖，B島在

A島的南偏西40°方向，C島在

A島的南偏東15°方向，C島在

B島的北偏東80°方向，求從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).解：如圖，由題意得

BE∥AD，∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA

=∠BAD=40°，∠BAC

=

40°

+

15°

=

55°.∴∠CBA

=∠EBC-∠EBA

=80°

-

40°

=40°.∴∠ACB

=

180°

-∠BAC

-∠ABC

=

180°

-

55°

-

40°

=

85°.DE課堂小結(jié)QINGJINGYINRU內(nèi)容常見模型八字模型角平分線模型三角形的內(nèi)角和證明方法三角形的內(nèi)角和為180°推理驗(yàn)證轉(zhuǎn)化思想OEBDCA12當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則△ABC

按角分是_______三角形.

1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠C=

°.3.在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+10°，則

∠A=

°，∠B=

°，∠C=

°.102直角6050704.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=______°.BACD4132E40°（280當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU5.如圖，四邊形

ABCD

中，點(diǎn)

E

在

BC上，∠A

+∠ADE

=

180°，∠B

=

78°，∠C

=

60°，求∠EDC

的度數(shù)．解：∵∠A

+∠ADE

=

180°，∴

AB∥DE.∴∠CED

=∠B

=

78°.又∵∠C

=